2021新高考數(shù)學二輪總復習學案：5.3.1空間中的平行、垂直與空間角含解析

1、晨烏教育5.3立體幾何大題5.3.1空間中的平行、垂直與空間角必備知識精要梳理1證明線線平行和線線垂直的常用方法證明線線平行:少IJ用平行公理;級IJ用平行四邊形進行平行轉(zhuǎn)換;溯 用三角形 的中位線定理;用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進行平行轉(zhuǎn)換.(2) 證明線線垂直:aij用等腰三角形底邊上的中線即高線的性質(zhì);朗U用勾股定理； 鋼IJ用線面垂直的性質(zhì)定理.2證明線面平行和線面垂直的常用方法(1) 證明線而平行:利用線而平行的判定定理;朗U用面面平行的性質(zhì)定理.(2) 證明線而垂直:朗I用線而垂直的判定定理;朗U用而面垂直的性質(zhì)定理.3.證明面面平行和面面垂直的常用方法是判定定理.4利用空間向

2、量證明平行與垂直設(shè)直線/的方向向量為a=(ai,Ci),平面a$的法向量分別為卩二(如仇旳理二(心血心), 則：(1) 線面平行:/ aoa 丄 poaji=0oaid2+bi 加+ciC2=0.(2) 線面垂直:/丄aQapoa二kpodi二匕20二肋20二好2(厲0)(3) 面面平行：匕00卩0卩=力0。2=加302=2加,C2=Zt3(卻0)(4) 面面垂直:a丄0O卩丄v opv二00°2“3+加”3+0203二05利用空間向量求空間角(1)線線夾角的計算:設(shè)直線Lm的方向向量分別為a.bjl它們的夾角為0 M & 訂）匕則cos 0=a-ba WEarlybird(

3、2)線面夾角的計算:設(shè)平面a的法向量為n,直線AB與平面a所成的角為&，如下圖,則 sin &二Icosv月 En>l =聲i他2i(3) 面而夾角的計算:設(shè)平面久0的法向量分別為ni.n2,a與0的夾角為&如下圖,則Icos l=lcos<ni,n2>l=(4) 易錯點提醒 求線面角時，得到的是直線方向向1:和平面法向量的夾角的余弦，容易誤以為是線 面角的余弦. 求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，耍注意從圖中分析.關(guān)鍵能力學案突破熱點空間平行.垂宜關(guān) 系的證明左幾何法證明空間平行.、垂直關(guān)系【例1 （2020江蘇南通高三模擬,16）在多

4、而體ABCDEF中.BC/ZEF.BFiGMBC是邊 長為2的等邊三角形，四邊形ACDF是菱形,二60° MN分別是AB.DF的中點.求證皿“ 平面AEF（2）求證:平面ABC丄平面ACDF.解題心得用幾何法證明空間中的平行與垂直關(guān)系，關(guān)鍵是靈活運用各種平行（垂直） 關(guān)系的轉(zhuǎn)化：面面平行的劉定面面平行的性威面面垂貞的判定面面垂宜的性質(zhì)【對點訓練11 (2020吉林長春三模9)B在四棱錐 P-ABCD 中 AB/CDAB丄BC4B二BC= 1.PA二CD二2,PA丄平面 ABCD.E 在 棱PB上.(1)求證:AC丄PD;若 VP.4C£=2求證:PQ 平面AEC.2向量法證

5、明空間平行.垂直關(guān)系在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平而ABCD都是正方形11互相垂直,M為AB的中 點,O為DF的中點.證明:(1)OM平面BCF;(2)平而MDF丄平面EFCD解題心得向量法證明空間平行與垂直關(guān)系時，是以計算為手段,尋求直線上的線段對 應(yīng)的向量和平面的基向量、法向量的關(guān)系，關(guān)鍵是建立空間直角坐標系（或找空間一組基 底）及尋找平面的法向量.【對點訓練2 （2019福建廈門二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中,PA丄底面ABCDAD丄 DCAD=DC=AP=2AB= 1 £為棱PQ的中點證明：（1）BE 丄 DC;BE平面PAD;（3）平OH PCD丄平面PA

