Matlab及應(yīng)用 - 第3章矩陣分析與處理

1、鏈接: http:/ 密碼: 69e9課件地址特殊矩陣矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求值矩陣的特征值與特征向量矩陣的超越函數(shù)主要內(nèi)容 通用的特殊矩陣 零矩陣零矩陣 幺矩陣幺矩陣 單位矩陣單位矩陣 隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 用于專門學(xué)科的特殊矩陣 魔方矩陣魔方矩陣 范德蒙德矩陣（范德蒙德矩陣（ Vandermonde） 希爾伯特矩陣（希爾伯特矩陣（ Hilbert matrix ） 特普利茨矩陣（特普利茨矩陣（ Toeplitz matrix ） 伴隨矩陣伴隨矩陣 帕斯卡矩陣帕斯卡矩陣特殊矩陣 常用的產(chǎn)生通用特殊矩陣的函數(shù) zeros：產(chǎn)生：產(chǎn)生全全0矩陣矩陣(零矩陣零矩陣) ones： 產(chǎn)生

2、產(chǎn)生全全1矩陣矩陣(幺矩陣幺矩陣) eye： 產(chǎn)生產(chǎn)生單位矩陣單位矩陣 rand： 產(chǎn)生產(chǎn)生01間間均勻分布均勻分布的的隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 randn：產(chǎn)生：產(chǎn)生均值為均值為0，方差為，方差為1的的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣隨機(jī)矩陣 以zeros函數(shù)為例 zeros(m)：產(chǎn)生：產(chǎn)生mm零矩陣零矩陣 zeros(m,n) ：產(chǎn)生：產(chǎn)生mn零矩陣零矩陣 zeros(size(A) ：產(chǎn)生一個(gè)與矩陣：產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣大小的零同樣大小的零矩陣矩陣通用的特殊矩陣?yán)?分別建立33、32和與矩陣A同樣大小的零矩陣。 建立一個(gè)建立一個(gè)33零矩陣零矩陣zeros(3) 建立一個(gè)建立一個(gè)32零矩陣零矩陣

3、zeros(3,2) 設(shè)設(shè)A為為23矩陣，則可以用矩陣，則可以用zeros(size(A)建建立一個(gè)與矩陣立一個(gè)與矩陣A同樣大小零矩陣同樣大小零矩陣A=1 2 3;4 5 6; %產(chǎn)生一個(gè)產(chǎn)生一個(gè)23階矩陣階矩陣Azeros(size(A) %產(chǎn)生一個(gè)與矩陣產(chǎn)生一個(gè)與矩陣A同樣同樣大小的零矩陣大小的零矩陣通用的特殊矩陣(續(xù))通用的特殊矩陣(續(xù))隨機(jī)矩陣的生成Rand:生成均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)生成均勻分布的偽隨機(jī)數(shù),分布在（分布在（01）之間）之間主要語法：主要語法：rand(m,n)生成生成m行行n列的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)列的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)rand(m,n,double)生成指定精度的均勻分布

4、的偽隨機(jī)數(shù)，參數(shù)還可生成指定精度的均勻分布的偽隨機(jī)數(shù)，參數(shù)還可以是以是singlerand(RandStream,m,n)利用指定的利用指定的RandStream(隨機(jī)種子隨機(jī)種子)生成偽隨生成偽隨機(jī)數(shù)機(jī)數(shù)產(chǎn)生在產(chǎn)生在a,b區(qū)間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)方法區(qū)間服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)方法 a + (b-a)*rand(m,n) Randn:生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的偽隨機(jī)數(shù)生成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的偽隨機(jī)數(shù)（均值為（均值為0，方差為，方差為1）主要語法：和上面一樣主要語法：和上面一樣產(chǎn)生均值為產(chǎn)生均值為 ，方差為，方差為 的隨機(jī)數(shù)方法的隨機(jī)數(shù)方法2( , )randn m n 例 建立隨機(jī)矩陣：(1) 在區(qū)間20,5

5、0內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣。(2) 均值為0.6、方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣。命令如下：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5) 注意：正常情況下每次調(diào)用相同rand指令生成的隨機(jī)數(shù)是不同的 例如：例如： rand(1,3) ans = 0.139043482536049 0.734007633362635 0.194791464843949 rand(1,3) ans = 0.602204766324215 0.937923745019422 0.149285414707192通用的特殊矩陣(續(xù)) 主要原因： matlab的的rand函

