9 時間序列經濟學模型

1、第九章第九章時間序列計量經濟學模型時間序列計量經濟學模型 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗 隨機時間序列分析模型隨機時間序列分析模型 協(xié)整分析與誤差修正模型協(xié)整分析與誤差修正模型9.1 9.1 時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗時間序列的平穩(wěn)性及其檢驗一、一、問題的引出：問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典回歸模型非平穩(wěn)變量與經典回歸模型二、二、時間序列數據的平穩(wěn)性時間序列數據的平穩(wěn)性三、三、平穩(wěn)性的圖示判斷平穩(wěn)性的圖示判斷四、四、平穩(wěn)性的單位根檢驗平穩(wěn)性的單位根檢驗五、五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程一、問題的引出：非平穩(wěn)變量與經典一、問題的引出：非平穩(wěn)變量

2、與經典回歸模型回歸模型常見的數據類型常見的數據類型到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有：到目前為止，經典計量經濟模型常用到的數據有： 時間序列數據時間序列數據（time-series data) 截面數據截面數據(cross-sectional data) 平行平行/面板數據面板數據（panel data/time-series cross-section data) 時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據時間序列數據是最常見，也是最常用到的數據經典回歸模型與數據的平穩(wěn)性經典回歸模型與數據的平穩(wěn)性 經典回歸分析經典回歸分析暗含暗含著一個重要著一個重要假設假設：數據是數據是平穩(wěn)的。平穩(wěn)的

3、。 數據非平穩(wěn)數據非平穩(wěn)，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎，大樣本下的統(tǒng)計推斷基礎“一致性一致性”要求要求被破懷。被破懷。 經典回歸分析的假設之一：解釋變量經典回歸分析的假設之一：解釋變量X是非是非隨機變量隨機變量nXXi/)(2QnXXPin)/)(2lim依概率收斂：依概率收斂： (2) 放寬該假設：放寬該假設：X是隨機變量，則需進一步要求：是隨機變量，則需進一步要求： (1)X與隨機擾動項與隨機擾動項 不相關不相關 Cov(X, )=0 第（第（2）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的）條是為了滿足統(tǒng)計推斷中大樣本下的“一一致性致性”特性：特性：)(limnP第（第（1）條是）條是OLS估計的需要估計

4、的需要nxnuxxuxiiiiii/22QnxPnuxPPiiin0/lim/limlim2如果如果X是非平穩(wěn)數據是非平穩(wěn)數據（如表現出向上的趨勢），（如表現出向上的趨勢），則（則（2）不成立，回歸估計量不滿足）不成立，回歸估計量不滿足“一致性一致性”，基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。基于大樣本的統(tǒng)計推斷也就遇到麻煩。因此因此：注意：注意：在雙變量模型中：在雙變量模型中： 表現在表現在:兩個本來沒有任何因果關系的變量，兩個本來沒有任何因果關系的變量，卻有很高的相關性卻有很高的相關性（有較高的（有較高的R2)。例如：例如：如果如果有兩列時間序列數據表現出一致的變化趨勢（非有兩列時間序列數據表現

5、出一致的變化趨勢（非平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關系，但平穩(wěn)的），即使它們沒有任何有意義的關系，但進行回歸也可表現出較高的可決系數。進行回歸也可表現出較高的可決系數。 數據非平穩(wěn)，往往導致出現數據非平穩(wěn)，往往導致出現“虛假回虛假回歸歸”問題問題 在現實經濟生活中，在現實經濟生活中，實際的時間序列數據實際的時間序列數據往往是非平穩(wěn)的往往是非平穩(wěn)的，而且主要的經濟變量如消費、而且主要的經濟變量如消費、收入、價格往往表現為一致的上升或下降。這收入、價格往往表現為一致的上升或下降。這樣樣，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，仍然通過經典的因果關系模型進行分析，一般不會得到有意義的結果。一般不會得

6、到有意義的結果。 時間序列分析模型方法時間序列分析模型方法就是在這樣的情況就是在這樣的情況下，下，以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主以通過揭示時間序列自身的變化規(guī)律為主線而發(fā)展起來的全新的計量經濟學方法論線而發(fā)展起來的全新的計量經濟學方法論。 時間序列分析時間序列分析已組成現代計量經濟學的重已組成現代計量經濟學的重要內容，并廣泛應用于經濟分析與預測當中。要內容，并廣泛應用于經濟分析與預測當中。二、時間序列數據的平穩(wěn)性二、時間序列數據的平穩(wěn)性定義：定義： 假定某個時間序列是由某一假定某個時間序列是由某一隨機過程隨機過程（stochastic process）生成的，即假定時間序列）生成的，即假

7、定時間序列Xt（t=1, 2, ）的每一個數值都是從一個概率）的每一個數值都是從一個概率分布中隨機得到，如果滿足下列條件：分布中隨機得到，如果滿足下列條件： 1）均值）均值E(XE(Xt t)=)= 是與時間是與時間t 無關的常數；無關的常數； 2）方差）方差Var(XVar(Xt t)=)= 2 2是與時間是與時間t 無關的常數；無關的常數； 3）協(xié)方差）協(xié)方差Cov(XCov(Xt t,X,Xt+kt+k)=)= k k 是是只與時期間隔只與時期間隔k有有關，與時間關，與時間t 無關的常數；無關的常數； 則稱該隨機時間序列是則稱該隨機時間序列是平穩(wěn)的平穩(wěn)的（stationary)，而該隨機

