Session4置信區(qū)間估計(jì)

1、Session 4Confidence Interval Estimation置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間估計(jì) Session 4 Confidence Interval Estimation置信區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間估計(jì)Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall4-2Need for Samplingn總體容量大（人口統(tǒng)計(jì)）n破壞性試驗(yàn)（產(chǎn)品壽命試驗(yàn)）n連續(xù)生產(chǎn)過程（生產(chǎn)線）抽樣可以得到充足信息以有效推斷總體狀態(tài)Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as

2、Prentice Hall4-3抽樣方法n主觀抽樣n判斷抽樣n方便抽樣n隨機(jī)抽樣n簡單隨機(jī)抽樣 總體中每一個(gè)樣本都有同樣被抽中機(jī)會，分為重復(fù)抽樣和不重復(fù)抽樣Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall4-4其它抽樣方法n系統(tǒng)抽樣（間隔抽取樣本）n分層抽樣（分成幾個(gè)層，每層設(shè)計(jì)抽樣比例）n整群抽樣（把樣本劃為幾個(gè)群，對群抽樣）n連續(xù)抽樣Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall4-5抽樣誤差n非抽樣誤差n糟糕的抽樣設(shè)計(jì)n

3、抽樣誤差n依賴于樣本容量n抽樣調(diào)查費(fèi)用與抽樣誤差之間權(quán)衡Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall4-6參數(shù)估計(jì)nEstimation 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對總體參數(shù)的估計(jì).n點(diǎn)估計(jì) 用一個(gè)數(shù)字估計(jì)總體參數(shù)n區(qū)間估計(jì) 給出總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間，并給出其置信度n常用點(diǎn)估計(jì)n樣本均值n樣本方差1212nxxsniinxxnii1Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall4-7抽樣分布n常用統(tǒng)計(jì)量n樣本均值 n樣本方差1212nxx

4、sniinxxnii1Copyright 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Prentice Hall4-8統(tǒng)計(jì)量的優(yōu)良準(zhǔn)則n無偏估計(jì)：統(tǒng)計(jì)量的數(shù)學(xué)期望=總體估計(jì)值（參數(shù)真實(shí)值）n有效性：無偏估計(jì)量中，方差越小越有效n相合性：樣本容量越大，估計(jì)值越接近待估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值一、兩種主要的估計(jì)方法一、兩種主要的估計(jì)方法p點(diǎn)估計(jì)是指根據(jù)抽取到的具體樣本數(shù)據(jù)，點(diǎn)估計(jì)是指根據(jù)抽取到的具體樣本數(shù)據(jù)，代入估計(jì)量得到的一個(gè)估計(jì)值。代入估計(jì)量得到的一個(gè)估計(jì)值。p區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上估計(jì)出總體區(qū)間估計(jì)是在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上估計(jì)出總體參數(shù)一個(gè)可能的范圍，同時(shí)還給出

5、總體參參數(shù)一個(gè)可能的范圍，同時(shí)還給出總體參數(shù)以多大的概率落在這個(gè)范圍之內(nèi)。數(shù)以多大的概率落在這個(gè)范圍之內(nèi)。二、為什么要區(qū)間估計(jì)呢？在警察逮捕人數(shù)的例子中，你計(jì)算得出均值為15.6人，你的上司可能會問，這一均值的確是15.6嗎？你的回答將是不知道。但是，你的計(jì)算告訴你，這一均值的最優(yōu)估計(jì)值是15.6。你的上司可能又會問了，15.6這一估計(jì)值到底有多好？ 也就是說，這一均值估計(jì)量包含多大的誤差？回答上述問題的一個(gè)辦法是抽取很多的樣本，計(jì)算回答上述問題的一個(gè)辦法是抽取很多的樣本，計(jì)算每一個(gè)樣本的均值，然后向上司展示均值估計(jì)量每一個(gè)樣本的均值，然后向上司展示均值估計(jì)量的變化范圍。不過，這種辦法顯得有些

