參數(shù)方程和極坐標(biāo)系知識(shí)點(diǎn)與例題(整理過的)精品資料

1、J3 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系一、知識(shí)要點(diǎn)（一）曲線的參數(shù)方程的定義：在取定的坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x、 y 都是某個(gè)變數(shù)xf (t )t 的函數(shù)，即f (t )y并且對(duì)于 t 每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn) M（ x， y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系 x、 y 之間關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)（二）常見曲線的參數(shù)方程如下：xx0t cos（ t 為參數(shù)）1過定點(diǎn)（ x0 ，y0 ），傾角為 的直線：y0t siny其中參數(shù) t 是以定點(diǎn) P（ x0，y0 ）為起點(diǎn)，對(duì)應(yīng)于t 點(diǎn) M（ x， y）為終點(diǎn)的有向線段PM 的數(shù)量，又稱為點(diǎn)P 與點(diǎn) M 間的有

2、向距離根據(jù) t 的幾何意義，有以下結(jié)論1設(shè) A、B是 直 線 上 任 意 兩 點(diǎn) ， 它 們 對(duì) 應(yīng) 的 參 數(shù) 分 別 為 tA 和 tB ， 則 AB t Bt A (t B t A ) 2 4t At At Bt B 2 線段 AB 的中點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值等于22中心在（ x0， y0），半徑等于 r 的圓：xx0r cos（為參數(shù)）yy0r sin3中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在xa cosxb cosx 軸（或 y 軸）上的橢圓：b sin（為參數(shù)）（或a sin）yy中心在點(diǎn)（ x0,y0）焦點(diǎn)在平行于 x 軸的直線上的橢圓的參數(shù)方程xx0a cos ,yy0( 為參數(shù)）b sin .4中心在原

3、點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸（或 y 軸）上的雙曲線：xa secxbtgybtg（為參數(shù)）（或asec）y5頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x 軸正半軸上的拋物線：x2 pt2（ t 為參數(shù)， p 0）y2 pt直線的參數(shù)方程和參數(shù)的幾何意義過定點(diǎn) P（ x0， y0），傾斜角為的直線的參數(shù)方程是xx0t cos（t為參數(shù)）yy0t sinJ3.2 極坐標(biāo)系1、定義：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，引一條射線Ox，叫做極軸，再選一M個(gè)長度單位和角度的正方向（通常取逆時(shí)針方向）。對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，用表示線段 OM的長度， 表示從 Ox 到 OM的角， 叫做點(diǎn) M的極徑， 叫做點(diǎn) MOx的極角，有序數(shù)對(duì) ( , )

4、 就叫做點(diǎn) M的極坐標(biāo)。這樣建立的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系。圖12、極坐標(biāo)有四個(gè)要素：極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位及它的方向極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)都是一對(duì)有序?qū)崝?shù)確定平面上一個(gè)點(diǎn)，在極坐標(biāo)系下，一對(duì)有序?qū)崝?shù)、對(duì)應(yīng)惟一點(diǎn)P( ， )，但平面內(nèi)任一個(gè)點(diǎn)P 的極坐標(biāo)不惟一 一個(gè)點(diǎn)可以有無數(shù)個(gè)坐標(biāo)，這些坐標(biāo)又有規(guī)律可循的，P( ，) （極點(diǎn)除外）的全部坐標(biāo)為(, 2k )或（， (2k1)）， ( kZ)極點(diǎn)的極徑為0，而極角任意取若對(duì)、 的取值范圍加以限制則除極點(diǎn)外，平面上點(diǎn)的極坐標(biāo)就惟一了，如限定>0 ，0 2或<0，等極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的不同是，直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與坐標(biāo)是一一對(duì)應(yīng)的，而極坐標(biāo)系中，

5、點(diǎn)與坐標(biāo)是一多對(duì)應(yīng)的即一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)是不惟一的3、直線相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：0M （ ，）MMacos0aOxaOaOcos圖1圖2圖3a0aasincoscosasinM （ ，）MaaON ( a ,cos()aa)OMOp圖4圖5a圖6asinasincos()4、圓相對(duì)于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a0) ：a2a cos2a cos2asin2a sin2a cos()MMMaaOxOxOxa圖3圖1圖22a cosa2 a cosMOxMaMa(a ,)aOx圖5Ox圖4圖62asin2a sin2a cos()5、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式：

6、y( , )NxMyxcosOHx2 y22ysintany(x 0)x（直極互化圖）例題（ j3.1 參數(shù)方程）例 1.討論下列問題：1、已知一條直線上兩點(diǎn)M 1 x1 , y1 、 M 2 x2 , y2 ，以分點(diǎn) M（ x，y）分 M 1 M 2 所成的比為參數(shù)，寫出參數(shù)方程。x33 t2、直線21 ty12(t 為參數(shù) )的傾斜角是B52A CD6363x1t cos為參數(shù)）表示的曲線是()3、方程3（t 為非零常數(shù)，yt sinA 直線B 圓C橢圓D 雙曲線x5cos為參數(shù)） ，則橢圓上一點(diǎn)P (5 ，2 3 ) 的離心角可以是4 、已知橢圓的參數(shù)方程是（y4 sin2A 245B

7、CD3333x v0 cost ,(1)例 2把彈道曲線的參數(shù)方程1 gt 2 ,v0 sin t化成普通方程y( 2)2例 3.將下列數(shù)方程化成普通方程 x 2t y 2tx2x1t 2x12t 21t 2a(t)xmy1，1，t，y2t2ty1ymx1t 2y1t 2b(t)1txa cos ,為參數(shù)xcos26(, a b 0) 7sin yb sin . y例 4. 直線 3x 2y 6=0，令 y = tx 6（ t 為參數(shù)）求直線的參數(shù)方程例 5.已知圓錐曲線方程是x3t 5cos1y6t 24 sin5（ 1）若 t 為參數(shù)，為常數(shù)，求該曲線的普通方程，并求出焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；（

