八年級數(shù)學上冊11.3《多邊形及其內(nèi)角和》三角形思維點撥素材(新版)新人教版

1、 思維點撥：三角形 如圖，三角形 ABO 的邊 AO B0 分別是三角形 DOC 勺邊 CO DO 的延長線，則 / A+Z B=Z C+Z D. 0 - - 解：在三角形 ABO 中 ,Z A+Z B+Z AOB=180，在三角形 COD 中 ,Z C+Z D+ Z DOC=18，所以Z A+Z B+Z AOB=Z C+Z D+Z DOC 又因為Z AOB=Z DOC 所以 Z A+Z B=Z C+Z D. 由此我們得到以下結(jié)論：如果兩個三角形有一個角是對頂角， 那么這兩個三角形的 另外兩個角的和相等 【例 1】如圖，已知五角星 ABCDE 求Z A+Z B+Z C+Z D+ZE 的度數(shù)和

2、A 【思考與分析】我們可以連結(jié) DE 在由三角形 ACF 和三角形 DEF 構(gòu)成的圖形中, Z A+Z C=Z CEDZ EDA 從而把五角星 ABCDE 的五個內(nèi)角放到了三角形 BED 中，根據(jù)三角形 內(nèi)角和定理即可求出Z A+Z B+Z C+Z D+ZE 的度數(shù) 解：連結(jié) DE,由以上結(jié)論可知：Z A+Z C=Z CEDZ EDA 又因為在三角形 BED 中, Z B+Z BEC-Z BDA-Z CEDZ EDA=180 , 所以Z B+Z BECZ BDAZ A+Z C=180 . 即 Z A+Z B+Z C+Z D+Z E= 180. 【例 2】如圖，求Z 1 + Z 2+Z 3+Z

3、4+Z5 的度數(shù)和. 【思考與分析】我們按照例 1 的思路，連結(jié) CD 則在三角形 AEF 和三角形 DCF 所構(gòu)成的圖形中，Z 3+Z4=Z EDCZ DCA 這樣就把Z 1、Z 2、Z 3、Z 4、Z5 同時放到了 三角形 BDC 中，即可求出Z 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z5 的度數(shù)和. 解：連結(jié) CD,則Z 3+Z 4=Z EDCZ DCA2 又因為在三角形 BDC 中，/ 1+Z 5+Z 2+Z EDC# DCA=180 , 所以/ 1+Z 5+Z 2+Z 3+/ 4=180 ,即/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z 5=180 . 【小結(jié)】按照這種思路，以上兩題還有多種解法

4、，大家不妨試一試，看能找到 多少種解法 【例 3】如圖，三角形 ABC 中，AD 平分Z BAC EGLAD 且分別交 AB AD AC 及 BC 的延長 A上 上23) B.ZL 1=2( 212- 匚上4務(wù)(乙弘厶2) 吐丄乙I 2 【思考與解】因為 EGLAD 交點為 H, AD 平分Z BAC 1 所以在直角三角形 AHE 中，Z 1 = 90 BAC 2 在三角形 ABC 中，易知Z BAC= 180 (Z 2+Z 3), 1 1 所以Z 1 = 90 : 180 (Z 2+Z 3) : = (Z 3+Z2) 2 2 又因為Z1是三角形 EBG 的外角，所以Z 1 = Z 2+Z G

5、. 1 1 所以Z G=Z 1 Z 2= (Z 3+Z2)Z 2= (Z 3Z 2) 2 2 所以應(yīng)選 C. 【例 4】如圖，點 D 為三角形 ABC 內(nèi)的一點，已知Z ABD= 20 =35 你能求出Z BDC 的度數(shù)嗎？ Z ACD= 25 ，ZA 線于點 【思考與解】延長 BD 與 AC 交于 E 點， 因為/ DEC 是三角形 ABE 的外角， 所以/ DECM A+Z ABD= 35 +20 =55 . 又因為/ BDC 是三角形 CDE 的外角， 所以 Z BDCZ DECZ ACD=55 +25 =80 . 【小結(jié)】記準一些常用的結(jié)論，有助于我們快速地、正確地解題 . 【例 5】