6、笨。的變化范圍。不過，這種辦法顯得有些笨。如果你想把這一問題處理得更加高明些，你就應(yīng)該如果你想把這一問題處理得更加高明些，你就應(yīng)該計(jì)算所有樣本均值的平均誤差。均值的標(biāo)準(zhǔn)差有計(jì)算所有樣本均值的平均誤差。均值的標(biāo)準(zhǔn)差有一個(gè)專門的名稱：均值標(biāo)準(zhǔn)誤差。一個(gè)專門的名稱：均值標(biāo)準(zhǔn)誤差。關(guān)于區(qū)間估計(jì)設(shè) 為總體x 的未知參數(shù)， 為來自總體的容量為n的簡單隨機(jī)樣本，對于預(yù)先給定的一個(gè)充分小的正數(shù) ，我們構(gòu)造兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：使得使得則稱區(qū)間則稱區(qū)間 為總體參數(shù)為總體參數(shù) 的區(qū)間估的區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間。計(jì)或置信區(qū)間。 稱為置信區(qū)間的置稱為置信區(qū)間的置信度，也稱置信概率、置信系數(shù)或置信水平，信度，也稱置信概率、置信系數(shù)或

7、置信水平， 稱為置信下限，稱為置信下限， 稱為置信上限。稱為置信上限。三、置信區(qū)間的含義三、置信區(qū)間的含義若獨(dú)立地反復(fù)多次抽取容量相同的簡單隨機(jī)樣本，每一個(gè)樣若獨(dú)立地反復(fù)多次抽取容量相同的簡單隨機(jī)樣本，每一個(gè)樣本都確定一個(gè)隨機(jī)區(qū)間本都確定一個(gè)隨機(jī)區(qū)間 ，在這些區(qū)間中，包含，在這些區(qū)間中，包含總體參數(shù)總體參數(shù) 真值的約占真值的約占 ，或者說有，或者說有 的隨機(jī)區(qū)間的隨機(jī)區(qū)間 會包含總體參數(shù)會包含總體參數(shù) 的真值。的真值。例如，若例如，若 ，獨(dú)立地反復(fù)抽取容量相同的簡單隨機(jī)，獨(dú)立地反復(fù)抽取容量相同的簡單隨機(jī)樣本樣本10001000次，在得到的次，在得到的10001000個(gè)隨機(jī)區(qū)間中，不包含總體參個(gè)

8、隨機(jī)區(qū)間中，不包含總體參數(shù)數(shù) 真值的大約有真值的大約有5050個(gè)。個(gè)。四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（一）總體均值的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì)（一）總體均值的置信區(qū)間和參數(shù)估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)根據(jù)已知條件不同，有不總體均值的區(qū)間估計(jì)根據(jù)已知條件不同，有不同的計(jì)算方法。同的計(jì)算方法。1.1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值均值的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 1.1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值，均值的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) （1）重復(fù)抽樣的條件下設(shè) ， 已知， 為來自總體的容量

9、為n的簡單隨機(jī)樣本，則 的抽樣分布為n在重復(fù)抽樣的方式下，總體均值在重復(fù)抽樣的方式下，總體均值的置的置信度為信度為1-1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為其中，其中， 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布水平的雙側(cè)分位數(shù)。水平的雙側(cè)分位數(shù)。例一：例一： 假設(shè)參加某種壽險(xiǎn)投保人的年齡服從正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)差為=7.77歲。從中抽取36人組成一個(gè)簡單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），其平均年齡為39.5歲，試建立投保人平均年齡的90 %的置信區(qū)間。解解 假設(shè)用隨機(jī)變量假設(shè)用隨機(jī)變量X X表示某種壽險(xiǎn)投保人的表示某種壽險(xiǎn)投保人的年齡，則由已知條件有年齡，則由已知條件有 ， ，n=36n=36。與置信度。與置信度90%90%相對應(yīng)的

