資本資產(chǎn)定價(jià)模型的推導(dǎo)

1、資本資產(chǎn)定價(jià)模型的推導(dǎo)考慮市場(chǎng)投資組合M和任一給定的風(fēng)險(xiǎn)證券K構(gòu)成的投資組合P:WmRm刑kRk，有：E(Rp)=WmE(%)4WkE(Rk),Q；=Wj<yM+W。2+2WmWkPmkOm6<。Rf可以形成“ b,E”平面的一條曲線(xiàn)。首先，由于RfM是最佳投資組合線(xiàn)，那么 KM必然與RfM相切，否則KM的組合不可能是最佳的。其次，求出KM在M點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率。E(Rp)二WmE(Rm) WkE(Rk) =WkE(Rk) (1-Wk)E(Rm)E =WjGM +W<E +2WmWk 麻吼林 =(1-Wk)2；MW*了<2(1 -Wk)WK ：mkOm；k有：dE(Rp)/

2、dWk =E(Rk) -E(Rm)bP =(1 -Wk)2gM 偵誠(chéng) +2(1 -WQWkPmkQmOkdj /dW<12122dWdWkWEWkEWE1=(W<、-P從而：-1) ；-M ' Wk K , (1 - 2Wk) "mk M K dE(Rp)/dWkE(Rk) -E(Rm)d J / dWk_2cov(Rk,Rm) i-M_2cov( Rk , Rm) i-M!t；M態(tài)以以- P冬 *( E(Rk) -E(Rm)二m *E(Rk) -E(Rm)最后，資本市場(chǎng)線(xiàn)RfM的斜率為：(E(RmfCm所以有:E(Rm) _RfCm * E(Rk) -E(Rm)

3、2Cmcov( Rk , Rm ) - ；一 mE(RmRf二m * E(Rk) -E(Rm)T7Z x 2 cov( Rk , Rm ) -；m2 -E ( Rm ) - Rf cov( Rk , R ) - ；- M E(Rk) -E(Rm)=得到：E(Rk) -Rf2M2 ,頊cov(Rk，Rm" ME(Rm)-Rf-Rf E(Rm)cov(Rk, Rm )了 mE(Rm) -Rf 所以有：E(Rk) -Rf = '-kE(Rm) -Rf這說(shuō)明，資本資產(chǎn)定價(jià)模型在“cov(Rk，Rm),E ”平面上仍是一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)的斜率為E(R) -RE(R) Rf -2L，表示

4、協(xié)萬(wàn)差cov( Rk , Rm )增加一個(gè)單位，證券的期望回報(bào)增加 2個(gè)單位。 -M- m這里，cov( Rk , Rm )可以理解為該證券的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，而艮可以理解為該證券相對(duì)于整個(gè)市場(chǎng)組合的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)大小。另一種簡(jiǎn)單的證明：一r £設(shè)風(fēng)險(xiǎn)的價(jià)格為:P =,為整個(gè)市場(chǎng)的平均風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬-'M股票K的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)可以表示為巨與，所以股票K的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬為：艮電* P =乳環(huán)* 1 = & (rm -rf)-'M在一個(gè)不存在套利的市場(chǎng)中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬是一樣的，設(shè)為rf則對(duì)于證券K,有rf =尿-二(rmrf)對(duì)于證券i,也有rf =r 一月(rmrf)二者相等所以有 rk 一 ：k(m -rf) =i 一 ：i(rm -rQ令k就是無(wú)風(fēng)