差分與等距結點插值公式

1、一、差分及其性質一、差分及其性質向前差分向前差分 kkkfff 1, , 2 , ,:, , , 122213021203121212120102232121010fffffffffffffffffffffffffffkkkkkk 三三階階差差分分一一般般可可定定義義二二階階差差分分利利用用一一階階差差分分如如, ,12110101ffffffkkkkkk 向后差分：向后差分：1kkkfff,:,22:),2(),(01111110101222101011221010021000201ffffffkffffffffffffffffffhxffhxffkkkkkk 階階二二階階則則有有若若定定義

2、義21211021122/3012/12/12/312/12/1002/102/302/1)2()2( , , , ,:)2(),23(),2(:kkkkkffhxfhxfffffffffffffffffhxffhxffhxff一階記中心差分)3 ,2( 111 mfffkmkmkm 211211111kmkmkmkmkmkmffffffkkfIf1kkfEfikkiffE11kkffE2121kkffE2121kkffEkkfEfE1EEE212112121 EEEIEfIEfEffffkkkkkk 即即,)(11111,)( EIfEIfEIffffkkkkkk即即.)!(!)1()1()

3、1()(2332000211212321231212為為二二項項式式展展開開式式的的系系數(shù)數(shù)其其中中一一般般地地：例例如如：jmjmCjmfjmffjmfEjmfIEffffffffffffffffffffjmjkmjjkmjmkmjjkjmmjjkmkmkkkkkkkkkkkkkkkkkk k k可以利用可以利用 njkjknknknfjnfIfEf0)( ：差商和差分的關系。：差商和差分的關系。 ), 2 , 1( !1 !1,1nmfhmfhmxxxfmkmmkmmmkkk 22212221211221111122)(122)(1,)()(,hfhffhhfhffhxxxxfxxfxxx

4、fhfhfxxxfxfxxfkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk 例例如如：差分和導數(shù)的關系。：差分和導數(shù)的關系。 )( ,!)(1mkkmmmkkkmkmxxfhxxxfhmf ), 2 , 1( !1 !1,1nmfhmfhmxxxfmkmmkmmmkkk 60. 0lnln80. 0lnln40. 0lnln005103. 0)2(434344545441414xfxfxf65. 0ln27 . 06 . 0ln00750. 0 3321335323fff又如1.1.牛頓向前插值公式牛頓向前插值公式)()(!)(! 2)(1 )()(,)(,)()(11001020200011

5、0100100nnnnnnxxxxxxhnfxxxxhfxxfhfxxxxxxxxxfxxxxfxfxN 設已知節(jié)點設已知節(jié)點x xk k = =x x0 0+ +khkh ( (k k=0,1,2,=0,1,2,n n) ) !) 1() 1(! 2) 1()(002000fnntttfttftfthxNnn牛頓向前插值公式牛頓向前插值公式 ),( )()!1()() 1( )()()!1()()(0) 1(110) 1(nnnnnnxxfhnntttxxxxxxnfxR2.2.牛頓向后插值公式牛頓向后插值公式 !) 1() 1(! 2) 1()(2nnnnnnnfnntttfttftfth

6、xN牛頓向后插值公式牛頓向后插值公式 ),( )()!1()() 1()(0) 1(1nnnnxxfhnntttxR)()(,)(,)()(11011xxxxxxxxxfxxxxfxfxNnnnnnnnnn ), 2 , 1( !1 !1,1nmfhmfhmxxxfmkmmkmmmkkk),(01321xxxxxxnnnn 2) 1( tt2) 1( tt20)(! 31jjt20)(! 31jjt10)(!1njjtn10)(!1njjtn2) 1( tt20)(!31jjt10)(!1njjtn !) 1() 1(! 2) 1()(002000fnntttfttftfthxNnn !) 1

7、() 1(! 2) 1()(2nnnnnnnfnntttfttftfthxN)1(2tt)1(2tt)2)(1(! 3ttt)2)(1(! 3ttt6433003102 sin)2109.1()2109.0(7891.07891.1!4)1 .0(57891.0(18554711.0 2109.27891.07891.100083.061 7891.07891.100480.0211.78910.090010.38942 )57891.0(57891.0:7891.11 .0/)4 .057891.0()2)(1(00083.061 )1(00480.02109001.038942.0)(RN

8、SinhxxtttttttthxN），誤差為：由式（代入上式得將5471118. 057891. 054711. 0 7891. 0)2109. 0()2109. 1(00083. 0! 31)2109. 0( )2109. 1(00563. 0212109. 107958. 06442. 057891. 0:2109. 1)2)(1(! 300083. 0) 1(200563. 007958. 064422. 0)(443SinSinhxxtttttttthxN查表可得代入上式得將 如果被插值點如果被插值點x x在表中間，同樣可以選擇靠近在表中間，同樣可以選擇靠近x x的點的點, ,推出插值

9、推出插值公式公式, ,等距節(jié)點插值公式有很多應用，例如，很多工程設計計算時等距節(jié)點插值公式有很多應用，例如，很多工程設計計算時需要查各種函數(shù)表，用計算機求值時，就必須解決機器查表問題，需要查各種函數(shù)表，用計算機求值時，就必須解決機器查表問題，如果將整個函數(shù)表裝入內(nèi)存，勢必占用很多單元，如果用解析表達如果將整個函數(shù)表裝入內(nèi)存，勢必占用很多單元，如果用解析表達式近似函數(shù)，又可能精度達不到要求，這時一般都把較大表距的函式近似函數(shù)，又可能精度達不到要求，這時一般都把較大表距的函數(shù)值表存入，根據(jù)需要用插值公式求插值點上的函數(shù)值。數(shù)值表存入，根據(jù)需要用插值公式求插值點上的函數(shù)值。43222210105 . 0 cos7891. 17891. 0)2109. 0(!3)1 . 0()7891. 5(54707. 0 7891. 0)2109. 0(00240. 0)2109. 0(8