6、數(shù)生的是偽隨機(jī)數(shù)函數(shù)生的是偽隨機(jī)數(shù),即由隨機(jī)即由隨機(jī)種子遞推出來的種子遞推出來的,相同的種子相同的種子,生成相同的隨機(jī)生成相同的隨機(jī)數(shù)數(shù). matlab剛運(yùn)行起來時(shí)剛運(yùn)行起來時(shí),種子都為初始值種子都為初始值,因此每因此每次第一次執(zhí)行次第一次執(zhí)行rand得到的隨機(jī)數(shù)都是相同的得到的隨機(jī)數(shù)都是相同的. 多次運(yùn)行生成相同的隨機(jī)數(shù)方法 用用rand(state,S)設(shè)定種子設(shè)定種子 ，S為為35階向量，最階向量，最簡單的方法是設(shè)為簡單的方法是設(shè)為0 例例: rand(state,0); rand(5)通用的特殊矩陣(續(xù)) 魔方矩陣 性質(zhì)：每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都性質(zhì)：每行、每列及兩條對(duì)角線上

7、的元素和都相等相等 實(shí)例實(shí)例 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 例 將101125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。 M=100+magic(5)用于專門學(xué)科的特殊矩陣 范德蒙德(Vandermonde)矩陣 性質(zhì)：性質(zhì)：最后一列全為最后一列全為1，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，倒數(shù)第二列為一個(gè)指定的向量，其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積其他各列是其后列與倒數(shù)第二列的點(diǎn)乘積。 實(shí)例：實(shí)例： 64 16 4 1 125 25 5 1 216 36 6 1 343 49 7 1 可以用一個(gè)指定向量生成一個(gè)范德蒙德矩

8、陣 函數(shù)函數(shù)vander(V)生成以生成以向量向量V為基礎(chǔ)向量為基礎(chǔ)向量的范德蒙德矩陣的范德蒙德矩陣 例如，例如，A=vander(4;5;6;7)即可得到上述范德蒙德矩陣即可得到上述范德蒙德矩陣 A=vander(4;5;6;7) 等價(jià)于等價(jià)于vander(4:7)用于專門學(xué)科的特殊矩陣(續(xù)) 希爾伯特矩陣 性質(zhì)：性質(zhì)：矩陣的每個(gè)元素矩陣的每個(gè)元素aij為為1/(i+j-1) 實(shí)例實(shí)例 1 1/2 1/3 1/4 1/2 1/3 1/4 1/5 1/3 1/4 1/5 1/6 1/4 1/5 1/6 1/7 生成希爾伯特矩陣的函數(shù) hilb(n) 求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù) 希爾伯特矩陣是一個(gè)

9、希爾伯特矩陣是一個(gè)條件數(shù)很差條件數(shù)很差的矩陣，使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的的矩陣，使用一般方法求逆會(huì)因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。微小擾動(dòng)而產(chǎn)生不可靠的計(jì)算結(jié)果。 MATLAB中，有一個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)中，有一個(gè)專門求希爾伯特矩陣的逆的函數(shù)invhilb(n)，其功能是求，其功能是求n階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。階的希爾伯特矩陣的逆矩陣。 例 求4階希爾伯特矩陣及其逆矩陣。format rat %以有理形式輸出H=hilb(4)H=invhilb(4)用于專門學(xué)科的特殊矩陣(續(xù)) 特普利茨矩陣 （ Toeplitz matrix ） 性質(zhì)：性質(zhì)：除第一行第一列外，

10、其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同除第一行第一列外，其他每個(gè)元素都與左上角的元素相同 實(shí)例實(shí)例 2 3 4 5 6 7 8 9 3 2 3 4 5 6 7 8 4 3 2 3 4 5 6 7 5 4 3 2 3 4 5 6 生成特普利茨矩陣的函數(shù) toeplitz(x,y)，生成一個(gè)以，生成一個(gè)以x為第一列，為第一列，y為第一行為第一行的托普利茲矩陣。的托普利茲矩陣。這里這里x, y均為向量，兩者不必等長。均為向量，兩者不必等長。 例例 toeplitz(2:5,2:9) toeplitz(2:5,2,8,9) toeplitz(x)用向量用向量x生成一個(gè)對(duì)稱的特普利茨矩陣。生成一個(gè)對(duì)稱的特普利