8、過程是一而該隨機過程是一平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程（stationary stochastic process）。）。 例例9.1.1一個最簡單的隨機時間序列是一具一個最簡單的隨機時間序列是一具有零均值同方差的獨立分布序列：有零均值同方差的獨立分布序列： Xt= t ， tN(0, 2)該序列常被稱為是一個該序列常被稱為是一個白噪聲白噪聲（white noise）。 由于由于XtXt具有相同的均值與方差，且協(xié)方差具有相同的均值與方差，且協(xié)方差為零為零, ,由定義由定義, ,一個白噪聲序列是平穩(wěn)的一個白噪聲序列是平穩(wěn)的。 例例9.1.2另一個簡單的隨機時間列序被稱為另一個簡單的隨機時間列序被稱為隨

9、機游走（隨機游走（random walk），該序列由如下隨機該序列由如下隨機過程生成：過程生成： X t=Xt-1+ t 這里，這里， t是一個白噪聲。是一個白噪聲。 容易知道該序列有相同的容易知道該序列有相同的均值均值：E(Xt)=E(Xt-1) 為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設為了檢驗該序列是否具有相同的方差，可假設Xt的初值為的初值為X0，則易知，則易知: X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 X Xt t=X=X0 0+ +1+2+t 由于由于X X0 0為常數，為常數， t t是一個白噪聲，因此是一個白噪聲，因此: : Var(XtVar(Xt)=t)=t 2 2即即

10、Xt的方差與時間的方差與時間t t有關而非常數，它是一非平穩(wěn)有關而非常數，它是一非平穩(wěn)序列。序列。 然而，對然而，對X X取取一階差分一階差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t由于由于 t t是一個白噪聲，則序列是一個白噪聲，則序列Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。 后面將會看到后面將會看到: :如果一個時間序列是非平穩(wěn)如果一個時間序列是非平穩(wěn)的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序的，它常?？赏ㄟ^取差分的方法而形成平穩(wěn)序列列。 事實上，事實上，隨機游走過程隨機游走過程是下面我們稱之為是下面我們稱之為1階階自回歸自回歸AR(1)過程過程的特例的特例: Xt= Xt-1+t

11、不難驗證不難驗證:1)| |1時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，時，該隨機過程生成的時間序列是發(fā)散的，表現為持續(xù)上升表現為持續(xù)上升( 1)或持續(xù)下降或持續(xù)下降( -1)，因此，因此是非平穩(wěn)的；是非平穩(wěn)的； 2) =1時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的時，是一個隨機游走過程，也是非平穩(wěn)的。9.2中將證明中將證明:只有當只有當-1-1 10，樣本自相關系數近似，樣本自相關系數近似地服從以地服從以0為均值，為均值，1/n 為方差的正態(tài)分布，其為方差的正態(tài)分布，其中中n為樣本數。為樣本數。 也可檢驗對所有也可檢驗對所有k0，自相關系數都為，自相關系數都為0的聯的聯合假設，這可通過如下合假設，這可

12、通過如下QLB統(tǒng)計量進行：統(tǒng)計量進行：mkkLBknrnnQ12)2( 該統(tǒng)計量近似地服從自由度為該統(tǒng)計量近似地服從自由度為m m的的 2 2分布分布（m m為滯后長度）。為滯后長度）。 因此因此:如果計算的如果計算的Q Q值大于顯著性水平為值大于顯著性水平為 的臨界值，則有的臨界值，則有1-1- 的把握拒絕所有的把握拒絕所有 k k(k(k0)0)同同時為時為0 0的假設。的假設。 例例9.1.3:9.1.3: 表表9.1.19.1.1序列序列Random1Random1是通過一是通過一隨機過程（隨機函數）生成的有隨機過程（隨機函數）生成的有1919個樣本的隨個樣本的隨機時間序列。機時間序列

13、。 表表 9 9. .1 1. .1 1 一一個個純純隨隨機機序序列列與與隨隨機機游游走走序序列列的的檢檢驗驗 序號 Random1 自相關系數 kr(k=0,1,17) LBQ Random2 自相關系數 kr(k=0,1,17) LBQ 1 -0.031 K=0, 1.000 -0.031 1.000 2 0.188 K=1, -0.051 0.059 0.157 0.480 5.116 3 0.108 K=2, -0.393 3.679 0.264 0.018 5.123 4 -0.455 K=3, -0.147 4.216 -0.191 -0.069 5.241 5 -0.426 K=

14、4, 0.280 6.300 -0.616 0.028 5.261 6 0.387 K=5, 0.187 7.297 -0.229 -0.016 5.269 7 -0.156 K=6, -0.363 11.332 -0.385 -0.219 6.745 8 0.204 K=7, -0.148 12.058 -0.181 -0.063 6.876 9 -0.340 K=8, 0.315 15.646 -0.521 0.126 7.454 10 0.157 K=9, 0.194 17.153 -0.364 0.024 7.477 11 0.228 K=10, -0.139 18.010 -0.13

15、6 -0.249 10.229 12 -0.315 K=11, -0.297 22.414 -0.451 -0.404 18.389 13 -0.377 K=12, 0.034 22.481 -0.828 -0.284 22.994 14 -0.056 K=13, 0.165 24.288 -0.884 -0.088 23.514 15 0.478 K=14, -0.105 25.162 -0.406 -0.066 23.866 16 0.244 K=15, -0.094 26.036 -0.162 0.037 24.004 17 -0.215 K=16, 0.039 26.240 -0.37