10、相對應(yīng)的=0.10=0.10，查表，得到查表，得到 由公式，由公式，得，總體均值得，總體均值的置信度為的置信度為90%90%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 于是可以說，我們有于是可以說，我們有90%90%的把握確信，壽險(xiǎn)投保的把握確信，壽險(xiǎn)投保人總體的平均年齡介于人總體的平均年齡介于37.3737.37到到 41.6341.63歲之間。歲之間。1.1.從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知從正態(tài)總體中抽取樣本，且總體方差已知，均值，均值的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) （2）在不重復(fù)抽樣的條件下，置信區(qū)間為21NnXZNn例例2 2 一家食品公司，每天大約生產(chǎn)袋裝食品一家食品公司，每天大約生產(chǎn)袋裝食品若干，總體方

11、差為若干，總體方差為100100。為對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢。為對產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行檢測，該企業(yè)質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù)，每天抽測，該企業(yè)質(zhì)檢部門采用抽樣技術(shù)，每天抽取一定數(shù)量的食品，以分析每袋重量是否符取一定數(shù)量的食品，以分析每袋重量是否符合質(zhì)量要求?，F(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品合質(zhì)量要求?，F(xiàn)從某一天生產(chǎn)的一批食品80008000袋中隨機(jī)抽取了袋中隨機(jī)抽取了2525袋（不重復(fù)抽樣），袋（不重復(fù)抽樣），測得它們的重量如下表所示：測得它們的重量如下表所示：已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體方差為已知產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布，且總體方差為100100。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信

12、水平為置信水平為9595。解解 已知已知=10=10；n=25;1-n=25;1-=95%; =1.96=95%; =1.96根據(jù)樣本資料，計(jì)算的樣本均值為：根據(jù)樣本資料，計(jì)算的樣本均值為：根據(jù)公式得根據(jù)公式得 =105.36=105.361.961.96 2Z2634105.3625xXn21NnXZNn100258000258000 1即105.363.914115=(101.4459, 109.2741)，該批產(chǎn)品平均重量在95置信水平下的置信區(qū)間為：101.4459109.2741。2. . 正態(tài)總體，大樣本，若總體方正態(tài)總體，大樣本，若總體方差差 未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差未知，可用樣本標(biāo)

13、準(zhǔn)差S S代代替。替。能夠把公式寫出來嗎？能夠把公式寫出來嗎？重復(fù)抽樣：？重復(fù)抽樣：？不重復(fù)抽樣：不重復(fù)抽樣： ？2例三：例三： 假設(shè)參加某種壽險(xiǎn)投保人的年齡服從正態(tài)分布。從中抽取36人組成一個(gè)簡單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣，年齡數(shù)據(jù)見下頁表），試建立投保人平均年齡的90 %的置信區(qū)間。解：已知解：已知n=36n=36， 1-=90%=90%； 1.6451.645，由于總體方差未知，但為大樣本，故可由于總體方差未知，但為大樣本，故可用樣本方差代替。用樣本方差代替。 根據(jù)樣本資料計(jì)算的樣本均值和樣根據(jù)樣本資料計(jì)算的樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差為：本標(biāo)準(zhǔn)差為：2Z142239.536xXn2()7.771xxs

14、n則置信區(qū)間為：則置信區(qū)間為：即即39.539.52.13=(37.372.13=(37.37，41.63)41.63)，投保人平，投保人平均年齡在均年齡在9090的置信水平下的置信區(qū)間的置信水平下的置信區(qū)間為為37.3737.37歲歲41.6341.63歲。歲。27.7739.5 1.64536sXZn3.3.正態(tài)總體、小樣本情況下，總體方差未知，正態(tài)總體、小樣本情況下，總體方差未知，總體均值的估計(jì)總體均值的估計(jì) （重復(fù)抽樣條件下）（重復(fù)抽樣條件下） （不重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽樣條件下）21sN nX tNn 如果總體服從正態(tài)分布如果總體服從正態(tài)分布, , 只要總體方差已知，只要總體方差

15、已知，即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信即使在小樣本情況下，也可以計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差代替，在區(qū)間。如果總體方差未知，需用樣本方差代替，在小樣本情況下，小樣本情況下，應(yīng)用應(yīng)用t t分布分布來建立總體均值的置信區(qū)來建立總體均值的置信區(qū)間。間。 t t分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，通常要分布是類似正態(tài)分布的一種對稱分布，通常要比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，比正態(tài)分布平坦和分散。隨著自由度的增大，t t分布分布逐漸趨于正態(tài)分布。逐漸趨于正態(tài)分布。4 4.非正態(tài)總體且大樣本時(shí)，均值非正態(tài)總體且大樣本時(shí)，均值的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì) 首先，當(dāng)總體為非