11、茨矩陣。 例例 T=toeplitz(1:6)用于專門學(xué)科的特殊矩陣(續(xù))伴隨矩陣 矩陣中的元素用它們在行列式中的代數(shù)余矩陣中的元素用它們在行列式中的代數(shù)余子式替換后得到的矩陣再轉(zhuǎn)置，這個(gè)矩陣子式替換后得到的矩陣再轉(zhuǎn)置，這個(gè)矩陣叫叫A的伴隨矩陣。的伴隨矩陣。生成伴隨矩陣的函數(shù) compan(p)，其中，其中p是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)向量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。量，高次冪系數(shù)排在前，低次冪排在后。 例，求多項(xiàng)式例，求多項(xiàng)式x3-7x+6的伴隨矩陣的伴隨矩陣p=1,0,-7,6;compan(p)用于專門學(xué)科的特殊矩陣(續(xù)) 帕斯卡矩陣 二次項(xiàng)二次項(xiàng)(x+y)n展開后的系展

12、開后的系數(shù)隨數(shù)隨n的增大的增大組成一個(gè)三組成一個(gè)三角形表，稱角形表，稱為楊輝三角為楊輝三角形。形。 由楊輝三角由楊輝三角形組成的矩形組成的矩陣稱為帕斯陣稱為帕斯卡卡(Pascal)矩矩陣陣用于專門學(xué)科的特殊矩陣(續(xù)) 生成一個(gè)n階帕斯卡矩陣的函數(shù) pascal(n) 例 求(x+y)4的展開式pascal(5)ans = 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 1 3 6 10 15 1 4 10 20 35 1 5 15 35 70 矩陣次對(duì)角線上的元素1,4,6,4,1即為展開式的系數(shù)用于專門學(xué)科的特殊矩陣(續(xù))特殊矩陣矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求值矩陣的特征值與特征向量矩陣

13、的超越函數(shù)主要內(nèi)容 對(duì)角陣 只有只有對(duì)角線對(duì)角線上有上有非非0元素元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣的矩陣稱為對(duì)角矩陣 特例 對(duì)角線上的對(duì)角線上的元素相等元素相等的對(duì)角矩陣稱為的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣數(shù)量矩陣 對(duì)角線上的對(duì)角線上的元素都為元素都為1的對(duì)角矩陣稱為的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣單位矩陣 對(duì)角線的性質(zhì) 轉(zhuǎn)置運(yùn)算對(duì)角線元素不變轉(zhuǎn)置運(yùn)算對(duì)角線元素不變 相似運(yùn)算對(duì)角線元素的和不變相似運(yùn)算對(duì)角線元素的和不變 矩陣研究中需要 提取矩陣的對(duì)角線元素提取矩陣的對(duì)角線元素生成列向量生成列向量 利用向量利用向量構(gòu)造對(duì)角矩陣構(gòu)造對(duì)角矩陣對(duì)角陣 提取矩陣的對(duì)角線元素 設(shè)設(shè)A為為mn矩陣，矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣函

14、數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的個(gè)元素的列向量列向量。 A=1,2,3;4,5,6; B=diag(A) diag(A)函數(shù)還有一種形式函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提，其功能是提取第取第k條對(duì)角線的元素條對(duì)角線的元素 與主對(duì)角線平行與主對(duì)角線平行,往上為第往上為第1條條,第第2條條,第第n條對(duì)角線，條對(duì)角線，往下為第往下為第-1條，第條，第-2條條,第第-n條對(duì)角線條對(duì)角線。 例，提取例，提取B矩陣主對(duì)角線兩側(cè)對(duì)角線元素矩陣主對(duì)角線兩側(cè)對(duì)角線元素 C=diag(A,1) D=diag(A,-1)對(duì)角陣（續(xù)）構(gòu)造對(duì)角矩陣