16、7 0.105 25.483 18 0.141 K=17, 0.027 26.381 -0.236 0.093 27.198 19 0.236 0.000 容易驗證：該樣本序列的均值為該樣本序列的均值為0 0，方差為，方差為0.07890.0789。 從圖形看：它在其樣本均值它在其樣本均值0 0附近上下波動，附近上下波動，且樣本自相關系數迅速下降到且樣本自相關系數迅速下降到0 0，隨后在，隨后在0 0附近附近波動且逐漸收斂于波動且逐漸收斂于0 0。 （a） （b） -0.6-0.4-0.20.00.20.40.624681012141618RANDOM1-0.8-0.40.00.40.81.2

17、24681012141618RANDOM1AC 由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不由于該序列由一隨機過程生成，可以認為不存在序列相關性，因此存在序列相關性，因此該序列為一白噪聲。該序列為一白噪聲。 根據根據BartlettBartlett的理論：的理論： k kN(0,1/19)0,1/19)，因因此任一此任一r rk k(k(k0)0)的的95%95%的置信區(qū)間都將是的置信區(qū)間都將是: :4497. 0 ,4497. 019/196. 1 ,19/196. 1,025. 0025. 0ZZ 可以看出可以看出:k0時，時，rk的值確實落在了該區(qū)間內，的值確實落在了該區(qū)間內，因此可以接受因此

18、可以接受 k(k0)為為0的假設的假設。 同樣地同樣地，從從QLB統(tǒng)計量的計算值看，滯后統(tǒng)計量的計算值看，滯后17期期的計算值為的計算值為26.38，未超過，未超過5%顯著性水平的臨顯著性水平的臨界值界值27.58，因此，因此,可以接受所有的自相關系數可以接受所有的自相關系數 k(k0)都為都為0的假設。的假設。 因此因此，該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。該隨機過程是一個平穩(wěn)過程。 序列序列Random2Random2是由一隨機游走過程是由一隨機游走過程 X Xt t=X=Xt-1t-1+ + t t生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第生成的一隨機游走時間序列樣本。其中，第0 0項項取值為取值為0

19、 0， t t是由是由Random1Random1表示的白噪聲。表示的白噪聲。 （a） （b） -1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.424681012141618RANDOM2-0.8-0.40.00.40.81.224681012141618RANDOM2AC 圖形表示出：圖形表示出：該序列具有相同的均值，但從樣該序列具有相同的均值，但從樣本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到本自相關圖看，雖然自相關系數迅速下降到0，但隨著時間的推移，則在但隨著時間的推移，則在0附近波動且呈發(fā)散趨附近波動且呈發(fā)散趨勢。勢。 樣本自相關系數顯示樣本自相關系數顯示：r r1 1=0.48=0

20、.48，落在了區(qū)間，落在了區(qū)間-0.4497, 0.4497-0.4497, 0.4497之外，因此在之外，因此在5%5%的顯著性水的顯著性水平上拒絕平上拒絕 1 1的真值為的真值為0 0的假設。的假設。 該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。該隨機游走序列是非平穩(wěn)的。例例9.1.4 檢驗中國支出法檢驗中國支出法GDP時間序列的平穩(wěn)性時間序列的平穩(wěn)性。 表表9.1.2 19782000年中國支出法年中國支出法GDP（單位：億元）（單位：億元） 圖圖9 9. .1 1. .5 5 1 19 97 78 82 20 00 00 0年年中中國國G GD DP P時時間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關關圖圖

21、-0.4-0.20.00.20.40.60.81.01.2246810 12 14 16 18 20 22GDPACF02000040000600008000010000078 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00GDP 圖形：表現出了一個持續(xù)上升的過程圖形：表現出了一個持續(xù)上升的過程，可初，可初步判斷步判斷是非平穩(wěn)是非平穩(wěn)的。的。 樣本自相關系數：緩慢下降樣本自相關系數：緩慢下降，再次表明它的，再次表明它的非平穩(wěn)非平穩(wěn)性。性。 從滯后從滯后18期的期的QLB統(tǒng)計量看統(tǒng)計量看： QLB(18)=57.1828.86=20.05 拒絕拒絕：該時間序列的自相關系數在滯后

22、：該時間序列的自相關系數在滯后1期之后期之后的值全部為的值全部為0的假設。的假設。 結論結論:19782000年間中國年間中國GDP時間序列是非平穩(wěn)序列。時間序列是非平穩(wěn)序列。例例9.1.59.1.5 檢驗檢驗2.102.10中關于人均居民消費與人均中關于人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。國內生產總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。 圖圖 9.1.6 19811996中中國國居居民民人人均均消消費費與與人人均均 GDP 時時間間序序列列及及其其樣樣本本自自相相關關圖圖 01000200030004000500060008284868890929496GDPPCCPC-0.4-0.20.

