帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)(磁聚焦)

1、 當(dāng)帶電粒子從同一邊界入射當(dāng)帶電粒子從同一邊界入射出射時(shí)速度與邊界夾角相同出射時(shí)速度與邊界夾角相同對(duì)稱性對(duì)稱性 所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過(guò)所有電子的軌跡圓半徑相等，且均過(guò)O點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以點(diǎn)。這些軌跡圓的圓心都在以O(shè)為圓為圓心，半徑為心，半徑為r的且位于第的且位于第象限的四分象限的四分之一圓周上，如圖所示。之一圓周上，如圖所示。 電子由電子由O點(diǎn)射入第點(diǎn)射入第象限做勻速象限做勻速圓周運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)2000vmvev Bm r=reB2220112()(1)()422mvSrreBmin 即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)即所有出射點(diǎn)均在以坐標(biāo)(0，r)為圓心的圓弧為圓心的圓弧abO上，顯然，

2、上，顯然，磁場(chǎng)分布的最小面積磁場(chǎng)分布的最小面積應(yīng)是實(shí)線應(yīng)是實(shí)線1和圓弧和圓弧abO所圍的面積，由幾何所圍的面積，由幾何關(guān)系得關(guān)系得 由圖可知，由圖可知，a、b、c、d 等點(diǎn)就是各電等點(diǎn)就是各電子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿足方程子離開磁場(chǎng)的出射點(diǎn)，均應(yīng)滿足方程x2 + (ry)2=r2。222202212()(1)422m vrSre B 設(shè)設(shè)P(x，y)為磁場(chǎng)下邊界上的一為磁場(chǎng)下邊界上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的電子初速度與點(diǎn)，經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的電子初速度與x軸軸夾角為夾角為 ，則由圖可知：，則由圖可知：x = rsin ， y = rrcos ，得得: x2 + (yr)2 = r2。 所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是

3、半徑為所以磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界也是半徑為r，圓心為，圓心為(0，r)的的圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。圓弧應(yīng)是磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界。磁場(chǎng)上邊界如圖線磁場(chǎng)上邊界如圖線1所示。所示。 兩邊界之間圖形的面積即為所求。兩邊界之間圖形的面積即為所求。圖中的陰影區(qū)域面圖中的陰影區(qū)域面積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積：積，即為磁場(chǎng)區(qū)域面積：解析：解析：(1) 帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力平衡。由帶電微粒所受重力和電場(chǎng)力平衡。由Eq=mg，可得，可得E=mg/q，方向沿，方向沿y軸正方向。軸正方向。 帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng)。如圖（帶電微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后，將做圓周運(yùn)動(dòng)。如圖（a),軌跡半徑為軌跡半徑為r=R，由，由Bqv=mv2/r

4、得，得，B=mv/qR,方向垂直于紙面向外。方向垂直于紙面向外。如圖（如圖（b)所示，從任一點(diǎn)所示，從任一點(diǎn)P水平進(jìn)入磁場(chǎng)的水平進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為帶電微粒在磁場(chǎng)中做半徑為R 的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，圓心位于其正下方的心位于其正下方的Q點(diǎn)，設(shè)微粒從點(diǎn)，設(shè)微粒從M 點(diǎn)離開磁點(diǎn)離開磁場(chǎng)可證明四邊形場(chǎng)可證明四邊形PO MQ是菱形，則是菱形，則M 點(diǎn)就是坐點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)，故這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)標(biāo)原點(diǎn)，故這束帶電微粒都通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0 xyRO/Ov帶點(diǎn)微粒發(fā)射帶點(diǎn)微粒發(fā)射裝置裝置CPQr圖圖 (c)（2009海南海南T16）如圖，如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為a的正方形。的

5、正方形。質(zhì)量為質(zhì)量為m電荷量為電荷量為e的電子以大小為的電子以大小為v0的初速度沿紙面垂的初速度沿紙面垂直于直于BC邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻邊射入正方形區(qū)域。在正方形內(nèi)適當(dāng)區(qū)域中有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電子從強(qiáng)磁場(chǎng)，電子從BC邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從邊上的任意點(diǎn)入射，都只能從A點(diǎn)射點(diǎn)射出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：出磁場(chǎng)。不計(jì)重力，求：（1）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域中磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向；（2）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。）此勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積。ABCD（1）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為）設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B。令圓弧。令圓弧AEC是自是自C點(diǎn)垂

6、直于點(diǎn)垂直于BC入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。入射的電子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行軌道。依題意，圓心在依題意，圓心在A、C連線的中垂線上，連線的中垂線上，故故B點(diǎn)即為圓心，圓半徑為點(diǎn)即為圓心，圓半徑為a，按照牛頓定律有，按照牛頓定律有 ev0B= mv02/a，得，得B= mv0/ea。（2）自）自BC邊上其他點(diǎn)入射的電子運(yùn)動(dòng)軌道只能在邊上其他點(diǎn)入射的電子運(yùn)動(dòng)軌道只能在BAEC區(qū)域中。因而，圓弧區(qū)域中。因而，圓弧AEC是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。是所求的最小磁場(chǎng)區(qū)域的一個(gè)邊界。設(shè)某射中設(shè)某射中A點(diǎn)的電子速度方向與點(diǎn)的電子速度方向與BA的延長(zhǎng)線夾角為的延長(zhǎng)線夾角為的情形。該電子的運(yùn)動(dòng)軌跡的情形。該電子的