6、如圖，已知Z B= 10 ,Z C= 20 ,Z BOC= 110 ,你能求出ZA 的度數(shù)嗎? 【思考與分析】 要求ZA的度數(shù)，我們可以設(shè)法讓ZA 成為某個與已知角相關(guān)的三角 形的內(nèi)角我們可延長 BO 交 AC 于 D,則Z A ZB即為三角形 ABD 的兩個內(nèi)角根據(jù)三角形外 角的性質(zhì)，欲求ZA的度數(shù)，可先求Z ODC 的度數(shù)，由Z BOC= 110 , Z C= 20即可求出Z ODC 的度數(shù) 解：延長 BO 交 AC 于 D. 因為Z BOC 是三角形 ODC 勺外角， 所以 Z BOC=Z ODCZ C. 因為Z BOC=110 , Z C= 20, 所以Z ODC= 110 20= 9

7、0. 因為Z ODC 是三角形 ABD 的外角， 所以Z OD=Z A+Z B. 因為Z B= 10, 所以Z A= 90 10= 80. 【例 6】如圖，點 D 是三角形 ABC 內(nèi)一點，連結(jié) BD CD 試說明Z BDCZ BAC. 4 【思考與分析】Z BDC 和Z BAC 在兩個不同的三角形內(nèi)， 而且不能直接比較它們的大 小，必須做輔助線把這兩個角聯(lián)系起來 我們延長 BD 交 AC 于 P,或連結(jié) AD 并延長交 BC 于 Q 都可以利用三角形外角的性質(zhì)解題 解：延長 BD 交 AC 于 P,則/ BDC2 DPC / DPC2 BAC 所以/ BDC2 BAC. 【反思】我們還可以連

8、結(jié) AD 并延長交 BC 于 Q,如圖，請大家試一試，看能不能得 到相同的結(jié)論 【例 7】已知三角形 ABC 的一個內(nèi)角度數(shù)為 40,且/ A=Z B,你能求出/C 的外角的度數(shù) 嗎？ 【思考與分析】在三角形 ABC 中，/ A=Z B,因此三角形 ABC 是一個等腰三角形，我 們必須要討論 40的角是三角形 ABC 的頂角還是底角，應(yīng)分兩種情況解答 . 解：(1)設(shè)/ a = 40,當/ a是等腰三角形的頂角時，則/ a的外角等于 180。 40= 140,而/ C=Z a，所以/C的外角的度數(shù)為 140. (2)設(shè)/ a = 40,當/ a是等腰三角形的底角時，/ A=Z B=Z a =

9、40,此時 ZC 的外角=/ A+Z B= 80. 【例 8已知非直角三角形 ABC 中, Z A=45 ,高 BD 和 CE 所在的直線交于 H,你能求出Z BHC 的度數(shù)嗎？ 【思考與分析三角形的形狀不同， 高的交點的位置也就不同高的交點的位置可能 在三角形的內(nèi)部，也可能在三角形的外部，因此我們應(yīng)該分兩種情況進行討論 解：當三角形 ABC 為銳角三角形時，如圖 1 所示 A 所以/ ADB=/ BEH=90，/ ABD=90 45= 45. 所以/ BHCM ABHf BEH=45 +90 =135 . (2)當三角形 ABC 為鈍角三角形時，如圖 2 所示. 因為 H 是三角形的兩條高所

10、在直線的交點，/ A=45 , 所以/ ABD= 90 45= 45. 所以在直角三角形 EBH 中，/ BHC=90 Z ABD= 90 45= 45. 由(1)、( 2)可知，Z BHC 的度數(shù)為 135或 45. 【小結(jié)】我們在解題中，經(jīng)常遇到題目中某些條件交代不清，此時，我們一定要注 意分情況考慮，用分類討論的方法使解完整 【例 9】如圖，已知三角形 ABC 中，Z B=Z C= 2Z A,你能求出ZA 的度數(shù)嗎？ A 【思考與分析】我們由三角形內(nèi)角和可知，Z A+Z B+Z C=180，又因為Z B=Z C= 2Z A,可得Z A+Z B+Z C=Z A+ 2Z A+ 2Z A= 1