23、00.20.40.60.81.01.212345678910 11 12 13 14 15GDPPCCPC 原圖 樣本自相關圖 從圖形上看：從圖形上看：人均居民消費（人均居民消費（CPCCPC）與人均國）與人均國內生產總值（內生產總值（GDPPCGDPPC）是非平穩(wěn)的是非平穩(wěn)的。 從滯后從滯后1414期的期的QLB統(tǒng)計量看：統(tǒng)計量看：CPCCPC與與GDPPCGDPPC序列的序列的統(tǒng)計量計算值均為統(tǒng)計量計算值均為57.1857.18，超過了顯著性水平為，超過了顯著性水平為5%5%時的臨界值時的臨界值23.6823.68。再次。再次表明它們的非平穩(wěn)性。表明它們的非平穩(wěn)性。 就此來說，運用傳統(tǒng)的回

24、歸方法建立它們的就此來說，運用傳統(tǒng)的回歸方法建立它們的回歸方程是無實際意義的。回歸方程是無實際意義的。 不過，不過，9.3中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時中將看到，如果兩個非平穩(wěn)時間序列是間序列是協(xié)整協(xié)整的，則傳統(tǒng)的回歸結果卻是有的，則傳統(tǒng)的回歸結果卻是有意義的，而這兩時間序列恰是意義的，而這兩時間序列恰是協(xié)整協(xié)整的。的。 四、平穩(wěn)性的單位根檢驗四、平穩(wěn)性的單位根檢驗 （unit root test） 1 1、DFDF檢驗檢驗 隨機游走序列隨機游走序列: Xt=Xt-1+t是非平穩(wěn)的，其中t是白噪聲。而該序列可看成是隨機模型: Xt=Xt-1+t中參數=1時的情形。 （* *）式可變形式成差分形式：

25、）式可變形式成差分形式： Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*)檢驗（檢驗（*）式是否存在單位根）式是否存在單位根 =1，也可通過（，也可通過（*）式判斷是否有式判斷是否有 =0。對式：對式： Xt=Xt-1+t （*） 進行回歸，如果確實發(fā)現進行回歸，如果確實發(fā)現 =1，就說隨機變量，就說隨機變量Xt有一個有一個單位根單位根。一般地一般地: : 檢驗一個時間序列檢驗一個時間序列XtXt的平穩(wěn)性，可通過檢驗的平穩(wěn)性，可通過檢驗帶有截距項的一階自回歸模型：帶有截距項的一階自回歸模型： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* *）中的參數中的參數 是否小

26、于是否小于1 1。 或者：或者：檢驗其等價變形式：檢驗其等價變形式： X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t （* * *）中的參數中的參數 是否小于是否小于0 0 。 在第二節(jié)中將證明，（在第二節(jié)中將證明，（*）式中的參數）式中的參數 1或或 =1時，時間序列是非平穩(wěn)的時，時間序列是非平穩(wěn)的;對應于（對應于（*）式，則是）式，則是 0或或 =0。 因此，針對式：因此，針對式： Xt= + Xt-1+ t 我們關心的檢驗為我們關心的檢驗為：零假設零假設 H0： =0。 備擇假設備擇假設 H1： 0 上述檢驗可通過上述檢驗可通過OLS法下的法下的t檢驗完成。檢驗完成。 然而

27、，在零假設（序列非平穩(wěn)）下，即使在大然而，在零假設（序列非平穩(wěn)）下，即使在大樣本下樣本下t統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），統(tǒng)計量也是有偏誤的（向下偏倚），通常的通常的t 檢驗無法使用。檢驗無法使用。 Dicky和和Fuller于于1976年提出了這一情形下年提出了這一情形下t統(tǒng)統(tǒng)計量服從的分布（這時的計量服從的分布（這時的t統(tǒng)計量稱為統(tǒng)計量稱為 統(tǒng)計統(tǒng)計量量），即即DF分布分布（見表（見表9.1.3）。）。 由于由于t統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于統(tǒng)計量的向下偏倚性，它呈現圍繞小于零值的偏態(tài)分布。零值的偏態(tài)分布。 因此，可通過因此，可通過OLS法估計：法估計： X Xt t= = + +

28、X Xt-1t-1+ + t t 并計算并計算t統(tǒng)計量的值，與統(tǒng)計量的值，與DF分布表中給定顯著性分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較：水平下的臨界值比較：表表 9.1.3 DF 分分布布臨臨界界值值表表 樣 本 容 量 顯著性水平 25 50 100 500 t分布臨界值 （n=） 0.01 -3.75 -3.58 -3.51 -3.44 -3.43 -2.33 0.05 -3.00 -2.93 -2.89 -2.87 -2.86 -1.65 0.10 -2.63 -2.60 -2.58 -2.57 -2.57 -1.28 如果：如果：t臨界值，則拒絕零假設臨界值，則拒絕零假設H0： =0，

29、認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。認為時間序列不存在單位根，是平穩(wěn)的。注意：在不同的教科書上有不同的描述，但注意：在不同的教科書上有不同的描述，但是結果是相同的。是結果是相同的。例如：例如：“如果計算得到的如果計算得到的t統(tǒng)計量的絕對值大于統(tǒng)計量的絕對值大于臨界值的絕對值，則拒絕臨界值的絕對值，則拒絕=0”的假設，原序列的假設，原序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。不存在單位根，為平穩(wěn)序列。 問題的提出：問題的提出： 在利用在利用 X Xt t= = + + X Xt-1t-1+ + t t對時間序列進行平穩(wěn)性對時間序列進行平穩(wěn)性檢驗中檢驗中，實際上實際上假定了時間序列是由具有白噪聲隨假定了時間序

30、列是由具有白噪聲隨機誤差項的一階自回歸過程機誤差項的一階自回歸過程AR(1)生成的生成的。 但在實際檢驗中但在實際檢驗中，時間序列可能由更高階的自，時間序列可能由更高階的自回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲回歸過程生成的，或者隨機誤差項并非是白噪聲，這樣用這樣用OLS法進行估計均會表現出隨機誤差項出現法進行估計均會表現出隨機誤差項出現自相關自相關（autocorrelation），導致導致DF檢驗無效。檢驗無效。 2 2、ADFADF檢驗檢驗 另外另外，如果時間序列包含有明顯的隨時如果時間序列包含有明顯的隨時間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也間變化的某種趨勢（如上升或下降），則也容

