第6講知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)

1、以推促學(xué)強技提能一I知能訓(xùn)練輕松闖關(guān)J基礎(chǔ)達標(biāo)1,已知0V 0< I，則雙曲線A.實軸長相等C.離心率相等解析：選D.由雙曲線Ci知：e , b2=sin2 e ? c2= 1.2 XC1： snrB.D. a2= sin2 0 ,2y 2 1cos 0虛軸長相等 焦距相等 b2= cos2 9 ?cos 0 sin 0c2=1,由雙曲線 C2知:的(a = cos2. (2015福建寧彳德模擬)已知橢圓 $+ 9=1(a>0)與雙曲線.一=1有相同的焦點，則a的值為(A. . 2C. 4解析:則有22選C.因為橢圓勺+3 a 92a 9=7, . . a= 4.B. . 10D.

2、 , 34 2= 1(a>0)與雙曲線t =1有相同的焦點(中,0), 33. (2014高考課標(biāo)全國卷 IF到C的一條漸近線的距離為(A. . 3C. 3m)已知F)為雙曲線C:x2my2= 3m(m>0)的一個焦點，則點解析：選A.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.D.2X33m23m 3= 1(m>0),其漸近線方程為 y= ±3mxi?mmx,即 訴丫=女，不妨選取右焦點 F(R3m+ 3, 0)到其中一條漸近線 x <my=0的距離 求解，得 d= .3mJl3 =3.1 + m4. (2015河南開封模擬)設(shè)Fi, F2分別為雙曲線 多一上=1(a>0

3、, b>0)的左，右焦點.若 a b4A3C5C.4在雙曲線右支上存在點 P,滿足|PF2|= |FiF2|,且F2到直線PFi的距離等于雙曲線的實軸長， 則該雙曲線的離心率為()B.5D資解析：選B.易知|PF2|= |FiF2|=2c,所以由雙曲線的定義知|PFi|= 2a+ 2c,因為F2到直 線PFi的距離等于雙曲線的實軸長，所以 (a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2= 0,兩邊 同除以a2,得3e2-2e- 5 = 0,解得e=5或e= 1(舍去).2 x5. (2015蘭州市、張掖市圖三聯(lián)考)已知雙曲線 了a2y2=1(a>0, b>0)

4、的左、右焦點分3別為F1、F2,以IF1F2I為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3, 4),則此雙曲線的方程A.C.)2216 9:上:9 16B.D.22士:342243解析：選C.由題意知，圓的半徑為5,又點(3, 4)在經(jīng)過第一、三象限的漸近線y=-xaa2+b2=25上，因此有£b ,|4=3X !a解得la3,所以此雙曲線的方程為X- y- = 1.b= 49 166. 已知雙曲線xr-y=1的右焦點的坐標(biāo)為(甲3, 0),9 a則該雙曲線的漸近線方程為解析：依題意知(/3)2=9+a,所以a=4,22故雙曲線方程為Xy=i,9 4則漸近線方程為x± y=o.

5、 3 2即 2xi3y=0.答案：2x+3y= 0或 2x3y=07. (2015浙江六市六校聯(lián)盟模擬)如圖所示, 形ABCD的頂點A, B為左、右焦點，且雙曲線過 AB=4, BC=3,則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為22，一y2=1(a>0, b>0).由題意得B(2, 0), C(2, 3), f4 = a2+b2,已知雙曲線以長方C, D兩頂點.若9 .解得a2= 1, b2= 3,.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案：x2-y-= 13x2-y= 1.38. (2015武漢*II擬)已知Fi,F2分別是雙曲線x2-2= 1(a>0, b>0)的左、右焦點

6、，P a b為雙曲線右支上的任意一點.若|PF"2|PF+=8a,則雙曲線的離心率e的取值范圍是|PF2|解析：設(shè)|PF2|=y 貝U (y+2a)2= 8ay? (y2a)2=0? y = 2a> c a? e=< 3. a答案:(1, 39.已知雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱，且與圓x2+y2=10相交于點P(3, 1),若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程.解：切點為P(3, 1)的圓x2+y2= 10的切線方程是 3x-y= 10. 雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱， .兩漸近線方程為 3x=0.設(shè)所求雙曲線方程為 9x2-

7、y2=0) . 點P(3, 1)在雙曲線!，代八上式可得入=80, 所求的雙曲線方程為 xr *=1.80 80910,已知離心率為4的橢圓的中心在原點， 焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸， 5短軸為虛軸，且焦距為 2 .34.(1)求橢圓及雙曲線的方程；(2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為A、B,在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P,連結(jié)BP交橢圓于點M,連結(jié)PA并延長交橢圓于點 N,若BM=MP,求四邊形 ANBM的面積.2222解：（1）設(shè)橢圓方程為a2+b2=1（a>b>0）,則根據(jù)題意知雙曲線的方程為 02立=1且滿曲二ja2 = 25,a 5 解方程組得22C-2L6 = 9.