7、運(yùn)動(dòng)軌跡qpA如圖所示。圖中圓弧如圖所示。圖中圓弧Ap的圓心為的圓心為O，pq垂直于垂直于BC邊邊 ，圓弧，圓弧Ap的半徑仍為的半徑仍為a，在在D為原點(diǎn)、為原點(diǎn)、DC為為x軸、軸、DA為為y軸的坐標(biāo)系中，軸的坐標(biāo)系中，p點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(x，y)，則，則 x=asin，y=acos。因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，是分別以因此，所求的最小勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，是分別以B和和D為圓心、為圓心、a為半徑的兩個(gè)四為半徑的兩個(gè)四分之一圓周分之一圓周AEC和和AFC所圍成的區(qū)域，其面積為所圍成的區(qū)域，其面積為S=2(a2/4-a2/2) =(-2)a2/2由式可得：由式可得：x2+y2=a2，這意味著在范圍，

8、這意味著在范圍0/2內(nèi)，內(nèi)，p點(diǎn)處在以點(diǎn)處在以D為圓心、為圓心、a為半徑的四分之一圓周為半徑的四分之一圓周AFC上，上，它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求它是電子做直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的分界線，構(gòu)成所求磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界。磁場(chǎng)區(qū)域的另一邊界。xv0yv0v0v0如圖，在如圖，在xOy平面內(nèi)，有以平面內(nèi)，有以O(shè)(R，0)為圓心，為圓心，R為半徑的圓為半徑的圓形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為形磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B，方向垂直，方向垂直xOy平面向外，平面向外，在在 y=R上方有范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向水平向右，電場(chǎng)上方有范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向水平向右，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為強(qiáng)度大小為E

9、。在坐標(biāo)原點(diǎn)。在坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一放射源，可以在處有一放射源，可以在xOy平面平面內(nèi)向內(nèi)向 y 軸右側(cè)（軸右側(cè)（x 0）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在）發(fā)射出速率相同的電子，已知電子在該磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為該磁場(chǎng)中的偏轉(zhuǎn)半徑也為 R， 電子電量為電子電量為 e，質(zhì)量為，質(zhì)量為 m。 不計(jì)重力及阻力的作用。不計(jì)重力及阻力的作用。 （1）求電子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大??；）求電子射入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小； （2）速度方向沿）速度方向沿x軸正方向射入磁場(chǎng)軸正方向射入磁場(chǎng) 的電子，求它到達(dá)的電子，求它到達(dá)y軸所需要的時(shí)間；軸所需要的時(shí)間； （3）求電子能夠射到）求電子能夠射到y(tǒng)軸上的范圍。軸上的范圍。 如圖為一

10、種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在如圖為一種質(zhì)譜儀工作原理示意圖。在以以O(shè)為圓心，為圓心，OH為對(duì)稱軸，夾角為為對(duì)稱軸，夾角為2的扇形區(qū)域內(nèi)分布的扇形區(qū)域內(nèi)分布著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。對(duì)稱于著方向垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。對(duì)稱于OH軸的軸的C和和D分分別是離子發(fā)射點(diǎn)和收集點(diǎn)。別是離子發(fā)射點(diǎn)和收集點(diǎn)。CM垂直磁場(chǎng)左邊界于垂直磁場(chǎng)左邊界于M，且，且OM=d?，F(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從。現(xiàn)有一正離子束以小發(fā)散角（紙面內(nèi)）從C射出，射出，這些離子在這些離子在CM方向上的分速度均為方向上的分速度均為v0。若該離子束中比。若該離子束中比荷為荷為q/m的離子都能會(huì)聚到的離子都能會(huì)聚到D，試求：，試求： （

11、1）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向）磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向（提示：可考慮沿（提示：可考慮沿CM方向運(yùn)方向運(yùn)動(dòng)的離子為研究對(duì)象）動(dòng)的離子為研究對(duì)象）；（2）離子沿與）離子沿與CM成成 角的直線角的直線 CN進(jìn)入磁場(chǎng)，其軌道半徑和在進(jìn)入磁場(chǎng)，其軌道半徑和在 磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；（3）線段）線段CM的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。 （1）如圖所示，設(shè)沿）如圖所示，設(shè)沿CM方向運(yùn)動(dòng)的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)方向運(yùn)動(dòng)的離子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為動(dòng)的軌道半徑為R，由由R=d ，qv0B = mv02/R可得可得 B=mv0/qd，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。磁場(chǎng)方向垂直紙面向外。R=mv/qB 0)(2v)sin( dMNsinRR=mv/qB 例、例、在磁場(chǎng)在磁場(chǎng)B中，粒子受洛侖茲力作用中，粒子受洛侖茲力作用作半徑為作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)：的圓周運(yùn)動(dòng)： 設(shè)半徑為設(shè)半徑為r的圓軌道上運(yùn)動(dòng)的粒子，