16、正態(tài)分布時(shí)，只要樣本容量充分首先，當(dāng)總體為非正態(tài)分布時(shí)，只要樣本容量充分大（一般習(xí)慣上要求大（一般習(xí)慣上要求n=30n=30），）， 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。當(dāng)當(dāng) 已知時(shí)，仍可用上述公式，根據(jù)重復(fù)抽樣與否，已知時(shí)，仍可用上述公式，根據(jù)重復(fù)抽樣與否，近似求出總體均值近似求出總體均值的置信區(qū)間；的置信區(qū)間；其次，當(dāng)其次，當(dāng)未知時(shí)，只要將上述公式中的總體未知時(shí)，只要將上述公式中的總體標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差用樣本標(biāo)準(zhǔn)差用樣本標(biāo)準(zhǔn)差S S代替，就可近似得到代替，就可近似得到總體均值總體均值的置信區(qū)間：的置信區(qū)間： （重復(fù)抽樣條件下）（重復(fù)抽樣條件下） （不重復(fù)抽樣條件下）（不重復(fù)抽

17、樣條件下）21sN nX tNn例例 為了解居民用于服裝消費(fèi)的支出情況（非為了解居民用于服裝消費(fèi)的支出情況（非正態(tài)分布），隨機(jī)抽取正態(tài)分布），隨機(jī)抽取9090戶居民組成一個(gè)簡單戶居民組成一個(gè)簡單隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），計(jì)算得樣本均值為隨機(jī)樣本（重復(fù)抽樣），計(jì)算得樣本均值為810810元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為8585元，試建立該地區(qū)每元，試建立該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)支出的戶居民平均用于服裝消費(fèi)支出的95%95%的置信區(qū)的置信區(qū)間。間。 解解 假設(shè)用隨機(jī)變量假設(shè)用隨機(jī)變量X X表示居民的服裝消費(fèi)支出表示居民的服裝消費(fèi)支出，本題雖然總體分布未知，但由于，本題雖然總體分布未知，但由于n=

18、90n=90，是大，是大樣本且樣本且未知，所以可利用公式近似得到總體未知，所以可利用公式近似得到總體均值均值的置信區(qū)間。根據(jù)題意，的置信區(qū)間。根據(jù)題意， 元，元， 元，元，n=90n=90，與置信度，與置信度95%95%相對應(yīng)的相對應(yīng)的=0.05=0.05，查，查表得到：表得到： 將這些數(shù)據(jù)代入公式，便可得到總將這些數(shù)據(jù)代入公式，便可得到總體均值體均值的置信度為的置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為于是，我們有于是，我們有95%95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)每戶居的把握認(rèn)為，該地區(qū)每戶居民平均用于服裝消費(fèi)的支出大約介于民平均用于服裝消費(fèi)的支出大約介于792.44792.44元元到到827.5

19、6827.56元之間。元之間。21NnXZNn21NnXZNn21NnXZNn總體總體分布分布樣本容量已知重復(fù)抽樣已知不重復(fù)抽樣正態(tài)分布小樣本(=30)非正態(tài)分布小樣本(=30) 總體均值總體均值的區(qū)間估計(jì)（置信度為的區(qū)間估計(jì)（置信度為1-1-） 簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣 21sN nX tNn21sNnXtNn21sN nX tNn 總體均值總體均值的區(qū)間估計(jì)（置信度為的區(qū)間估計(jì)（置信度為1-1-） 簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣 總體總體分布分布樣本容量未知重復(fù)抽樣未知不重復(fù)抽樣正態(tài)分布小樣本(=30)非正態(tài)分布小樣本(=30)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的