31、易導致上述檢驗中的容易導致上述檢驗中的自相關隨機誤差項問自相關隨機誤差項問題題。 為了保證為了保證DF檢驗中隨機誤差項的白噪聲檢驗中隨機誤差項的白噪聲特性，特性，Dicky和和Fuller對對DF檢驗進行了擴充，檢驗進行了擴充，形成了形成了ADF（Augment Dickey-Fuller ）檢驗）檢驗。 ADFADF檢驗是通過下面三個模型完成的：檢驗是通過下面三個模型完成的：模 型1： tmiitittXXX11 （ *） 模 型2： tmiitittXXX11 （ *） 模 型3： tmiitittXXtX11 （ *） 模型模型3 中的中的t是時間變量是時間變量，代表了時間序列隨代表了時

32、間序列隨時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型時間變化的某種趨勢（如果有的話）。模型1與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨與另兩模型的差別在于是否包含有常數項和趨勢項。勢項。 檢驗的假設都是：針對檢驗的假設都是：針對H1: 臨界值，不能拒絕存臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。在單位根的零假設。 時間T的t統(tǒng)計量小于ADF分布表中的臨界值，因此不能拒絕不存在趨勢項的零假不能拒絕不存在趨勢項的零假設設。需進一步檢驗模型需進一步檢驗模型2 。 2）經試驗，模型）經試驗，模型2中滯后項取中滯后項取2階：階：21115. 165. 1057. 045.357ttttGDPGDPGDPGDP （-0

33、.90） (3.38) (10.40) (-5.63) LM（1）=0.57 LM（2）=2.85 LM檢驗表明模型殘差不存在自相關性，檢驗表明模型殘差不存在自相關性，因此該模型的設定是正確的。因此該模型的設定是正確的。 從從GDPt-1的參數值看，其的參數值看，其t統(tǒng)計量為正值，統(tǒng)計量為正值，大于臨界值大于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設不能拒絕存在單位根的零假設。 常數項的常數項的t統(tǒng)計量小于統(tǒng)計量小于AFD分布表中的臨界值分布表中的臨界值，不能拒絕不存常數項的零假設。不能拒絕不存常數項的零假設。需進一步檢需進一步檢驗模型驗模型1。 3)3)經試驗，模型經試驗，模型1中滯后項取中滯后項取

34、2階階： 211194. 1701. 1063. 0ttttGDPGDPGDPGDP （4.15） (11.46) (-6.05) LM（1）=0.17 LM（2）=2.67 LM檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，檢驗表明模型殘差項不存在自相關性，因此模型的設定是正確的。因此模型的設定是正確的。 從從GDPt-1的參數值看，其的參數值看，其t統(tǒng)計量為正值，大統(tǒng)計量為正值，大于臨界值，于臨界值，不能拒絕存在單位根的零假設。不能拒絕存在單位根的零假設。 可斷定中國支出法可斷定中國支出法GDP時間序列是非平穩(wěn)的。時間序列是非平穩(wěn)的。例例9.1.7 檢驗檢驗2.102.10中關于人均居民消費與人中關于

35、人均居民消費與人均國內生產總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。均國內生產總值這兩時間序列的平穩(wěn)性。 1) 對對中國人均國內生產總值中國人均國內生產總值GDPPC來說，來說，經過償試，三個模型的適當形式分別為：經過償試，三個模型的適當形式分別為：模型3： 1103. 115. 036.4508.75tttGDPPCGDPPCtGDPPC （-0.75） (1.93) (-1.04) (2.31) LM（1）=2.88 LM（2）=1.86 模型 2： 211425. 1040. 0652. 002.192ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （-1.78） (3.26) (0.08) (-2.

36、96) 43403. 1412. 0ttGDPPCGDPPC (-0.67) (-2.20) LM（1）=1.67 LM（2）=1.71 LM(3)=6.28 LM（4）=10.92 模型1： 211975. 0875. 0196. 0ttttGDPPCGDPPCGDPPCGDPPC （2.63） (2.61) (-2.72) LM（1）=0.20 LM（2）=3.53 三個模型中參數的估計值的三個模型中參數的估計值的t統(tǒng)計量均大于統(tǒng)計量均大于各自的臨界值，因此各自的臨界值，因此不能拒絕存在單位根的不能拒絕存在單位根的零假設零假設。 結論：結論：人均國內生產總值（人均國內生產總值（GDPPC）

37、是非）是非平穩(wěn)的。平穩(wěn)的。 2 2）對于）對于人均居民消費人均居民消費CPC時間序列來說，時間序列來說，三個模型的適當形式為三個模型的適當形式為 ：模型 3： 114627. 13646. 098.3423.26tttCPCCPCtCPC (-0.477) (2.175) (-1.478) (2.318) LM(1)=1.577 LM(2)=1.834 模型 2： 3211027. 0655. 1508. 0545. 088.79tttttCPCCPCCPCCPCCPC (-1.37) (3.37) (1.16) (-3.44) (-0.05) 4824. 1tCPC (-3.03) LM(1