15、 設(shè)設(shè)V為具有為具有m個(gè)元素的向量，個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)將產(chǎn)生一個(gè)生一個(gè)mm對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量即為向量V的元素。的元素。 diag(1,2,3,4) diag(V)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)其功能是產(chǎn)生一個(gè)nn(n=m+|k|)對(duì)角陣，對(duì)角陣，其第其第k條對(duì)角線的元素即為向量條對(duì)角線的元素即為向量V的元素的元素 diag(1:4,-1)對(duì)角陣（續(xù)） 例 先建立55矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，第五行乘以5。 A=17,0,1,0,15;23,5,7,14,16;4,0,13,0,

16、22;10,12,19,21,3;.11,18,25,2,19; D=diag(1:5); D*A %用D左乘A，對(duì)A的每行乘以一個(gè)指定常數(shù) 問題：對(duì)矩陣A的每列元素乘以同一個(gè)數(shù)，如何實(shí)現(xiàn)？ 答：對(duì)角陣右乘矩陣A對(duì)角陣（續(xù)） 三角陣 上三角陣：矩陣的對(duì)角線以下的元素全為上三角陣：矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣的一種矩陣 下三角陣：對(duì)角線以上的元素全為下三角陣：對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣的一種矩陣 上三角矩陣 求矩陣求矩陣A的上三角陣的的上三角陣的MATLAB函數(shù)是函數(shù)是triu(A) 功能：提取矩陣功能：提取矩陣A的上三角元素的上三角元素 A=1,2,3,4;5,6,7,8;9,

17、10,11,12;13,14,15,16 B= triu(A) triu(A)函數(shù)也有另一種形式函數(shù)也有另一種形式triu(A,k) 功能：提取矩陣功能：提取矩陣A的第的第k條對(duì)角線以上的元素條對(duì)角線以上的元素 C= triu(A,2) (2) 下三角矩陣 tril(A)和和tril(A,k) 用法與提取上三角矩陣的函數(shù)用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和和triu(A,k)完全相同。完全相同。三角陣矩陣的轉(zhuǎn)置 轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)單撇號(hào)() D=A矩陣的旋轉(zhuǎn) 以以90為單位為單位對(duì)矩陣按對(duì)矩陣按逆時(shí)針方向逆時(shí)針方向進(jìn)行進(jìn)行旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn) rot90(A,k)將矩陣將矩陣A旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)9

18、0的的k倍，當(dāng)倍，當(dāng)k為為1時(shí)可省略。時(shí)可省略。 E=rot90(A) F= rot90(A,4)矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn) 矩陣的左右翻轉(zhuǎn) 列調(diào)換列調(diào)換 將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，數(shù)第二列調(diào)換，依次類推。，依次類推。 MATLAB對(duì)矩陣對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A) G= fliplr(A) 矩陣的上下翻轉(zhuǎn) 行調(diào)換行調(diào)換 MATLAB對(duì)矩陣對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A) H=flipud(A)矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)（續(xù)）特殊矩陣矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣求逆與線性方程組求解矩

19、陣求值矩陣的特征值與特征向量矩陣的超越函數(shù)主要內(nèi)容 矩陣的逆 對(duì)于一個(gè)方陣對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得，使得 AB=BA=I (I為單位矩陣為單位矩陣) 則稱則稱B為為A的逆矩陣，當(dāng)然，的逆矩陣，當(dāng)然，A也是也是B的逆矩陣。的逆矩陣。 求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。 求方陣求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。 A=1,-1,1;5,-4,3;2,1,1 B=inv(A) A*B B*A矩

20、陣求逆 矩陣的偽逆 如果矩陣如果矩陣A不是一個(gè)方陣不是一個(gè)方陣，或者，或者A是一個(gè)是一個(gè)非滿秩的方陣非滿秩的方陣時(shí)，時(shí)，矩陣矩陣A沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與沒有逆矩陣，但可以找到一個(gè)與A的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣A同同型的矩陣型的矩陣B，使得：，使得： ABA=A BAB=B此時(shí)稱矩陣此時(shí)稱矩陣B為矩陣為矩陣A的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。的偽逆，也稱為廣義逆矩陣。 在在MATLAB中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是中，求一個(gè)矩陣偽逆的函數(shù)是pinv(A)。 A=3,1,1,1;1,3,1,1;1,1,3,1 B= pinv(A)矩陣求逆（續(xù)） 用矩陣求逆方法求解線性方程組 在線性方程組在線性方程組Ax=b兩