20、參數(shù)估計(jì)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間1 1兩正態(tài)總體方差已知時(shí)，且大樣本，兩正態(tài)總體方差已知時(shí)，且大樣本， 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)因此，兩個(gè)總體均值差因此，兩個(gè)總體均值差 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為： 如果兩個(gè)總體方差如果兩個(gè)總體方差 ， 未知，則可利未知，則可利用用 ， 代替兩個(gè)總體方差即可。代替兩個(gè)總體方差即可。下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣

21、的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間2 2兩正態(tài)總體方差未知但相等時(shí)，兩正態(tài)總體方差未知但相等時(shí)， 的的區(qū)間估計(jì)（小樣本）區(qū)間估計(jì)（小樣本） 當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差未知但相等，即當(dāng)兩個(gè)正態(tài)總體方差未知但相等，即 ，且，且 未知時(shí)，這時(shí)兩個(gè)樣本均值之差（未知時(shí)，這時(shí)兩個(gè)樣本均值之差（ ）的抽樣分布為）的抽樣分布為n所以n因?yàn)?未知，則用共同方差 的合并估計(jì)量n兩個(gè)總體均值差兩個(gè)總體均值差 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為n其中，其中， 是是水平的自由度為水平的自由度為 的的t t分布雙側(cè)分位數(shù)。分布雙側(cè)分位數(shù)。例題：n某公司為了解男女推銷

22、員的推銷能力是否有差別，隨機(jī)抽取16名男推銷員和25名女推銷員進(jìn)行測試。男推銷員的平均銷售額為30250元，標(biāo)準(zhǔn)差為18400元，女推銷員的平均銷售額為33750元，標(biāo)準(zhǔn)差為13500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差相等。試建立男女推銷員銷售額之差的95%的置信區(qū)間。 n 解解 假設(shè)用隨機(jī)變量 ， 分別表示男女推銷員的銷售額，則由已知條件有 元， 元， 元， 元， ， 。又因兩總體方差相等，可以估計(jì)出它們的共同方差： n與置信度與置信度95%95%相對應(yīng)的相對應(yīng)的=0.05=0.05，查，查t t 分分布表，得到布表，得到 ，由公，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為式得男女推

23、銷員銷售額之差的置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為n于是，我們有于是，我們有95%95%的把握認(rèn)為：男推銷的把握認(rèn)為：男推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多員的銷售額既有可能比女推銷員多65686568元，也有可能比女推銷員少元，也有可能比女推銷員少1356813568元，所元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。 四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間3 3兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí)兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí), , 的的區(qū)間估計(jì)（小樣本）區(qū)間估計(jì)（

24、小樣本） n 當(dāng)兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí)，即當(dāng)兩正態(tài)總體方差未知但不等時(shí)，即 ， 未知，且兩者不相等時(shí)，統(tǒng)計(jì)量未知，且兩者不相等時(shí)，統(tǒng)計(jì)量近似服從于自由度為近似服從于自由度為v v的的t t分布，其中分布，其中v v的計(jì)算公式如下的計(jì)算公式如下 n于是，兩個(gè)總體均值差 的置信度為1-的置信區(qū)間為例題：n某公司為了解男女推銷員的推銷能力是某公司為了解男女推銷員的推銷能力是否有差別，隨機(jī)抽取否有差別，隨機(jī)抽取1616名男推銷員和名男推銷員和2525名女推銷員進(jìn)行測試。男推銷員的平均名女推銷員進(jìn)行測試。男推銷員的平均銷售額為銷售額為3025030250元，標(biāo)準(zhǔn)差為元，標(biāo)準(zhǔn)差為1840018400元

25、，元，女推銷員的平均銷售額為女推銷員的平均銷售額為3375033750元，標(biāo)準(zhǔn)元，標(biāo)準(zhǔn)差為差為1350013500元。假設(shè)男女推銷員的銷售額元。假設(shè)男女推銷員的銷售額服從正態(tài)分布，且方差不相等。試建立服從正態(tài)分布，且方差不相等。試建立男女推銷員銷售額之差的男女推銷員銷售額之差的95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間。 解解 首先根據(jù)公式計(jì)算自由度首先根據(jù)公式計(jì)算自由度v v， n查查t t分布表，得到分布表，得到 ，由公，由公式得男女推銷員銷售額之差的置信度為式得男女推銷員銷售額之差的置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為n于是，我們有于是，我們有95%95%的把握認(rèn)為：男推銷員的把握認(rèn)為：男