6、D熱點空間位置關(guān)系的證明二與求線面角【例3 （2020北京海淀二模,17）在四棱錐P-ABCD中，底而ABCD為直角梯形.BC/AD,處1ZADC=2.BC=CD=2AD=,E為線段AD的中點,PE丄底面ABCD、F是棱PC的中點，平而BEF與棱PD相交于點G.A求證BE/FGit若PC與AB所成的角為 °求直線PB與平面BEF所成角的正弦值.解題心得利用向量法求直線與平面所成角時，易混淆直線與平面所成角和直線的方 向向量與平面的法向量夾角的關(guān)系，一定要注意線面角&與直線的方向向量和平面的法 向量的夾角a的關(guān)系為sin= Icosal如圖,四棱錐P ABCD的底面為正方形,P

7、D丄底面ABCD設(shè)平面PAD與平面PBC的 交線為L(1) 證明:/丄平面PDC;(2) 已知PD=AD=.Q為I上的點，求PB與平而QCD所成角的正弦值的最大值.熱點空間位置關(guān)系的證明三與求二面角【例4】(2020全國/,理18)如圖Q為圓錐的頂點Q是圓錐底面的圓心川E為底面直徑AE二AD.MBC是底面的內(nèi)接 正三角形,P為DO上一點,PO=&DO.(1) 證明:PA丄平面PBC;(2) 求二面角BPCE的余弦值.解題心得利用空間向量求二面角的解題模型【對點訓練4】(2020山東秦安三模,19)在四棱錐PABCD中4PAB為等邊三角形，四邊形ABCD為矩形上為PB的中點QE 丄PB(

8、1 )證明:平面ABCD丄平面PAB;(2)設(shè)二面角APCB的大小為久求a的取值范圍.53立體幾何大題5.3.1空間中的平行、垂直與空間角關(guān)鍵能力學案突破【例1】證明取AC的中點。連接OMQN因為分別是ABQF的中點，所以在菱形 ACDF 中QNAF.在厶ABC 中,OMBC.又因為 BC/EF.所以 OM/EF、OMAON=O,所以平面OMN平面AEF.MNu平面OMN,所以平面AEF.(2)連接OF、OB因為"BC是邊長為2的等邊三角形，所以30丄AC.BO二因為四邊形ACDF是菱形，所以AF=2.0為ZFAC=60°，所以ACF為等邊三角形，所以O(shè)F丄AC,OF二因為

9、，所以BCP+OFBF2.所以BO丄OF.因為FOCAC=O,所以30丄平面ACDF.又因為BOu 平面ABC,所以平面ABC丄平面ACDF.對點訓練1證明(1)過點A作AF丄DC于點F.PVAB/ CDAB 丄 BCAB=BC= 1 ：四邊形ABCF為正方形，則CF=DF=AF= 1, Z ZDAC=90Q，得AC丄DA.又 PA丄底面 ABCDACu平面 ABCD,.AC丄P4.又 PAADci平面 PAD,PAQAD=A,/. AC丄平面PAD.又 PDu 平面 PADy/.AC丄PD(2)設(shè)點E到平面ABCD的距離為九則1 1 X XVP ACE= yp-ABCE ABC= 32 lx

10、l X(2-/?) =又 PA=2,則 PB : EB二PA :h=31 連接 D3 交 AC 于點 O漣接 OE, 'AOBs、COD、DO : OB=2 1,得 DB ： OB=3 : 1,PB : EB=DB ： OB,則 PD/OE.又 OEu 平面 AEC、PD£ 平面 AEC, ：PD平面AEC.【例2】證明由題意，得ABADAE兩兩垂直，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系4-小乙 設(shè)正方形邊長為1,則A(0Q0)( 1 Q0),C( 1J ,0)Q(0,1,0),F( 1 QI ),M(1 1 12J22)mi二(0廠112.2)=(-lAO),om-Ja

11、BAADE-BCF是直三棱柱，:AB丄平面BCF、 是平面BCF的一個法向量，且OM© 平面 BCF、/.OM平面 BCF.(2)設(shè)平面MDF與平面EFCQ的法向量分別為令= 則平面MDF的一個法向量m二L.L)T 2廠同理可得平面efCDI】1 二(X1J1 ,Z 1 )2 二(X22,Z2).vD?而=(冷0)反=(lrlJX*=(1AOXCF=(0rlJX叱更得ri-yi +i = o=1c由ntDM = 0:尹 i-yi =°-的一個法向量112=(0丄1).:111 112=0,:平面MDF丄平面EFCD.對點訓練2證明依題意,以點4為原點建立空間直角坐標系(如圖