21、邊各左乘兩邊各左乘A-1，有，有 A-1Ax=A-1b 由于由于A-1A=I，故得，故得 x=A-1b 例 用求逆矩陣的方法解線性方程組。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; b=5,-2,6; x=inv(A)*b也可以運(yùn)用左除運(yùn)算符“”求解線性代數(shù)方程組。 x=Ab線性方程組求解6278294532zyxzyxzyx特殊矩陣矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求值矩陣的特征值與特征向量矩陣的超越函數(shù)主要內(nèi)容 把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為所對(duì)應(yīng)的行列式的值。 在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。 例例 A=rand

22、(5) B=det(A)方陣的行列式 矩陣的秩 矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。 在在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; r= rank(A) 矩陣的跡 矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和于矩陣的特征值之和 在在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; trace(A)矩陣的秩和跡 向量和矩陣的范數(shù) 矩陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在矩

23、陣或向量的范數(shù)用來度量矩陣或向量在某種意義某種意義下的長度。下的長度。 范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。范數(shù)有多種方法定義，其定義不同，范數(shù)值也就不同。 向量的范數(shù) 3種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù)種常用范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) 設(shè)向量設(shè)向量V=(v1,v2,.,vn) 1-范數(shù)：范數(shù)：|V|1=v1+v2+vn 2-范數(shù)：范數(shù)： |V|2=(v12+v22+vn2)1/2 -范數(shù)：范數(shù)：|V| =max(v1,v2,vn) 在在MATLAB中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：中，求向量范數(shù)的函數(shù)為：(1) norm(V)或或norm(V,2)：計(jì)算向量：計(jì)算向量V的的2-范數(shù)。范數(shù)。(2) norm(V

24、,1)：計(jì)算向量：計(jì)算向量V的的1-范數(shù)。范數(shù)。(3) norm(V,inf)：計(jì)算向量：計(jì)算向量V的的-范數(shù)。范數(shù)。向量和矩陣的范數(shù) 矩陣的范數(shù)及其計(jì)算函數(shù) 1-范數(shù)：范數(shù)：A1 = max |ai1|, |ai2| , ,|ain| （列和范數(shù)列和范數(shù)，A每每一列元素絕對(duì)值之和的最大值）一列元素絕對(duì)值之和的最大值） 其中其中|ai1|第一列元素絕對(duì)值的和第一列元素絕對(duì)值的和|ai1|=|a11|+|a21|+.+|an1|,其余類其余類似；似； 2-范數(shù)：范數(shù)：A2 = A的最大奇異值的最大奇異值 = ( max i(AH*A) ) 1/2 ( 譜范譜范數(shù)數(shù),即即AA特征值特征值i中最大者

25、中最大者1的平方根，其中的平方根，其中AH為為A的轉(zhuǎn)置共軛矩的轉(zhuǎn)置共軛矩陣）；陣）； -范數(shù)：范數(shù)：A = max |a1j|, |a2j| ,., |amj| （行和范數(shù)行和范數(shù)，A每每一行元素絕對(duì)值之和的最大值）一行元素絕對(duì)值之和的最大值） 其中為其中為|a1j| 第一行元素絕對(duì)值的和，其余類似；第一行元素絕對(duì)值的和，其余類似； MATLAB提供了求3種矩陣范數(shù)的函數(shù)，其函數(shù)調(diào)用格式與求向量的范數(shù)的函數(shù)完全相同。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; a1=norm(A,1) a2=norm(A,2) ainf=norm(A, inf)向量和矩陣的范數(shù)（續(xù)） 矩陣的條件數(shù) 用用矩陣及

26、其逆矩陣的范數(shù)的乘積矩陣及其逆矩陣的范數(shù)的乘積表示矩陣的條件數(shù)表示矩陣的條件數(shù) cond(A)= |A|.|A-1| 為什么要研究矩陣的條件數(shù)？ 矩陣條件數(shù)的大小是衡量矩陣條件數(shù)的大小是衡量矩陣矩陣“壞壞”或或“好好”的標(biāo)志的標(biāo)志 一個(gè)簡單的例子是，如果我們想求解線性方程組一個(gè)簡單的例子是，如果我們想求解線性方程組Ax=b，雖然當(dāng)，雖然當(dāng)A可可逆時(shí)，理論上可以解出逆時(shí)，理論上可以解出x=A(-1)*b,但在實(shí)際工程中，由于構(gòu)成但在實(shí)際工程中，由于構(gòu)成A、b中的數(shù)可能都不是精確的，而僅是一些近似數(shù)，當(dāng)中的數(shù)可能都不是精確的，而僅是一些近似數(shù)，當(dāng)b中數(shù)據(jù)發(fā)生中數(shù)據(jù)發(fā)生“小小”的變化時(shí)會(huì)對(duì)解的變化時(shí)