26、推銷員的銷售額既有可能比女推銷員多的銷售額既有可能比女推銷員多74347434元元，也有可能比女推銷員少，也有可能比女推銷員少1443414434元，所以元，所以男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。男女推銷員的推銷能力沒有顯著差別。 四四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間（二）兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)間4 4兩非正態(tài)總體且大樣本時(shí)，兩非正態(tài)總體且大樣本時(shí)， 的區(qū)間的區(qū)間估計(jì)估計(jì) 如果兩個(gè)總體方差如果兩個(gè)總體方差 ， 已知，則可利用公已知，則可利用公式下述公式近似求出兩個(gè)總體均值差式下述公式近似求出兩個(gè)總體均值差 的置信度為的置

27、信度為1-1-的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 如果兩個(gè)總體方差如果兩個(gè)總體方差 ， 未知，則可利用未知，則可利用 ， 代替兩個(gè)總體方差即可。代替兩個(gè)總體方差即可。下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差下述公式可近似求出兩個(gè)總體均值差 的置信度為的置信度為1-1-的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（三）一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)（三）一個(gè)總體比例的區(qū)間估計(jì)在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到總體比例在許多實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會遇到總體比例的估計(jì)問題。例如：企業(yè)的管理人員想的估計(jì)問題。例如：企業(yè)的管理人員想了解一批產(chǎn)品中次品的比例；職工收入了解一批產(chǎn)品中次品的比例

28、；職工收入中工資外收入所占的比例；某高校學(xué)生中工資外收入所占的比例；某高校學(xué)生參加英語四級考試的通過率；某地區(qū)綠參加英語四級考試的通過率；某地區(qū)綠化荒山新栽樹木的成活率等?；纳叫略詷淠镜某苫盥实取?n在總體中具有某種特征的單位數(shù)占總體全部單在總體中具有某種特征的單位數(shù)占總體全部單位的比例稱為總體比例，記為位的比例稱為總體比例，記為p p；在樣本中具；在樣本中具有某種特征的單位數(shù)占樣本全部單位的比例稱有某種特征的單位數(shù)占樣本全部單位的比例稱為樣本比例，記為為樣本比例，記為 。在大樣本條件下，樣。在大樣本條件下，樣本比例本比例 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其的抽樣分布近似服從正態(tài)分布，其數(shù)學(xué)期望

29、為數(shù)學(xué)期望為 方差為方差為 即即1.1.在大樣本情況下，且總體比例已知，重在大樣本情況下，且總體比例已知，重復(fù)抽樣。則總體比例復(fù)抽樣。則總體比例P P的置信度為的置信度為1-1-的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為 需要說明：在實(shí)際應(yīng)用中，除了要求需要說明：在實(shí)際應(yīng)用中，除了要求N=30N=30以外，還要求以外，還要求 和和 ，且，且 ，這時(shí)近似效果較，這時(shí)近似效果較好。好。2.2.在大樣本情況下，且總體比例未知，重在大樣本情況下，且總體比例未知，重復(fù)抽樣。則總體比例復(fù)抽樣。則總體比例P P的置信度為的置信度為1-1-的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為例題：在對某地區(qū)在對某地區(qū)10001000名下崗工人的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)

30、，女工名下崗工人的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，女工所占的比例為所占的比例為65%65%。試建立在下崗工人中，女。試建立在下崗工人中，女工所占比例的工所占比例的95%95%的置信區(qū)間。能否作出下崗的置信區(qū)間。能否作出下崗工人中女性所占比例超過男性的結(jié)論？工人中女性所占比例超過男性的結(jié)論？n 解解 假設(shè)用假設(shè)用p p表示下崗工人中女工所占的表示下崗工人中女工所占的比例，則由已知條件可知，樣本比例比例，則由已知條件可知，樣本比例 。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)?，n ，n ，所以，所以 的的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。抽樣分布近似服從正態(tài)分布。 n對于對于=0.05=0.05，查表得，查表得 。應(yīng)用公式得到在下崗工人中，女工所占比例應(yīng)