8、 2）若 為參數(shù)， t 為常數(shù)，求這圓錐曲線的普通方程并求它的離心率。例 6. 在圓 x2 2x y2=0 上求一點(diǎn)，使它到直線2x3y 5=0 的距離最大例 7. 在橢圓 4x2 9y2=36 上求一點(diǎn)P，使它到直線x 2y18=0 的距離最短（或最長） 例 8.已知直線； l ：x13t與雙曲線 （y-2）2-x2= 1 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)， P 點(diǎn)坐標(biāo) P(-1， 2)。求：y24t（1） |PA|.|PB|的值；（ 2）弦長 |AB|;弦 AB中點(diǎn) M 與點(diǎn) P 的距離。例 9.已知 A （ 2,0） ,點(diǎn) B,C 在圓 x2+y 2=4 上移動(dòng)，且有 BAC2求 ABC 重心

9、G 的軌跡方程。3例 10.已知橢圓 x2y 21和圓 x22在橢圓上求一點(diǎn)P1,在圓上求一點(diǎn)使 |P328+(y-6)=5,P2,1P2|達(dá)到最大值，并求出此最大值。例 11.已知直線l 過定點(diǎn) P(-2,0), 與拋物線2C: x + y-8=0 相交于 A 、B 兩點(diǎn)。（ 1）若 P 為線段 AB 的中點(diǎn)，求直線l 的方程；（ 2）若 l 繞 P 點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，求 AB的中點(diǎn) M 的方程 .例 12.橢圓 x2y21(a b 0) 上是否存在點(diǎn) P，使得由 P 點(diǎn)向圓 x2+y2=b2 所引的兩條切線互相垂直？若存a2b2在，求出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例題（ J3.2 極坐標(biāo)系）

10、例 1 討論下列問題：1在同一極坐標(biāo)系中與極坐標(biāo)M（ 2, 40°）表示同一點(diǎn)的極坐標(biāo)是（）（ A）（ 2, 220°） （B） ( 2, 140° )（C） (2,140° )（ D） (2, 40° )2已知 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(4， 0° ), B( 4, 120° ), C(23 2, 30° )，則 ABC 為 ()。（ A）正三角形（ B）等腰直角三角形（ C）直角非等腰三角形（ D）等腰非直角三角形例 2.把點(diǎn) A(5,), B(3,) 的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)。64例3.把點(diǎn)M(3,1)

11、, N(0,3), P(2,0)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)。例 4.已知正三角形ABC 中，頂點(diǎn) A 、 B 的極坐標(biāo)分別為A(1,0), B( 3,) ，試求頂點(diǎn) C 的極坐標(biāo)。x2+y 2-2ax=0 為極坐標(biāo)方程。2例 5.化圓的直角方程例 6.化圓錐曲線的極坐標(biāo)方程ep為直角坐標(biāo)方程。iecos例 7.討論下列問題：1在極坐標(biāo)系里，過點(diǎn) M（ 4， 30°）而平行于極軸的直線的方程是（）（ A） sin2 （B）sin 2（C）cos2 （D）cos23.已知 P 點(diǎn)的極坐標(biāo)是 (1, )，則過點(diǎn) P 且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（）。（ A） =1（B） cos （ C） c

12、os = 1（D ） cos =14. 若 >0, 則下列極坐標(biāo)方程中，表示直線的是（）。（ A） =（ B） cos=3（ C） tg=1（D ）sin =1(0 )(0 )325.若點(diǎn) A( 4,7 ) 與 B 關(guān)于直線 =對(duì)稱，在 >0, < 條件下， B 的極坐標(biāo)是。636.直線 cos( )=1 與極軸所成的角是。47. 直線 cos( )=1 與直線 sin( )=1 的位置關(guān)系是。8. 直線 y=kx 1 (k<0 且 k 1 )與曲線 2 sin sin2 0 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）。2（ A）0 （B）1 （C） 2 （D）3例 8.討論下列問題；1.圓

13、的半徑是 1，圓心的極坐標(biāo)是 (1,0)，則這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是（）。（ A） cos（ B） sin（ C） 2cos （D ） 2sin2.極坐標(biāo)方程分別是 cos 和 sin 的兩個(gè)圓的圓心距是（）。2（A）2（B）2（C）1（D）23. 在極坐標(biāo)系中和圓 =4sin 相切的一條直線方程是（）（ A） sin =2 （B） cos=2 （ C） sin =4 （ D） cos =44圓 Dcos Esin 與極軸相切的充分必要條件是（）（ A）D·E0 （B） D2E20 （C）D0，E 0 （D）D0，E05圓2 3 sin 2cos 的圓心的極坐標(biāo)為。6.若圓的極坐標(biāo)方程為 =6cos ，則這個(gè)圓的面積是。7.若圓的極坐標(biāo)方程為 =4sin ，則這個(gè)圓的直角坐標(biāo)方程為。8. 設(shè)有半徑為 4 的圓，它在極坐標(biāo)系內(nèi)的圓心的極坐標(biāo)為(4, 0)，則這個(gè)圓的極坐標(biāo)方程為。例 9.當(dāng) a、 b、 c 滿足什么條件時(shí)，直線1與圓2c cos相切？a cosb sin例 10.試把極坐標(biāo)方程23 sin 26cos 0 化為直角坐標(biāo)方程，并就m 值的變化m cos討論曲線的形狀。例 11.過拋物線 y2=2px 的焦點(diǎn) F 且傾