第10講數(shù)陣圖(二)

1、第10講 數(shù)陣圖和幻方（二）幻方問題的研究在我國已流傳了兩千多年，它是具有獨(dú)特形式的填數(shù)字問題。傳說公元前二千多年，在大禹治水的時(shí)候，在黃河支流洛水浮起一只大烏龜，它的背上有個(gè)奇特的圖案，（如圖1），后來人們把它稱之為“洛書”、相傳在我國遠(yuǎn)古的時(shí)代，有一匹龍馬游于黃河，馬背上負(fù)有一幅奇的圖案，這就是所謂的“河圖”，實(shí)際上它是由九個(gè)數(shù)字排成一定的格式（如圖2），圖中有一個(gè)非常有趣的性質(zhì)：它的橫、豎、對角線上的每三個(gè)數(shù)字之和都是15。一般地，在n×n（n行n列）的方格內(nèi)，不重不漏填上n×n個(gè)連續(xù)自然數(shù)，并且每行、每列、每條對角線上n個(gè)自然數(shù)的和都相等，則稱它為n階幻方。這個(gè)和叫

2、做幻和，n叫做階?；梅接纸心Х?，九宮算或縱橫圖。魔方：我國的縱橫圖通過東南亞國家，印度、阿拉伯傳到西方。由于縱橫圖具有十分奇幻的特性，西方把縱橫圖叫作Magic Square，翻譯成中文就是“幻方”或“魔方”。九宮算：所謂九宮，就是將一個(gè)正方形用兩組與邊平行的分割線，每組兩條，分割成的九個(gè)小正方格。每個(gè)小方格分別填入從1到9這九個(gè)自然數(shù)中的其中一個(gè)，不同的方格填入的數(shù)不同，使得三橫行中每一橫行三個(gè)數(shù)的和（叫行和），三縱列中每一縱列三個(gè)數(shù)的和（叫列和），兩條對角線中每一條對角線上三個(gè)數(shù)的和（叫對角和）都相相等，這樣得到的圖就叫九宮（算）圖?？v橫圖：長期以來，縱橫圖一直被看作是一種數(shù)字游戲。一直到

3、南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家楊輝，才真正把它作為一個(gè)數(shù)學(xué)問題而加以深入的研究。楊輝在他的續(xù)古摘奇算法一書中，不僅搜集到了大量的各種類型的縱橫圖，而且對其中的部分縱橫圖還給出了如何構(gòu)造的規(guī)則和方法，從而開創(chuàng)了這一組合數(shù)學(xué)研究的新領(lǐng)域。解決幻方問題的關(guān)鍵是確定中心數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)。（定中間數(shù)，填四角數(shù)，算其余數(shù)）三階幻方：就是將九個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入3×3（三行三列）的方格內(nèi)，使每行每列、每條對角線的和相等，這叫做三階幻方。奇數(shù)階幻方：“羅伯法”“樓貝法”西歐在十六，十七世紀(jì)時(shí)，構(gòu)造幻方非常盛行。十七世紀(jì)，法E路第十四對構(gòu)造幻方有著濃厚的興趣，他專門派De La Loubere（樓貝）出使泰國（1687-16

4、88），Loubere：將在邏羅學(xué)的構(gòu)造作畫何奇數(shù)階幻方法的一種統(tǒng)一的方法1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框時(shí)往下填，右出框時(shí)左邊放，排重便在下格填，右上排重一個(gè)樣。揚(yáng)輝方法：揚(yáng)輝在續(xù)古摘奇算法中，寫到“九子排列，上下對易，左右相更，四維挺出”楊輝給出的方形縱橫圖共有十三幅，它們是：洛書數(shù)（三階幻方）一幅，四四圖（四階幻方）兩幅，五五圖（五階幻方）兩幅，六六圖（六階幻方）兩幅，七七圖（七階幻方）兩幅，六十四圖（八階幻方）兩幅，九九圖（九階幻方）一幅，百子圖（十階幻方）一幅（參見圖1-9-3）。其中還給出了“洛書數(shù)”和“四四陰圖”的構(gòu)造方法。如“洛書數(shù)”的構(gòu)造方法為：“九子斜排，上下對易，左