27、會(huì)對(duì)解x造成多大的誤差呢？如果誤差很大，那么，造成多大的誤差呢？如果誤差很大，那么，這種方程按這種方程按x=A(-1)*b算出的結(jié)果算出的結(jié)果x就不可信，因此稱為病態(tài)方程。就不可信，因此稱為病態(tài)方程。 利用矩陣論理論，利用矩陣論理論，當(dāng)當(dāng)A的條件數(shù)越大，方程的條件數(shù)越大，方程Ax=b的病態(tài)就越嚴(yán)重的病態(tài)就越嚴(yán)重。這也就是我們研究條件數(shù)的原因。這也就是我們研究條件數(shù)的原因。矩陣的條件數(shù) 由于矩陣范數(shù)的定義不同，因而其條件數(shù)也不同，但是由于矩陣范數(shù)的等價(jià)性，故在不同范數(shù)下的條件數(shù)也是等價(jià)的。 在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的3種條件數(shù)的函數(shù)是：(1) cond(A,1) 計(jì)算A的1范數(shù)下的條件數(shù)。(

28、2) cond(A)或cond(A,2) 計(jì)算A的2范數(shù)數(shù)下的條件數(shù)。(3) cond(A,inf) 計(jì)算A的 范數(shù)下的條件數(shù)。 A=1,2,3;1,4,9;1,8,27; a1=cond (A) B=2,-5,4;1,5,-2;-1,2,4; a2=cond (B) 矩陣的條件數(shù)（續(xù)）特殊矩陣矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求值矩陣的特征值與特征向量矩陣的超越函數(shù)主要內(nèi)容 在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種： (1) E=eig(A)：求矩陣：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量的全部特征值，構(gòu)成向量E。 (2) V,D=eig(A)：

29、求矩陣：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求并求A的特征向量構(gòu)成的特征向量構(gòu)成V的列向量。的列向量。 (3) V,D=eig(A,nobalance)：與第：與第2種格式類似，但第種格式類似，但第2種種格式中先對(duì)格式中先對(duì)A作相似變換后求矩陣作相似變換后求矩陣A的特征值和特征向量，的特征值和特征向量，而格式而格式3直接求矩陣直接求矩陣A的特征值和特征向量。的特征值和特征向量。 A=1,1,0.5;1,1,0.25;0.5,0.25,2 V,D=eig(A) A*V V*D矩陣的特征值與特征向量 例 用求特征值的方法解方程 3x5-7x4+5x2+2x-18=0 第一

30、步：構(gòu)造與方程對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的伴隨矩陣第一步：構(gòu)造與方程對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式的伴隨矩陣 p=3,-7,0,5,2,-18; A=compan(p); %A為伴隨矩陣為伴隨矩陣 第二步：求第二步：求A的特征值的特征值 x1=eig(A) %A的特征值即為方程的根的特征值即為方程的根 比較： 用直接求多項(xiàng)式零點(diǎn)的方法解方程用直接求多項(xiàng)式零點(diǎn)的方法解方程 x2=roots(p) edit roots.m roots函數(shù)正是應(yīng)用求伴隨矩陣的特征值方法來求方程的根函數(shù)正是應(yīng)用求伴隨矩陣的特征值方法來求方程的根矩陣的特征值與特征向量（續(xù)）特殊矩陣矩陣結(jié)構(gòu)變換矩陣求逆與線性方程組求解矩陣求值矩陣的特征值與特征向量矩陣的超越函數(shù)主要內(nèi)容 矩陣的超越函數(shù) 在在MATLAB中中sqrt 、exp、log等命令也可以作用到矩陣上，但這種運(yùn)算等命令也可以作用到矩陣上，但這種運(yùn)算是定義在矩陣的是定義在矩陣的單個(gè)元素上單個(gè)元素上的，即分別對(duì)