11、80,即可求出ZA 的度數(shù). 我們還可以用方程來解這道題， 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與Z B=Z C= 2ZA 這兩個已知條件求 未知量ZA的度數(shù).用方程解決問題，我們必須在弄清題中已知數(shù)量和未知數(shù)量的關(guān)系的基 礎(chǔ)上，要抓住題中的不變量，建立等量關(guān)系 題中的不變量是三角形內(nèi)角和等于 180,其 等量關(guān)系是Z A+Z B+Z C=180，然后我們用數(shù)學語言把這個等量關(guān)系式轉(zhuǎn)化為方程 設(shè)ZA的度數(shù)為 x， 則可以用 2x分別表示Z B、ZC的度數(shù)， 將這個等式轉(zhuǎn)化為方程 x+ 2x + 2x= 180 ,即可求出/A 的度數(shù). 6 解法一：因為/ B=/ C= 2/A,/ A+/ B+/ C=180，

12、所以/ A+/ B+/ C=/ A+ 2/A + 2/A= 180,即/ A= 36. 解法二： 設(shè)/A的度數(shù)為 x， 則/B /C的度數(shù)都為 2x， 列方程得 x + 2x + 2x = 180, 解得 x= 36，即/ A= 36. 【例 10】判斷適合下列條件的三角形 ABC 是銳角三角形、鈍角三角形還是直角三角形 (1) / A=80 ,/ B=25; (2) / A / B=30 ，/ B/ C=36 ; =丄工也丄厶C 2 6 【思考與分析】根據(jù)角判斷三角形的形狀，我們只需求出三角形中各角的度數(shù)就可 以了，本題判斷三角形是否是銳角三角形、鈍角三角形、 直角三角形，只需求出三角形中最

13、 大角的度數(shù)即可( 1)題通過直接計算就可以求出/C 的度數(shù)，(2) (3)題不便于直接計算， 可以運用方程思想抓住等量關(guān)系，列方程進行求解 解：(1)因為/ A= 80,/ B=25,所以/ C=180 -80 -25 =75 ,所以三角形 ABC 是銳角三角形. (2) 設(shè)/ B= x，則/ A=( 30+x),/ C=( x-36 )，所以 x + ( 30+x) + (x-36 ) = 180,解得 x = 62，所以最大角/ A= 92，所以三角形 ABC 是鈍角三角形. (3) 設(shè)/ A= x，/ B= 2x，/ C= 6x，貝U x+ 2x+ 6x= 180,解得 x =20,所

14、以/ C= 120 ,所以三角形 ABC 是鈍角三角形. 【小結(jié)】利用方程求角度是我們常用的方法之一 .在三角形中，給出的條件不能直接 求出結(jié)果，且各角之間有相互關(guān)系， 我們可以設(shè)其中一個角為未知數(shù)， 再把其它角用此未知 數(shù)表示，然后列方程即可求解 . 利用高線與邊垂直的性質(zhì)求度數(shù) 【例 11】 已知 ABC 的高為 AD, / BAD=70 , / CAD=20，求/ BAC 的度數(shù). 【思考與分析】由于 AD 為底邊 BC 上的高，過 A 做底邊 BC 的垂線時，垂足 D 可能落在 底邊BC 上，也有可能落在 BC 的延長上.因此，我們需要分情況討論. 解：(1)當垂足 D 落在 BC 邊

15、上時，如圖，因為/ BAD=70 , / CAD=20，所以 / BAC/ BAD-/ CAD=70 +20 =90 . (2)當垂足 D 落在 BC 的延長線上時，如圖，因為/ BAD=70，/ CAD=20，所以 / BACM BAD- / CAD=70 -20 =50. 所以/ BAC 為 90或 50. 【小結(jié)】由于三角形可以分為銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形， 在題目所給條件 中如果沒有確切說明三角形的具體類型時，我們就要分類討論，以防遺漏 2.利用三角形面積公式求線段的長度 【例 12】 如圖， ABC 中，AD, CE 是厶 ABC 的兩條高，BC=5cm AD=3cm CE