5、右相更，四維挺出”。但可惜的是，楊輝只停留在個(gè)別縱橫圖的構(gòu)造上，沒有上升成一般的理論。他所造出的百子圖，雖然每一行和，每一列都等于（1+2+3+97+98+99+100）=505，但兩對角和不是等于505，直到我國清代的張潮（165？）費(fèi)了九牛二虎之力才造出第一個(gè)兩對角和也是505的百子圖。偶數(shù)階幻方：對稱交換的方法。1、 將數(shù)依次填入方格中，對角線滿足要求。2、 調(diào)整行，對角線數(shù)不動，對稱行的其它數(shù)對調(diào)。3、 調(diào)整列，對角線數(shù)不動，對稱列的其它數(shù)對調(diào)。數(shù)陣圖：把一些數(shù)字按照一定的要求，排列成各種各樣的圖形，叫做數(shù)陣圖。1、封閉型：封閉型數(shù)陣圖的解題突破口，是確定各邊頂點(diǎn)所應(yīng)填的數(shù)。為確定這些

6、數(shù)，采用的方法是建立有關(guān)的等式，通過以最小值到最大值的討論，來確定每條邊上的幾個(gè)數(shù)之和，再將和數(shù)進(jìn)行拆分以找到頂點(diǎn)應(yīng)填入的數(shù)，其余的數(shù)再利用和與頂點(diǎn)的數(shù)就容易被填出。（16）2、輻射型：輻射型數(shù)陣圖，解法的關(guān)鍵是確定中心數(shù)。具體方法是：通過所給條件建立有關(guān)等式，通過整除性的討論，確定出中心數(shù)的取值，然后求出各邊上數(shù)的和，最后將和自然數(shù)分拆成中心數(shù)的若干個(gè)自然數(shù)之和，確定邊上其他的數(shù)。（19和相等）3、復(fù)合型：復(fù)合型數(shù)陣圖，解題的關(guān)鍵是要以中心數(shù)和頂點(diǎn)數(shù)為突破口。（17，和相等） 典型舉例1將18這八個(gè)數(shù)分別填入右圖的中，使兩個(gè)大圓上的五個(gè)數(shù)之和都等于21。解：中間兩個(gè)數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1

7、次，所以兩個(gè)重疊數(shù)之和為21×2-(1+2+8)=6。在已知的八個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)之和為6的只有1與5，2與4。每個(gè)大圓上另外三個(gè)數(shù)之和為21-6=15。如果兩個(gè)重疊數(shù)為1與5，那么剩下的六個(gè)數(shù)2，3，4，6，7，8平分為兩組，每組三數(shù)之和為15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下圖的填法。如果兩個(gè)重疊數(shù)為2與4，那么同理可得上頁右下圖的填法。練習(xí)11、 把16六個(gè)數(shù)字填入下圖，使每個(gè)大圓上四個(gè)數(shù)字之和都是16。2、 把2、4、6、8、10、12、14、16這八個(gè)數(shù)分別填入下圖，使每個(gè)大圓內(nèi)五個(gè)數(shù)的和都是44。典型舉例2將16這六個(gè)自然數(shù)分別填入右圖的六個(gè)內(nèi)，使得三角形每條

8、邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于11。解：本題有三個(gè)重疊數(shù)，即三角形三個(gè)頂點(diǎn)內(nèi)的數(shù)都是重疊數(shù)，并且各重疊一次。所以三個(gè)重疊數(shù)之和等于11×3-(1+2+6)=12。16中三個(gè)數(shù)之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。如果三個(gè)重疊數(shù)是1，5，6，那么根據(jù)每條邊上的三個(gè)數(shù)之和等于11，可得左下圖的填法。容易發(fā)現(xiàn)，所填數(shù)不是16，不合題意。同理，三個(gè)重疊數(shù)也不能是3，4，5。經(jīng)試驗(yàn)，當(dāng)重疊數(shù)是2，4，6時(shí)，可以得到符合題意的填法(見右上圖)。練習(xí)2將38這六個(gè)數(shù)分別填入下圖中，使得每條邊上的三數(shù)之和都是15。典型舉例3將16這六個(gè)自然數(shù)分別填入下圖的六個(gè)中，使得三角形每條邊上的三個(gè)數(shù)之和