12、)，可得3( 1 Q0),C(2,2Q)Q(020)屮(0,02) 由E為棱PC的中點，得E(1JJ)BEDCBEDC(1) 向量二(0丄 1),=(2Q0),故二0,所以 BE丄DC.(2) 因為PA丄平面ABCDABa平面ABCD,所以丄PA.又因為AB丄 AD.PACAD=A,所以 AB丄平面 PAD.所以向量aS=(1AO)為平面PAD的一個法向量,BEABBE丄而二(0丄1)(1,0,0)二0,所以又BEE平面PAD、所以BE平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一個法向量=(1AO),向量PD二(022),"=(2,0,0),設(shè)平面PCD的法向量為"(xg),

13、nPD = 0 嚇卩 C2y-2z = 0 二 n DC = 0 3 訂2% =。=LAB.不妨令)=1,可得n=(0丄1)為平面PCD的一個法向量則*ABn=(0丄 1)(1QO)=O,所以 n所以平面PAD丄平面PCD.1【例3】(1)證明因為E為AD中點，且BC=2AD.所以DE=BC又因為AD/BC,所以DE/BC所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以BE/CD因為BE平面 PDC,CDu平面PDC,所以3E平面PDC.因為BEu平面BEGF,平面3EG/T)平面 PDC=FG,所以 BE/FG.解由可得BECD,因為所以ZAEB二且PE丄平面ABCD以以E 為原點,E4為x軸£

14、;8為y軸,EP為z軸建立空間直角坐標系(如圖)，設(shè) P(OQ),可得 A( 100)0(0,1,0),C( 1J ,0),PCAB*1丄譏二(1丄0)因為PC與AB所成角為TT電所以PC,ABlcos<>1 =P(0O %F( 討屈),E(0,0,0),EF =(4=rT)-設(shè)平面BEF的法向量為n=(x,y,z),722(p>0),解得二PE=(0,lrn = .n = 0所以/2 EB),=(0 丄 0),y = 0s+ iy + 5 = o.運/2可得 22-2不妨令x二，可得n=(,0,1)為平面BEF的一個法向量.設(shè)直線PB與平面所成的角為a,則而 避竺=空sin

15、a=lcos<,n>l= 卩團也 I 3對點訓練3(1)證明因為PD丄底面ABCD,所以PD丄AD.又因為底面ABCD為正方形，所以ADLDC.所以AD丄平面PDC.因為AD/BCAD不在平面PBC中，所以AD平面PBC,又因為ADu平面 PAD平面PADQ平面PBC=I,所以I/AD.所以/丄平面PDC.(2)DAQCQP解以D為坐標原點,分別以的方向為x軸,，軸,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.由 PD=AD=,得 D(0Q0),C(0,l,0),B(l,lO),P(0Ql),則DC 二(0 丄 0),PB=(lJrl).由(1)可設(shè) 0(40,1),貝I

16、設(shè)n=(x,y,z)是平面QCD的法向量，則包=0即jiDC = 0sax+ z = 0 y =0.PB可取n=(l,0Q所以cos<n,>=n-PP _-1-anPB |、樂/1+迢設(shè)PB與平面QCD所成角為氏則sin0二庸 x la+1'因為-T當且僅當a=時，等號成立，所以PB與平面0CD所成角的正弦值的最大值為乜"V3V2【例 4證明設(shè) DO=a,由題設(shè)可得 POaAO=aAB=a,PA=PB=PC=a. 0 此 PA2+PB2=AB從而 PA丄PB.又 PA2+PC2=ACHh PA丄PC.所以PA丄平面PBC.解以O(shè)為坐標原點，"的方向為y軸

17、正方向,|°E|為單位長，建立如圖所示的空 間直角坐標系OQZV3 1八討)屮(0,0,由題設(shè)可得E(04 QM(0,1,0),C量,0 -1 ).7廠設(shè)m=(x,”z)是平面PCE的法向丄匹A-y z = 0 =怕 1C戈亍y = 0.m-EP = 0,m祝=0,則AP=(0-1.一可取m二/由知'2丿是平面PC3的一個法向喬2=邏量，記11=，則cos<njn>=岡恤I5所以二面角BPCE的余弦值為2/5對點訓練4(1)證明連接AE,因為P4B為等邊三角形,E為PB的中點，所以AE丄PB.又因為DE丄PBAECDE=E,所以PB丄平面ADE、PB丄AD因為 四邊形ABCD為矩形，所以AD±AB,ABnBP=B以AD丄平面PAB因為ADu平 面ABCD,所以平面ABCD丄平面PAB.解以4為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz PB=AB=PA=,C(OA 則A(O,O,O),P(冒No) .5(0,1,0),由空間向量的坐標運算可得設(shè)平面BPC的法向量為mPC = 0:r