16、=4cm 你 能求出 AB 的長嗎？ 【思考與分析】由于三角形面積等于底與高乘積的一半 因此，三角形的面積就有三種 不同的表達方式我們?nèi)粼O(shè)厶 ABC 的三邊長分別為 a, b, c,對應(yīng)邊上的高分別為 ha, hb, hc, 那么三角形的面積 S=aha=丄bhb=chc.本題中已知三角形的兩條高與其中一條高所對應(yīng) 2 2 2 1 1 的邊，求另一條邊，利用三角形面積 SABC= BC- AD=ABCE 解決十分方便 2 2 1 1 解：SAABC= BC- AD=AB CE 2 2 1 1 15 X 5X 3= AB- 4,解得 AB= (cm). 2 2 4 【小結(jié)】用同一個三角形不同的面

17、積表達式建立等式求線段的長度， 是一種很重要的方 法，在今后的學習中，我們應(yīng)注意這種方法的運用. 【例 13】如圖，已知 AD AE 分別是三角形 ABC 的中線、高，且 AB= 5cm, AC= 3cm,則三角 形 ABD 與三角形 ACD 的周長之差為 _ ，三角形 ABD 與三角形 ACD 的面積之間的關(guān)系為 _ . 8 【思考與解】(1)三角形 ABD 與三角形 ACD 的周長之差=(AB+BD+AD ( AD+CD+A) =AB+BD-CD-AC 而 BD=CD 所以上式=AB-AC=5-3=2 (cm) -CDK AE 而 BD=CD 所以 S 三角形ABD= S三角形ACD 2

18、【例 14】如圖，在三角形 ABC 中，/ 1 = 7 2, G 為 AD 的中點，延長 BG 交 AC 于 E.F 為 AB 上的一點，CF 丄 AD 于 H.下列判斷正確的有( (1) AD 是三角形 ABE 的角平分線. (2) BE 是三角形 ABD 邊 AD 上的中線. 【思考與解】 由/ 1 = 7 2,知 AD 平分/ BAE 但 AD 不是三角形 ABE 內(nèi)的線段，所以(1) 不正確；同理，BE 雖然經(jīng)過三角形 ABD 邊 AD 的中點 G 但 BE 不是三角形 ABD 內(nèi)的線段，故 (2)不正確；由于 CHL AD 于 H,故 CH 是三角形 ACD 邊 AD 上的高，(3)

19、正確.應(yīng)選 A. 【例 15】如圖，在直角三角形 ABC 中，7 ACB= 90, CD 是 AB 邊上的高，AB= 13cm, BC=12cm AC=5cm. (1)求三角形 ABC 的面積.(2)求 CD 的長. 1 【思考與分析】求直角三角形的面積，有兩種方法：S = ab (a、b 為兩條直角邊的 2 1 長)；S* ch( c 為直角三角形斜邊的長， h為斜邊上的咼).由此可知 ab= ch，在 a、b、 2 c、h四個量中，已知其中三個量，就可以求出第四個量 解：(1)在直角三角形 ABC 中，7 ACB= 90, BC=12cm AC=5cm 1 2 所以 . 2 (2)因為 C

20、D 是 AB 邊上的高，所以圧ABC= 1 ABX CD 即-X 13X CD= 30.解得 CD= 60 cm. 1 (2)因為 S三角形ABD= BDX AE 2 S三角形ACD= (3) CH 為三角形 ACD 邊 AD 上的高. A.1 個 B.2 個 C.3 個 D.0 個 A 2 2 13 【例 16】如圖 1 所示，你能求出7 A+7 B+7 C+7 D+7 E+7F 的度數(shù)嗎？10 EF,把/A+Z B+Z C+Z D+Z E+/F 的度數(shù)轉(zhuǎn)化為求四邊 形 BCEF的內(nèi)角和如圖 2 所示. 因為Z A+Z D+Z AODZOFEZ EOF-Z OEF=180 , 所以Z A+Z

