初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)----幾何變換(旋轉(zhuǎn))

1、第 2 講 幾何變換 旋轉(zhuǎn)典型例題【例 1】C是線段AE上的點(diǎn)，以AC、為邊在線段AE的同側(cè)作等邊三角形、，CEABC CDE設(shè) AD 的中點(diǎn)是 M ， BE 的中點(diǎn)是 N ，連結(jié) MN 、 MC 、 NC ，求證： CMN 是等邊三角形BNDMACE【例 2】 如圖，兩個正方形 ABCD和 AKLM 有一個公共點(diǎn) A 求證：這兩個正方形的中心以及線段 BM ， DK 的中點(diǎn)是某正方形的頂點(diǎn)DQKCPLRABM【例 3】 已知：如圖， ABC 、 CDE 、 EHK 都在等邊三角形，且A、D、K共線，AD DK 求證： HBD 也是等邊三角形ECBADKH【例 4】 ABC 是等邊三角形，P

2、是 AB 邊的中點(diǎn)， Q 是 AC 邊的中點(diǎn)， R 為 BC 邊的中點(diǎn)，M 為 RC 上任意一點(diǎn)，且PMS 是等邊三角形，S 與 Q 在 PM 的同側(cè)，求證：RMQS ASPQBCRM【例 5】ABCD是正方形， P 是 ABCD內(nèi)一點(diǎn)， PA1 ， PB3， PD7 ，求正方形ABCD的面積ADPBC【例 6】P 是等邊三角形ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，PA6 ， PB8， PC10求 ABC 的邊長APBC【例 7】 設(shè) O 是等邊 ABC 內(nèi)一點(diǎn)， 已知AOB115 ，BOC125 ，求以線段 OA、OB 、OC 為邊所構(gòu)成的三角形的各內(nèi)角大小【例 8】 如圖，在 ABC 中，ACB90 ，ACB

3、C ，P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)， PA3 ，PB1，PC2，求BPCCPAB【例9】如圖，已知ABC中， A90， ABAC， D為 BC上一點(diǎn)，求證：BD2DC22AD2 ABDC【例 10】如圖，在等腰直角 ABC 中，ACB 90 ， CACB， P、 Q在斜邊 AB上，且PCQ 45 ，求證： PQ2AP2BQ2 APQCB【例 11】在正方形 ABCD中，已知 E 、 F 分別是邊 BC 、 CD 上的點(diǎn)，滿足EFBEDF ，AE 、 AF 分別與對角線BD 交于 M 、 N 求證：（ 1） EAF 45 ；（2） MN 2BM 2DN2 ADNFMBEC【例 12】如圖，在梯形ABC

4、D中， AD BC ， ADCD ，BC CD2AD ， E 是 CD 上一點(diǎn)，且ABE 45， AD求 CE 的長ADEBC【例 13】已 知 ： ABC 中 ， A120，P是不與 A重合的定點(diǎn)，求證：PA PB PC AB ACABCP【例 14】已知：如圖， ABD 是等邊三角形， ABC 中， BCa ， CAb 問：當(dāng)ACB 為何值時， C 、 D 兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少？CABD【例 15】已知 ABC ，以其各邊為底邊， 向 ABC 的外部作等腰三角形ABD 、BCE 、CAF ，使頂角都等于120，求證：DEF 是正三角形CFEABD【例 16】已知： ABC 是銳角三

5、角形，三邊長分別是a 、 b 、 c ， O 是 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，AOBBOCCOA 120 ， OA u ， OB v ， OCw ， DEF 是等邊三角形， P是 DEF 內(nèi)一點(diǎn)， PDa ， PEb ， PF c 求證：DEF 的邊長等于 u vw 【例 17】已知：三條平行直線l 、 m 、 n ，求證：存在一個等邊三角形ABC ，使頂點(diǎn) A 、 B 、C 分別在 l 、 m 、 n 上作業(yè)1. 已知： ABCD是正方形， O 是其中心， OEFG 也是正方形， 兩個正方形的邊長都是a ，OG 、OE 分別交 CD 、 BC 于 H 、 K 求證： SOKCH1a 2 4ADGOHBKCFE2.已知：如圖，ABCD是正方形，12 求證： BEDFAE AD12FBEC3.ABC 是等邊三角形，P 是其內(nèi)的一點(diǎn)，PA3 ， PB4 ， PC5 ，求 ABC 的面積4. P 是等邊 ABC 內(nèi)部一點(diǎn)， APB、 BPC 、 CPA 的大小之比是 5:6:7 ，求以 PA 、PB 、 PC 為邊的三角形的三個角的大小之比5.6. 等邊 ABC 的邊長 a22225 12 3 ，點(diǎn) P 是 ABC 內(nèi)一點(diǎn)，且 PAPBPC ，若PC5 ，求 PA、 PB的長7.8.在梯形 ABCD中， AD BC （ BC AD ），D 90 ，BCCD 12，E在CD上，ABE