38、)=3.57 LM(2)= 4.10 LM(3)=4.89 LM(4)=10.99 模型 1： 4321171. 108. 048. 188. 037. 0ttttttCPCCPCCPCCPCCPCCPC (3.60) (2.37) (-2.97) (0.12) (-2.68) LM(1)=1.83 LM(2)= 1.84 LM(3)=2.00 LM(4)=2.33 三個模型中參數三個模型中參數CPCt-1的的t統(tǒng)計量的值均比統(tǒng)計量的值均比ADF臨界值表中各自的臨界值大臨界值表中各自的臨界值大，不能拒絕不能拒絕該時間序列存在單位根的假設該時間序列存在單位根的假設， 因此因此,可判斷人均居民消費

39、序列可判斷人均居民消費序列CPC是非平是非平穩(wěn)的。穩(wěn)的。五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機五、單整、趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程過程 隨機游走序列隨機游走序列Xt=Xt-1+ t經差分后等價地變經差分后等價地變形為形為 Xt= t， 由于由于 t是一個白噪聲，因此是一個白噪聲，因此差差分后的序列分后的序列 Xt是平穩(wěn)的。是平穩(wěn)的。 如果一個時間序列經過一次差分變成平穩(wěn)的，如果一個時間序列經過一次差分變成平穩(wěn)的，就稱原序列是就稱原序列是一階單整一階單整（integrated of 1）序序列列，記為，記為I(1)。單整單整 一般地，如果一個時間序列經過一般地，如果一個時間序列經過d次差分后變次差分后

40、變成平穩(wěn)序列，則稱原序列是成平穩(wěn)序列，則稱原序列是d 階單整階單整（integrated of d）序列序列，記為，記為I(d)。 顯然，I(0)代表一平穩(wěn)時間序列。代表一平穩(wěn)時間序列。 現實經濟生活中現實經濟生活中:1)只有少數經濟指標的時間序列表現為平穩(wěn)的，只有少數經濟指標的時間序列表現為平穩(wěn)的，如利率等如利率等;2)大多數指標的時間序列是非平穩(wěn)的，大多數指標的時間序列是非平穩(wěn)的，如一些如一些價格指數常常是價格指數常常是2階單整的，以不變價格表示階單整的，以不變價格表示的消費額、收入等常表現為的消費額、收入等常表現為1階單整。階單整。 大多數非平穩(wěn)的時間序列一般可通過一次或大多數非平穩(wěn)的時

41、間序列一般可通過一次或多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。多次差分的形式變?yōu)槠椒€(wěn)的。 但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，但也有一些時間序列，無論經過多少次差分，都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為都不能變?yōu)槠椒€(wěn)的。這種序列被稱為非單整的非單整的（non-integrated）。例例9.1.8 中國支出法中國支出法GDP的單整性。的單整性。經過試算，發(fā)現經過試算，發(fā)現中國支出法中國支出法GDP是是1階單整的階單整的，適當的檢驗模型為：適當的檢驗模型為： 1212966. 0495. 025.26108.1174tttGDPGDPtGDP (-1.99) (4.23) （-5.18） (6.42) 2R=

42、0.7501 LM(1)=0.40 LM(2)=1.29 例例9.1.9 中國人均居民消費與人均國內生產總中國人均居民消費與人均國內生產總值的單整性。值的單整性。 經過試算，發(fā)現經過試算，發(fā)現中國人均國內生產總值中國人均國內生產總值GDPPC是是2階單整的階單整的，適當的檢驗模型為：適當的檢驗模型為： 12360. 0ttGDPPCGDPPC （-2.17） 2R=0.2778， LM(1)=0.31 LM(2)= 0.54 同樣地同樣地，CPC也是也是2階單整的階單整的，適當適當的檢驗模型為：的檢驗模型為： 12367. 0ttCPCCPC （-2.08） 2R=0.2515 LM(1)=1

43、.99 LM(2)= 2.36 趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程趨勢平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機過程 前文已指出，一些非平穩(wěn)的經濟時間序列前文已指出，一些非平穩(wěn)的經濟時間序列往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本往往表現出共同的變化趨勢，而這些序列間本身不一定有直接的關聯關系，這時對這些數據身不一定有直接的關聯關系，這時對這些數據進行回歸，盡管有較高的進行回歸，盡管有較高的R2，但其結果是沒有，但其結果是沒有任何實際意義的。這種現象我們稱之為任何實際意義的。這種現象我們稱之為虛假回虛假回歸歸或或偽回歸偽回歸（spurious regression）。 如：用中國的勞動力時間序列數據與美如：用中國的勞動力時間

44、序列數據與美國國GDP時間序列作回歸，會得到較高的時間序列作回歸，會得到較高的R2 ，但不能認為兩者有直接的關聯關系，而只不過但不能認為兩者有直接的關聯關系，而只不過它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認它們有共同的趨勢罷了，這種回歸結果我們認為是虛假的。為是虛假的。 為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法為了避免這種虛假回歸的產生，通常的做法是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間是引入作為趨勢變量的時間，這樣包含有時間趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。趨勢變量的回歸，可以消除這種趨勢性的影響。 然而這種做法，只有當趨勢性變量是然而這種做法，只有當趨勢性變量是確確定性的（定性的（d

45、eterministic）而非而非隨機性的隨機性的（stochastic），才會是有效的。才會是有效的。 換言之，換言之，如果一個包含有某種確定性趨勢如果一個包含有某種確定性趨勢的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確的非平穩(wěn)時間序列，可以通過引入表示這一確定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出定性趨勢的趨勢變量，而將確定性趨勢分離出來。來。 1)如果如果=1，=0，則（則（*）式成為）式成為一帶位移的一帶位移的隨機游走過程隨機游走過程： Xt=+Xt-1+t （*） 根據根據 的正負，的正負，Xt表現出明顯的上升或下降表現出明顯的上升或下降趨勢。這種趨勢稱為趨勢。這種趨勢稱為隨機性趨勢（隨