31、用公式得到在下崗工人中，女工所占比例的置信度為的置信度為95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為n 于是，我們有于是，我們有95%95%的把握認(rèn)為，下崗工人的把握認(rèn)為，下崗工人中女工所占比例大約在中女工所占比例大約在0.620.62到到0.680.68之間，之間，超過了超過了0.50.5，所以可以得出女性所占比例超，所以可以得出女性所占比例超過男性的結(jié)論。過男性的結(jié)論。3. 如果總體為有限總體，采用不重復(fù)抽樣，且如果總體為有限總體，采用不重復(fù)抽樣，且抽樣比抽樣比 時(shí)，時(shí)， 的抽樣分布的方差要用的抽樣分布的方差要用修正系數(shù)修正系數(shù) 加以修正，這時(shí)總體比例加以修正，這時(shí)總體比例p(未知時(shí)未知時(shí))的置信

32、度為的置信度為1-的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 例例 某地區(qū)有某地區(qū)有2020所高等院校，有副教授以上職稱的教師所高等院校，有副教授以上職稱的教師78007800名。高校的管理部門想了解具有高級職稱的教師名。高校的管理部門想了解具有高級職稱的教師中有基礎(chǔ)研究課題的教師占多大的比例，于是抽取中有基礎(chǔ)研究課題的教師占多大的比例，于是抽取400400人組成一個(gè)隨機(jī)樣本（不重復(fù)抽樣）。經(jīng)調(diào)查，其中人組成一個(gè)隨機(jī)樣本（不重復(fù)抽樣）。經(jīng)調(diào)查，其中8080人有基礎(chǔ)研究課題。試建立在具有副教授以上職稱人有基礎(chǔ)研究課題。試建立在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師

33、所占比例的95%95%的置的置信區(qū)間。信區(qū)間。 n解解 假設(shè)用假設(shè)用p p表示在具有副教授以上職稱的表示在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占的比教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占的比例，則由已知條件可知例，則由已知條件可知N=7800,n=400,N=7800,n=400,n樣本比例樣本比例 =80/400=0.2 =80/400=0.2 ，=0.05,=0.05,n 。n因?yàn)橐驗(yàn)閚 n，所以抽樣分布近似服從正態(tài)分布。，所以抽樣分布近似服從正態(tài)分布。 所以所以 的抽樣分布近似服從正態(tài)分布。又因?yàn)榈某闃臃植冀品恼龖B(tài)分布。又因?yàn)槌闃颖却笥诔闃颖却笥?%5%，所以要對，所以要對

34、的抽樣分布的方的抽樣分布的方差加以修正。應(yīng)用公式得到在具有副教授以差加以修正。應(yīng)用公式得到在具有副教授以上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所上職稱的教師中，有基礎(chǔ)研究課題的教師所占比例的占比例的95%95%的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 n于是我們有于是我們有95%95%的把握認(rèn)為，該地區(qū)的把握認(rèn)為，該地區(qū)2020所高所高校具有副教授以上職稱的教師中，有（校具有副教授以上職稱的教師中，有（ ） 到（到（ ）的教師有基礎(chǔ)研究課題。）的教師有基礎(chǔ)研究課題。四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)四、簡單隨機(jī)抽樣和等距抽樣的參數(shù)估計(jì)（四）一個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)（四）一個(gè)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì) 為來自總體