9、都相等。解：與典型舉例2不同的是不知道每邊的三數(shù)之和等于幾。因?yàn)槿齻€(gè)重疊數(shù)都重疊了一次，由(1+2+6)+重疊數(shù)之和=每邊三數(shù)之和×3，得到每邊的三數(shù)之和等于(1+2+6)+重疊數(shù)之和÷3=(21+重疊數(shù)之和)÷3=7+重疊數(shù)之和÷3。因?yàn)槊窟叺娜龜?shù)之和是整數(shù)，所以重疊數(shù)之和應(yīng)是3的倍數(shù)?？紤]到重疊數(shù)是16中的數(shù)，所以三個(gè)重疊數(shù)之和只能是6，9，12或15，對應(yīng)的每條邊上的三數(shù)之和就是9，10，11或12。與例2的方法類似，可得下圖的四種填法：每邊三數(shù)之和=9 每邊三數(shù)之和=10 每邊三數(shù)之和=11 每邊三數(shù)之和=12典型舉例4將29這八個(gè)數(shù)分別填入右圖

10、的里，使每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于18。解：四個(gè)角上的數(shù)是重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。所以四個(gè)重疊數(shù)之和等于18×4-(2+3+9)=28。而在已知的八個(gè)數(shù)中，四數(shù)之和為28的只有：4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。又由于18-9-8=1，1不是已知的八個(gè)數(shù)之一，所以，8和9只能填對角處。由此得到左下圖所示的重疊數(shù)的兩種填法：“試填”的結(jié)果，只有右上圖的填法符合題意。說明：以上例題都是封閉型數(shù)陣圖。一般地，在m邊形中，每條邊上有n個(gè)數(shù)的形如下圖的圖形稱為封閉型m-n圖。與“輻射型m-n圖只有一個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)是m-1”不同的是，封閉型m-n圖有m個(gè)重疊數(shù)，重疊次數(shù)都是1次。

11、對于封閉型數(shù)陣圖，因?yàn)橹丿B數(shù)只重疊一次，所以已知各數(shù)之和+重疊數(shù)之和=每邊各數(shù)之和×邊數(shù)。由這個(gè)關(guān)系式，就可以分析解決封閉型數(shù)陣圖的問題。前面我們講了輻射型數(shù)陣圖和封閉型數(shù)陣圖，雖然大多數(shù)數(shù)陣問題要比它們復(fù)雜些，但只要緊緊抓住“重疊數(shù)”進(jìn)行分析，就能解決很多數(shù)陣問題。練習(xí)41、 將1、2、3、4、5、6、7、8這八個(gè)數(shù)分別填入下面的圖里，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和是12。2、將29這八個(gè)數(shù)填入下圖，使每條邊上的三個(gè)數(shù)的和都等于16。典型舉例5把17分別填入左下圖中的七個(gè)空塊里，使每個(gè)圓圈里的四個(gè)數(shù)之和都等于13。解：這道題的“重疊數(shù)”很多。有重疊2次的(中心數(shù)，記為a)；有重疊1次的(

12、三個(gè)數(shù)，分別記為b，c，d)。根據(jù)題意應(yīng)有(1+2+7)+a+a+b+c+d=13×3，即 a+a+b+c+d=11。因?yàn)?+2+3+4=10，11-10=1，所以只有a=1，b，c，d分別為2，3，4才符合題意，填法見右上圖。練習(xí)5在下面圓圈內(nèi)的空白處填入7、8、10、12，使每個(gè)院內(nèi)的四個(gè)數(shù)的和都相等。641典型舉例6把19這九個(gè)數(shù)填入下圖的方格中 ，并使每一行、每一列和對角線上的數(shù)的和都相等解：方法一：（1）先填中心數(shù)，把19按從小到大順序排成一排，第五個(gè)數(shù)填在中心格。（2）將剩下的八個(gè)數(shù)排成兩排，第一排為1、2、3、4、第二排為8、7、6、5即  

13、0;             1 2 3 48 7 6 5（3）根據(jù)兩排數(shù)字填上四個(gè)角，四個(gè)角的數(shù)就是兩排中第二、第四列中的四個(gè)數(shù)，這兩列數(shù)字按對角填。（4）用對角線的和減去每行或每列知道的數(shù)字就完成了。方法二：（1） 將這9個(gè)數(shù)字按照如下方式排列： 12 4 3 5 76 89（2） 上下兩個(gè)數(shù)互換：92 4 3 5 76 81（3）左右兩個(gè)數(shù)互換：92 4 7 5 36 81（4）填入表格即可。練習(xí)61、將2028填入九宮格中，使每行、每列、兩條對角線的和相等。1、將17