46、機性趨勢（stochastic trend）?？紤]如下的含有一階自回歸的隨機過程：考慮如下的含有一階自回歸的隨機過程： Xt= + t+ Xt-1+ t （*） 其中其中: t是一白噪聲，是一白噪聲，t為一時間趨勢。為一時間趨勢。2)如果如果 =0，0，則（*）式成為一帶時間趨式成為一帶時間趨勢的隨機變化過程：勢的隨機變化過程： Xt=+t+t （*） 根據根據 的正負，的正負，Xt表現出明顯的上升或下降表現出明顯的上升或下降趨 勢 。 這 種 趨 勢 稱 為趨 勢 。 這 種 趨 勢 稱 為 確 定 性 趨 勢確 定 性 趨 勢（deterministic trend）。 3) 如果如果 =

47、1，0，則，則XtXt包含有包含有確定性與隨機確定性與隨機性兩種趨勢。性兩種趨勢。 判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是判斷一個非平穩(wěn)的時間序列，它的趨勢是隨機性的還是確定性的，可通過隨機性的還是確定性的，可通過ADF檢驗中所檢驗中所用的第用的第3個模型進行。個模型進行。 該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間該模型中已引入了表示確定性趨勢的時間變量變量t，即分離出了確定性趨勢的影響。，即分離出了確定性趨勢的影響。因此因此： (1)如果檢驗結果表明所給時間序列有單位如果檢驗結果表明所給時間序列有單位根，且時間變量前的參數顯著為零，則該序根，且時間變量前的參數顯著為零，則該序列顯示出隨機性趨勢列顯

48、示出隨機性趨勢; (2)如果沒有單位根，且時間變量前的參數如果沒有單位根，且時間變量前的參數顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。顯著地異于零，則該序列顯示出確定性趨勢。 隨機性趨勢可通過差分的方法消除隨機性趨勢可通過差分的方法消除例如：對式：例如：對式：Xt=+Xt-1+t 可通過差分變換為：可通過差分變換為： Xt= +t 該時間序列稱為該時間序列稱為差分平穩(wěn)過程（差分平穩(wěn)過程（difference stationary process）；確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能確定性趨勢無法通過差分的方法消除，而只能通過除去趨勢項消除通過除去趨勢項消除例如：對式：例如：對式：Xt=+t

49、+t可通過除去可通過除去 t變換為：變換為：Xt t =+t該時間序列是平穩(wěn)的，因此稱為該時間序列是平穩(wěn)的，因此稱為趨勢平穩(wěn)過程趨勢平穩(wěn)過程（trend stationary process）。）。 最后需要說明的是，最后需要說明的是，趨勢平穩(wěn)過程代表了趨勢平穩(wěn)過程代表了一個時間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于一個時間序列長期穩(wěn)定的變化過程，因而用于進行長期預測則是更為可靠的。進行長期預測則是更為可靠的。 9.2 9.2 隨機時間序列分析模型隨機時間序列分析模型一、一、時間序列模型的基本概念及其適用性時間序列模型的基本概念及其適用性二、二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條

50、件三、三、隨機時間序列模型的識別隨機時間序列模型的識別四、四、隨機時間序列模型的估計隨機時間序列模型的估計五、五、隨機時間序列模型的檢驗隨機時間序列模型的檢驗說明說明 經典計量經濟學模型與時間序列模型經典計量經濟學模型與時間序列模型 確定性時間序列模型與隨機性時間序列模型確定性時間序列模型與隨機性時間序列模型一、時間序列模型的基本概念及其一、時間序列模型的基本概念及其適用性適用性1 1、時間序列模型的基本概念、時間序列模型的基本概念 隨機時間序列模型（隨機時間序列模型（time series modeling）是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起是指僅用它的過去值及隨機擾動項所建立起來的模型

51、，其一般形式為來的模型，其一般形式為: Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 建立具體的時間序列模型，需解決如下三建立具體的時間序列模型，需解決如下三個問題：個問題： (1)模型的具體形式模型的具體形式 (2)時序變量的滯后期時序變量的滯后期 (3)隨機擾動項的結構隨機擾動項的結構 例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨例如，取線性方程、一期滯后以及白噪聲隨機擾動項（機擾動項（ t = t），模型將是一個），模型將是一個1階自回階自回歸過程歸過程AR(1)： Xt=Xt-1+ t，這里，這里， t特特指指一白噪聲一白噪聲。 一般的p階自回歸過程階自回歸過程AR(p)是 Xt=1Xt-1+

52、 2Xt-2 + + pXt-p + t (*) (1)如果隨機擾動項是一個白噪聲如果隨機擾動項是一個白噪聲( t= t)，則稱則稱(*)式為一式為一純純AR(p)過程（過程（pure AR(p) process），記為記為: Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t (2)如果如果 t不是一個白噪聲，通常認為它是一不是一個白噪聲，通常認為它是一個個q階的階的移動平均（移動平均（moving average）過程）過程MA(q)： t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式給出了一個純該式給出了一個純MA(q)過程（過程（pure MA(p) process）。