8、Ra2 + b2 =2圾之、橢圓的方程為 親+=1,雙曲線的方程為25 925y_9=1.（2）由得 A（-5, 0）, B（5, 0）, |AB|=10, 的中點，所以P點坐標(biāo)為（2x05, 2y0）.將M、P坐標(biāo)代入橢圓和雙曲線方程，設(shè) M（X0, Y0）,則由 BM = MP,得 M 為 BP22得221 （2x05） 2 家25 9消去 Y0,得 2x05x025=0.5 ,、，,斛得X0= - 2或X0= 5（舍去）.3,35 3,3 ）。二堂.由此可得m（2,號）, P（-10, 3嫄）.則直線PA的方程是y= 羋（x+ 5）,522代入上 十 上=1 ,得 2x2 + 15x+

9、25 = 0.25 9解得x= 2或x= 5（舍去），5，xn= 2，則 xn=xm,所以 MNx 軸.13.3 一一 . S 四邊形 ANBM = 2SAMB= 2 X 2 X 10 X 2 =153.能力提升221. （2015唐山市高三年級統(tǒng)考）已知雙曲線C:點=1（0>。，b>0）的焦點為F1，F(xiàn)2,且C上點P滿足汨1 蘇2=0, 1蘇1|=3, |靛2|=4,則雙曲線 C的離心率為（）10 A.-B. 55C.2D. 5解析：選D.依題意得，2a= |PF2|PF1|= 1 , |FF2|= &|PF2十 |PF1|2 = 5,因此該雙曲線的離心率 e=一FF21

10、一=5.|PF2|一|PF1|2. （2015山西陽泉高三第一次診斷）已知點，點P在雙曲線 C上，且/ F1PF2=60° ,A. 2B.F1、F2分別為雙曲線則 |PF1| |PF2|等于（4C: x2-y2=1的左、右焦）C. 6D.解析：選B.由題意知a= 1, b= 1, c= y2, ，|f1F2|= 2V2,在PF1F2中，由余弦定理得|PFi|2十 |PF2|2-2|PFi|PF 21cos 60。=|F lF2=8即 |PFi|2十|PF2|一在(i, +8)上是增函數(shù)，那么 的取值范圍是(一i, 0).#2i + ea答案：(一i, 0) 25. (20i5湛江*I

11、I擬)已知雙曲線X2-y2=i(a>0, b>0)的右焦點為F(c, 0).|PFi|PF2|=8,由雙曲線定義得|PFi|-|PF2|=2a=2,兩邊平方得|PFi|2十|PF2|2-2|PFi|PF2|=4,得 |PFi|PF2|=4.22 一 . , x y3 . (2015浙江杭少M倜研)雙曲線一b2=1(a>0, b>0)的左、右焦點分別為Fi和F2,左、右頂點分別為Ai和A2,過焦點F2與x軸垂直的直線和雙曲線的一個交點為P,若|PAi|是|FiF2網(wǎng)|AiF2|的等比中項，則該雙曲線的離心率為解析：由題意可知|PAi|2=|F7F2|X|A)2|,即( +

12、 (a+ c)2= 2c(a+ c),化簡可得 a2= b2, aa2 + b2- 3貝U e= c= a答案：24 .已知c是雙曲線一i(a>0, b>0)的半焦距，則b-c的取值范圍是 a ba解析： = 2 -c =廣 -e=- j 21,由于 e> i,且函數(shù) f(e)=一aa ',e2i + ei b c.將b2=c2a2代入式，整理得3 4_ 2 244c4-2a2c2+a4=0,.3(a)4-8(c)2+ 4=0,.(3e22)(e22) = 0,e> 1, e= 2，雙曲線的離心率為，2.z2b>0)交于A, B兩點，且6.(選做題)直線

13、l: y=43(x2)和雙曲線 C： x2 y2= 1(a>0, a bAB|=43,又i關(guān)于直線ii： y= bx對稱的直線12與x軸平行. a(1)求雙曲線C的離心率e；(2)求雙曲線C的方程.?2解：(i)設(shè)雙曲線c： x?-3= i過一、三象限的漸近線ii：二一y=。的傾斜角為8a ba b因為1和12關(guān)于11對稱，記它們的交點為 P, 1與x軸的交點為 M.而12與X軸平行，記12與y軸的交點為Q.依題意有/ QPO = / POM = / OPM =八又1:所以所以y=43(x 2)的傾斜角為60° , tan 30。=b=走a 3 .22/ c . b .14”產(chǎn)

14、1+y 1+r 3e=J33 .22=1(kW0),(2)由于°=孚，于是設(shè)雙曲線方程為 a 3即 x2 3y2= 3k2.將 y=V3(x2)代入 x2 3y2=3k2 中, 得 x2-3X3(x-2)2= 3k2.化簡彳導(dǎo)到 8x2-36x+36+3k2=0.設(shè) A(x1，y1), B(x2, y2),則 |AB| = + + 3|x x2|= 2y(x+x2)2 4x1x2= 2XV362-4X 8X(36±3k2L. =92 f8解得k2= 1.故所求雙曲線 C的方程為y2= 1. 3a b(i)若雙曲線的一條漸近線方程為y=x且c=2,求雙曲線的方程；(2)以原點。為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線，斜率為一,3,求雙曲線的離心率.解：二.雙曲線的漸近線方程為y=x, , a=b,ac2 = a2 + b2 = 2 a2 = 4,a