14、25填入九宮格中，使之成為一個(gè)三階幻方。A基礎(chǔ)訓(xùn)練1.把18填入下頁左上圖的八個(gè)里，使每個(gè)圓圈上的五個(gè)數(shù)之和都等于20。2.把16這六個(gè)數(shù)填入右上圖的里，使每個(gè)圓圈上的四個(gè)數(shù)之和都相等。3.將18填入左下圖的八個(gè)中，使得每條邊上的三個(gè)數(shù)之和都等于15。4.將18填入右上圖的八個(gè)中，使得每條直線上的四個(gè)數(shù)之和與每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都相等。5.將17填入右圖的七個(gè)，使得每條直線上的各數(shù)之和都相等。6.把1，3，5，7，9，11，13分別填入左圖中的七個(gè)空塊中，使得每個(gè)圓內(nèi)的四個(gè)數(shù)之和都等于34。答案與提示練習(xí)17每個(gè)圓周的四數(shù)之和=12每個(gè)圓周的四數(shù)之和=13每個(gè)圓周的四數(shù)之和=14每個(gè)圓周的四

15、數(shù)之和=15每個(gè)圓周的四數(shù)之和=163.提示：四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)之和為15×4(128)=24，四個(gè)頂點(diǎn)數(shù)有3，6，7，8和4，5，7，8兩種可能。經(jīng)試驗(yàn)只有左下圖一個(gè)解。4.提示：每條直線或每個(gè)圓周上的四個(gè)數(shù)之和都等于(128)÷718。填法見右上圖。(填法不唯一)5.提示：頂上的數(shù)重疊2次，其它數(shù)都重疊1次。(127)×2頂上數(shù)=每條線上的和×5，56頂上數(shù)=每條線上的和×5。由上式等號左端是5的倍數(shù)，推知“頂上數(shù)”=4。所以每條線上的三個(gè)數(shù)之和為(564)÷512。經(jīng)試驗(yàn)填法如上圖。(填法不唯一)6.與例5類似(見上圖)。B沖刺奪冠1.

16、 把18這8個(gè)數(shù),分別填入圖中的方格內(nèi)(每個(gè)數(shù)必須用一次),使“十一”三筆中每三個(gè)方格內(nèi)數(shù)的和都相等.2. 把111這11個(gè)數(shù)分別填入如下圖11個(gè)內(nèi),使每條虛線上三個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等,一共有幾種不同的和?3. 在下圖中的幾個(gè)圈內(nèi)各填一個(gè)數(shù),使每一條直線上的三個(gè)數(shù)中,當(dāng)中的數(shù)是兩邊兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),現(xiàn)在已經(jīng)填好兩個(gè)數(shù),那么( ).17134. 在圖的每個(gè)圓圈內(nèi)填上適當(dāng)?shù)馁|(zhì)數(shù)(不得重復(fù)),使每條直線上三個(gè)數(shù)的和相等,且均為偶數(shù).5. 圖有五個(gè)圓,它們相交相互分成9個(gè)區(qū)域,現(xiàn)在兩個(gè)區(qū)域里已經(jīng)填上10與6，請?jiān)诹硗馄邆€(gè)區(qū)域里分別填進(jìn)2.3.4.5.6.7.9七個(gè)數(shù),使每圓內(nèi)的和都等于15.1066. 10個(gè)

17、連續(xù)的自然數(shù)中第三個(gè)的數(shù)是9,把這10個(gè)數(shù)填入圖中的10個(gè)方格內(nèi),每格填一個(gè)數(shù),要求圖中3個(gè)2×2的正方形中4個(gè)數(shù)之和相等,那么這個(gè)和最小值是_.7. 將110這十個(gè)數(shù)分別填入下圖中的十個(gè)內(nèi),使每條線段上四個(gè)內(nèi)數(shù)的和相等,每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)上內(nèi)數(shù)的和也相等.8. 把116這16個(gè)數(shù),填入圖中的16個(gè)內(nèi),使五個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上內(nèi)數(shù)的和相等.9. 將1-12這十二個(gè)數(shù)分別填入圖中的十二個(gè)小圓圈里,使每條直線上的四個(gè)小圓圈中的數(shù)字之和26.9020365010. 在圖中的空格中填入四個(gè)數(shù),使每個(gè)橫行,每個(gè)豎行的三個(gè)數(shù)的積都相等. 11. 在圖中分別填入,和,使每橫行,每豎列,每斜行的三個(gè)分?jǐn)?shù)之和都相等.12. 把112這十二個(gè)數(shù),填入下圖中的12個(gè)內(nèi),使每條線段上四個(gè)數(shù)的和相等,兩個(gè)同心圓上的數(shù)的和也相等.13. 將15這五個(gè)數(shù)填入下圖中,使每行