53、 將純將純AR(pAR(p) )與純與純MA(qMA(q) )結合，得到一個一般的結合，得到一個一般的自自回歸移動平均（回歸移動平均（autoregressive moving average）過程過程ARMA（p,q）： Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 該式表明：該式表明：（1）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移）一個隨機時間序列可以通過一個自回歸移動平均過程生成，動平均過程生成，即該序列可以由其自身的過去即該序列可以由其自身的過去或滯后值以及隨機擾動項來解釋?；驕笾狄约半S機擾動項來解釋。（2）如果該序列是平穩(wěn)的）

54、如果該序列是平穩(wěn)的，即它的行為并不會即它的行為并不會隨著時間的推移而變化，隨著時間的推移而變化，那么我們就可以通那么我們就可以通過該序列過去的行為來預測未來。過該序列過去的行為來預測未來。 這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢這也正是隨機時間序列分析模型的優(yōu)勢所在。所在。 經典回歸模型的問題：經典回歸模型的問題： 迄今為止，迄今為止，對一個時間序列對一個時間序列Xt的變動進的變動進行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型行解釋或預測，是通過某個單方程回歸模型或聯立方程回歸模型進行的，由于它們以因或聯立方程回歸模型進行的，由于它們以因果關系為基礎，且具有一定的模型結構，因果關系為基礎，且具有一定的模

55、型結構，因此也常稱為此也常稱為結構式模型（結構式模型（structural model）。 2 2、時間序列分析模型的適用性、時間序列分析模型的適用性 然而，然而，如果如果Xt波動的主要原因可能是我波動的主要原因可能是我們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變們無法解釋的因素，如氣候、消費者偏好的變化等，則利用結構式模型來解釋化等，則利用結構式模型來解釋Xt的變動就比的變動就比較困難或不可能，因為要取得相應的量化數據，較困難或不可能，因為要取得相應的量化數據，并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。并建立令人滿意的回歸模型是很困難的。 有時，有時，即使能估計出一個較為滿意的因果即使能估計出一個較為

56、滿意的因果關系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值關系回歸方程，但由于對某些解釋變量未來值的預測本身就非常困難，甚至比預測被解釋變的預測本身就非常困難，甚至比預測被解釋變量的未來值更困難，這時因果關系的回歸模型量的未來值更困難，這時因果關系的回歸模型及其預測技術就不適用了。及其預測技術就不適用了。 例如例如，時間序列過去是否有明顯的增長趨勢時間序列過去是否有明顯的增長趨勢，如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否如果增長趨勢在過去的行為中占主導地位，能否認為它也會在未來的行為里占主導地位呢？認為它也會在未來的行為里占主導地位呢？ 或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行為或者時間序列顯示出循環(huán)周期性行

57、為，我們我們能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？能否利用過去的這種行為來外推它的未來走向？ 另一條預測途徑另一條預測途徑：通過時間序列的歷史數據，得出關于其過去行為的有關結論，進而對時間序列未來行為進行推斷。 隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去隨機時間序列分析模型，就是要通過序列過去的變化特征來預測未來的變化趨勢的變化特征來預測未來的變化趨勢。 使用時間序列分析模型的另一個原因在于使用時間序列分析模型的另一個原因在于：如果經濟理論正確地闡釋了現實經濟結構，則這一結構可以寫成類似于ARMA(p,q)式的時間序列分析模型的形式。 例如，例如，對于如下最簡單的宏觀經濟模型：對于如下最簡單

58、的宏觀經濟模型： 這里，這里，Ct、It、Yt分別表示消費、投資與國民收分別表示消費、投資與國民收入。入。 Ct與與Yt作為內生變量，它們的運動是由作作為內生變量，它們的運動是由作為外生變量的投資為外生變量的投資It的運動及隨機擾動項的運動及隨機擾動項 t的變的變化決定的?；瘺Q定的。tttCYC12110tttICY上述模型可作變形如下上述模型可作變形如下： 兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余兩個方程等式右邊除去第一項外的剩余部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征部分可看成一個綜合性的隨機擾動項，其特征依賴于投資項依賴于投資項It的行為。的行為。ttttICC1111011211111ttt

59、ttIIYY11121101121111111 如果如果It是一個白噪聲是一個白噪聲，則消費序列Ct就成為一個1階自回歸過程階自回歸過程AR(1)，而收入序列Yt就成為一個(1,1)階的自回歸移動平均階的自回歸移動平均過程過程ARMA(1,1)。二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件二、隨機時間序列模型的平穩(wěn)性條件 自回歸移動平均模型（自回歸移動平均模型（ARMA）是隨機時）是隨機時間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（間序列分析模型的普遍形式，自回歸模型（AR）和移動平均模型（和移動平均模型（MA）是它的特殊情況。）是它的特殊情況。 關于這幾類模型的研究，是關于這幾類模型的研究，是時間序列分析時間

60、序列分析的重點內容的重點內容：主要包括主要包括模型的平穩(wěn)性分析模型的平穩(wěn)性分析、模模型的識別型的識別和和模型的估計模型的估計。 1 1、AR(pAR(p) )模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 隨機時間序列模型的平穩(wěn)性隨機時間序列模型的平穩(wěn)性，可通過它所可通過它所生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷生成的隨機時間序列的平穩(wěn)性來判斷。如果如果一個p階自回歸模型階自回歸模型AR(p)生成的時間序列是平穩(wěn)生成的時間序列是平穩(wěn)的，就說該的，就說該AR(p)模型是平穩(wěn)的。模型是平穩(wěn)的。 否則，就說該否則，就說該AR(p)模型是非平穩(wěn)的。模型是非平穩(wěn)的。 考慮考慮p階自回歸模型階自回歸模型AR(p) Xt=1X