21、 B+Z C+Z D+Z E+Z F=Z OFE-Z OEFFZ C+Z B+Z E+Z F= 360. 【例 17】如圖 3，凸六邊形 ABCDE 的六個角都是 120,邊長 AB= 2cm, BC=8cm CD= 11cm, DE= 6cm,你能求出這個六邊形的周長嗎？ 【思考與分析】要求六邊形的周長，必須先求出邊 EF 和 AF 的長由六邊形 ABCDEF 的六個角都是 120,可知六邊形的每一個外角的度數(shù)都是 60,如圖 4,如果延長 BA 得 到的Z PAF=60，延長 EF,得到的Z PFA=60，兩條直線相交形成三角形 APF,在三角形 APF 中，ZP的度數(shù)為 180 60 6

22、0= 60,因此三角形 APF 是等邊三角形同樣的道 理，我們分別延長 AB DC 交于點 G 那么三角形 BGC 為等邊三角形分別延長 FE、CD 交于 點 H,則三角形 DHE也是等邊三角形所以Z P=Z G=Z H=60 .所以三角形 GHR 也是等邊三角 形于是我們得到三角形 APF三角形 BGC 三角形 DHE 三角形 GHP 四個等邊三角形于是 就把多邊形的問題轉(zhuǎn)化為和等邊三角形有關(guān)的問題 利用等邊三角形的三邊相等的性質(zhì)，可 以輕松的求出 AF 和 EF 的長，從而求出六邊形 ABCDE 的周長 解：如圖 4,分別作直線 AB CD EF 的延長線使它們交于點 G H、P. 因為六

23、邊形 ABCDE 的六個角都是 120, 所以六邊形 ABCDE 的每一個外角的度數(shù)都是 60. 所以三角形 APF、三角形 BGC 三角形 DHE 三角形 GHP 都是等邊三角形 所以 GC=BC=8cm DH=D= 6cm. 所以 GH=8 11 + 6 = 25cm, FA=PA=PG-AB-BG=25-2-8= 15cm, EF=PH-PF-EH=25-15-6 =4cm. 所以六邊形的周長為 2 + 8+11+6+4+15 = 46cm 【思考與解】我們可以連結(jié) 9 A C 【反思】本題解題的關(guān)鍵是利用多邊形和三角形的關(guān)系, 邊形構(gòu)造出等邊三角形，從而利用轉(zhuǎn)化的思想，把多邊形問題轉(zhuǎn)化

24、為和三角形有關(guān)的問題， 利用三角形的性質(zhì)、定理來解答多邊形的問題 方程思想是我們學習數(shù)學的重要思想方法之一 用方程思想求解數(shù)學問題時，應(yīng)從題中的已 知量與未知量的關(guān)系入手，找出相等關(guān)系，運用數(shù)學符號語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程， 再通 過解方程，使問題得到解決 方程思想應(yīng)用非常廣泛我們不但能用方程思想解決代數(shù)問題，而且還能夠解決有關(guān)的 幾何問題 【例 18】已知三角形的第一個內(nèi)角是第二個內(nèi)角的 1.5 倍，第三個內(nèi)角比這兩個內(nèi)角 的和大 30,求這三個內(nèi)角的度數(shù) 【思考與分析】 題中的已知量是“第一個內(nèi)角是第二個內(nèi)角的 1.5 倍，第三個內(nèi)角比這 兩個內(nèi)角的和大 30”，未知量是這三個角的度數(shù) 題中沒有給出三角形內(nèi)角的度數(shù) 但第 一個內(nèi)角和第三個內(nèi)角與第二個內(nèi)角的度數(shù)相關(guān)聯(lián)， 所以解這道題的關(guān)鍵是求出第二個內(nèi)角 的