35、的容量為為來自總體的容量為n n的簡的簡單隨機(jī)樣本，單隨機(jī)樣本，未知，未知，s s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。 總體標(biāo)準(zhǔn)差總體標(biāo)準(zhǔn)差的置信度為的置信度為1-1-的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為n因此，總體方差因此，總體方差 的置信度為的置信度為1-1-的的置信區(qū)間為置信區(qū)間為n例例 假設(shè)公司預(yù)計(jì)的每股收益率服從正假設(shè)公司預(yù)計(jì)的每股收益率服從正態(tài)分布，現(xiàn)有態(tài)分布，現(xiàn)有8 8個(gè)公司組成一個(gè)簡單隨機(jī)樣個(gè)公司組成一個(gè)簡單隨機(jī)樣本，樣本方差為本，樣本方差為2.6192.619，試建立總體方差、，試建立總體方差、總體標(biāo)準(zhǔn)差的總體標(biāo)準(zhǔn)差的95 %95 %的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。樣本容量的確定 我們應(yīng)該一直有這樣的疑

36、問：我們學(xué)習(xí)了我們應(yīng)該一直有這樣的疑問：我們學(xué)習(xí)了問卷的設(shè)計(jì)、調(diào)查方法的選擇、數(shù)據(jù)的描述問卷的設(shè)計(jì)、調(diào)查方法的選擇、數(shù)據(jù)的描述、數(shù)據(jù)的整理以及參數(shù)估計(jì)的有關(guān)問題。但、數(shù)據(jù)的整理以及參數(shù)估計(jì)的有關(guān)問題。但是，如何進(jìn)行調(diào)查呢？或者說選擇多少樣本是，如何進(jìn)行調(diào)查呢？或者說選擇多少樣本呢？或者說需要選擇多少個(gè)被調(diào)查者呢？呢？或者說需要選擇多少個(gè)被調(diào)查者呢？n一、影響樣本容量的因素一、影響樣本容量的因素n（一）置信度，也即總體參數(shù)真值落在置信區(qū)（一）置信度，也即總體參數(shù)真值落在置信區(qū)間內(nèi)的可靠程度。要求較高的置信度，就需要間內(nèi)的可靠程度。要求較高的置信度，就需要較大的樣本容量，置信度越高，樣本容量就越較

37、大的樣本容量，置信度越高，樣本容量就越大。大。n一、影響樣本容量的因素一、影響樣本容量的因素n（二）估計(jì)的精度，也即置信區(qū)間的寬度。要（二）估計(jì)的精度，也即置信區(qū)間的寬度。要求較高的置信度，就會擴(kuò)大置信區(qū)間的寬度，求較高的置信度，就會擴(kuò)大置信區(qū)間的寬度，也就是說降低了估計(jì)的精度。因此，要想既提也就是說降低了估計(jì)的精度。因此，要想既提高估計(jì)的精度，又不降低估計(jì)的可靠性程度，高估計(jì)的精度，又不降低估計(jì)的可靠性程度，必須增加樣本容量。必須增加樣本容量。n一、影響樣本容量的因素一、影響樣本容量的因素n（三）建立置信區(qū)間的費(fèi)用。雖然增加樣本容（三）建立置信區(qū)間的費(fèi)用。雖然增加樣本容量可以提高置信區(qū)間的可

38、靠性程度和估計(jì)的精量可以提高置信區(qū)間的可靠性程度和估計(jì)的精度，但也不是樣本容量愈大愈好。因?yàn)樵黾訕佣龋膊皇菢颖救萘坑笥?。因?yàn)樵黾訕颖救萘浚蜁娱L調(diào)查時(shí)間，增大工作量和成本容量，就會延長調(diào)查時(shí)間，增大工作量和成本費(fèi)用，同時(shí)還可能增大調(diào)查誤差。本費(fèi)用，同時(shí)還可能增大調(diào)查誤差。二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定 對于正態(tài)總體，在對于正態(tài)總體，在重復(fù)抽樣或抽樣比重復(fù)抽樣或抽樣比n/N5%n/N5%時(shí)，總體均值時(shí)，總體均值的置信度為的置信度為1-1-的置信的置信區(qū)間為區(qū)間為二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定二、估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定記記 ，稱為允許誤差，它表示總體均，稱為允許誤差，它表示總體均值值與樣本均值與樣本均值 的絕對誤差不超過的絕對誤差不超過。于是。于是，可以推出樣本容量的計(jì)算公式為，可以推出樣本容量的計(jì)算公式為n1 1樣本容量樣本容量n n與置信度所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的雙側(cè)與置