生成函數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1生成函數(shù)生成函數(shù)2第1頁(yè)/共25頁(yè)第2頁(yè)/共25頁(yè)4第3頁(yè)/共25頁(yè)定義定義 5.1.1 設(shè)有一個(gè)有限或無(wú)限數(shù)列設(shè)有一個(gè)有限或無(wú)限數(shù)列012,a a a 012,a a a 稱稱G(x)為序列為序列的的生成函數(shù)生成函數(shù)， 做形式冪級(jí)數(shù)做形式冪級(jí)數(shù)并記為并記為kkxaxaxaaxG2210)( kaG第4頁(yè)/共25頁(yè)例例5.1.1 求二項(xiàng)式系數(shù)的序列求二項(xiàng)式系數(shù)的序列的生成函數(shù)。的生成函數(shù)。).,2 , 1 , 0(nkCkn解：設(shè)要求的生成函數(shù)為解：設(shè)要求的生成函數(shù)為G(x)，根，根據(jù)定義據(jù)定義5.1.1， 由二項(xiàng)式定理，由二項(xiàng)式定理， nkxnnxknxnxnnxG2210)(.)1

2、 ()(nxxG第5頁(yè)/共25頁(yè)121)(kkkxxxxxGxxG11)(第6頁(yè)/共25頁(yè)例例5.1.3求數(shù)列求數(shù)列 的生成函數(shù)，的生成函數(shù)，其中其中ak是多重集是多重集 的的 k-組合數(shù)組合數(shù),21kaaa,.,21nbbbkkn1解：解：該數(shù)列記作該數(shù)列記作ak ，它的生成函數(shù)，它的生成函數(shù)是是G(x)，則：則： nnkxxxkknxnnxG )1 ()1 (11101)(第7頁(yè)/共25頁(yè) kbka kc0)(kkkxaxA0)(kkkxbxB0)(kkkxcxC第8頁(yè)/共25頁(yè)10)()(0rkarkbrkk).()(xAxxBr性質(zhì)性質(zhì)1 若 則 證明證明 根據(jù)已知條件，有 )(000

3、)(11011011112210 xAxxaxaxaxbxbxbxbxbxbxbxbbxbxBrrkrrkrkrrrrrrkkkkrrrrrrkk第9頁(yè)/共25頁(yè)11性質(zhì)性質(zhì)2 若 則 證明證明 根據(jù)已知條件，有 ,rkkab).)(1)(10rkkkrxaxAxxB)(1)(1)(102211022102210rkkkrkrkrrrrrrrrkrkkkkrkkrkrrrkkkkkxaxAxxaxaxaxaxxaxaxaxaxaaxbxbxbbxbxB第10頁(yè)/共25頁(yè)12性質(zhì)性質(zhì)3 若 則 證明證明 等式 的兩端都乘以 ，得以上各式兩邊分別相加，得 kiikab0.1)()(xxAxBkii

4、kab0kx.,2102221202210100kkkkkkkxaxaxaxaxbxaxaxaxbxaxaxbab.1)()1)()1 ()1 ()1 ()(222102222120 xxAxxxaxaaxxxaxxxaxxaxB第11頁(yè)/共25頁(yè)13性質(zhì)性質(zhì)4 若 則 其中 收斂 證明證明 因?yàn)?收斂，所以 是存在的，于是有 以上各式兩邊分別相加，得 kiikab0.1)() 1 ()(xxxAAxB0iia0) 1 (kkaAkiikab.,) 1 (,) 1 (,) 1 (),1 (110121023222202112100kkkkkkkkxaaaAxaxaxbxaaAxaxaxbxaA

5、xaxaxbAaaab.1)() 1 ()1 ()() 1 ()1 ()1 ()1)(1 () 1 () 1 () 1 () 1 ()(2221021202102100 xxxAAxxxaxaaxAxxxaxxxaxxAxaaAxaaAxaAAxBnnkk第12頁(yè)/共25頁(yè)14性質(zhì)性質(zhì)5 若 則 證明證明 由 的定義知 kkkab ).()(xAxxB)(xA).()(0011xBxbxkaxkaxxAxkkkkkkkkk第13頁(yè)/共25頁(yè)15性質(zhì)性質(zhì)6 若 則 證明證明 根據(jù)已知條件有 1kabkkxdttAxxB0.)(1)().() 1()(0100000 xBxxbdttkbdttad

6、ttAkkkkxkkkxkkx第14頁(yè)/共25頁(yè)16性質(zhì)性質(zhì)7 若 則 證明證明 根據(jù)已知條件有 kkkbac)()()(xBxAxC)()()()(0000 xBxAxbxaxbaxcxCkkkkkkkkkkkkk第15頁(yè)/共25頁(yè)17性質(zhì)性質(zhì)8 若 則 證明證明 根據(jù)已知條件有 0110bababackkkk)()()(xBxAxC)()()()(00001100 xBxAxbxaxbababaxcxCkkkkkkkkkkkkkk第16頁(yè)/共25頁(yè)18性質(zhì)性質(zhì)9 若 。為常數(shù)，則)()(,xAxBabkk)()()(000 xAxaxaxbxBkkkkkkkkkk證明：證明：第17頁(yè)/共2

7、5頁(yè)19;111xG ;11xGk ;)1 (2xxkG;)1 (2) 1(3xxkkG ;)1 ()1 (32xxxkG ,)1 (44323xxxxkG;!1xekG;)1 (axkG (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 第18頁(yè)/共25頁(yè)20)2)(1(kkkG),()2)(1(xAkkkG.)1 (2) 1()2)(1()(32120101xxxxkkdttkkkdtttAkkxkxk,)1 (6)1 (2)(4233xxxxxxA4)1 (6)(xxxA解解 方法方法1 設(shè)設(shè) 則：則： 所以所以 故故 第19頁(yè)/共25頁(yè)21kkkkkk23)2)(1(23

8、 ,)1 (2xxkG ,)1 ()1 (32xxxkG 4323)1 (4xxxxkG423432)1 (6)1 (2)1 ()1 (3)1 (4)2)(1(xxxxxxxxxxxkkkG第20頁(yè)/共25頁(yè)22 ka,21632)(2xxxxAka,321221632)(2xxxxxxA,222212010nkkkkkxxx).1(732) 1(221kkakk解解方法方法1：用多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法得：用多項(xiàng)式的長(zhǎng)除法得則：則： 所以有所以有第21頁(yè)/共25頁(yè)k=0ak=2；當(dāng)k=1時(shí)，ak=22+3=7；當(dāng)k1時(shí)，ak=2k+1+32k-1-62k-2=2k+1；23xxxxxxxxxA21621321221632)(22,222212010nkkkkkxxx023213kkkxxxx02226216kkkxxxx，).1(732) 1(221kkakk第22頁(yè)/共25頁(yè)2422221n 2k,)1 ()1 (032kkkxaxxxkG.2kak,21222kbk,01kikkikkaab420)1 ()1 (1xxxxkGxbbGkkkk kb.3)(02kkkxkkxxbG解解 由前面列出的第（由前面列出的第