脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器

1、 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器 姓 名 學(xué) 號(hào) 專 業(yè) 第一章 摘要濾波器是自動(dòng)控制、信號(hào)處理和通信領(lǐng)域的重要組成部分,廣泛地應(yīng)用于各種系統(tǒng)中。MATLAB語(yǔ)言是一種簡(jiǎn)單、高效的高級(jí)語(yǔ)言,是一種內(nèi)容豐富、功能強(qiáng)大的分析工具,其應(yīng)用范圍幾乎覆蓋了所有的科學(xué)和工程計(jì)算領(lǐng)域。MATLAB中提供了豐富的用于模擬濾波器設(shè)計(jì)的函數(shù),通過(guò)編程可以很容易實(shí)現(xiàn)低通、高通、帶通、帶阻濾波器,并能畫(huà)出濾波器的幅頻特性曲線，大大簡(jiǎn)化了模擬濾波器設(shè)計(jì)。本文將通過(guò)利用MATLAB濾波器設(shè)計(jì)函數(shù)直接實(shí)現(xiàn)巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)，找到應(yīng)用MATLAB來(lái)設(shè)計(jì)低通濾波器的方法。介紹了用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器

2、的基本理論和設(shè)計(jì)思想，給出了基于MATLAB設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器的具體步驟，文中還給出了利用MATLAB產(chǎn)生的濾波器的幅頻及相頻特性曲線。詳細(xì)介紹了在基于MATLAB設(shè)計(jì)低通濾波器過(guò)程中常用到的工具和命令。關(guān)鍵字：巴特沃斯 低通濾波器 脈沖響應(yīng)不變法第二章 引言濾波器設(shè)計(jì)在電子工程、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域都是非常重要的內(nèi)，。而低通濾波器在信號(hào)處理中的作用等同于其它領(lǐng)域如金融領(lǐng)域中移動(dòng)平均數(shù)（moving average)所起的作用，低通濾波器有很多種，其中，最通用的就是巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器。巴特沃斯濾波器的特點(diǎn)是通頻帶內(nèi)的頻率響應(yīng)曲線最大限度平坦，沒(méi)有起伏，而在阻頻帶則逐漸下降為

3、零。 在振幅的對(duì)數(shù)對(duì)角頻率的波得圖上，從某一邊界角頻率開(kāi)始，振幅隨著角頻率的增加而逐步減少，趨向負(fù)無(wú)窮大。巴特沃斯濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，并且也是唯一的無(wú)論階數(shù)，振幅對(duì)角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器。只不過(guò)濾波器階數(shù)越高，在阻頻帶振幅衰減速度越快。其他濾波器高階的振幅對(duì)角頻率圖和地結(jié)束的振幅對(duì)角頻率有不同的形狀。第三章 基本原理3.1 濾波器的基本理論3.1.1 濾波器的分類濾波器分兩大類：經(jīng)典濾波器和現(xiàn)代濾波器。經(jīng)典濾波器是假定輸入信號(hào)中的有用成分和希望取出的成分各自占有不同的頻帶。這樣，當(dāng)通過(guò)一個(gè)線性系統(tǒng)（即濾波器）后可將欲去除的成分有效的去除?，F(xiàn)代濾波器理論研究的主要內(nèi)容是從含

4、有噪聲的數(shù)據(jù)記錄（又稱時(shí)間序列）中估計(jì)出信號(hào)的某些特征或信號(hào)本身。經(jīng)典濾波器分為低通、高通、帶通、帶阻濾波器。每一種又有模擬濾波器（AF）和數(shù)字濾波器（DF）。對(duì)數(shù)字濾波器，又有IIR濾波器和FIR濾波器。IIR DF 的轉(zhuǎn)移函數(shù)是：FIR DF的轉(zhuǎn)移函數(shù)是：FIR濾波器可以對(duì)給定的頻率特性直接進(jìn)行設(shè)計(jì)，而IIR濾波器目前最通用的方法是利用已經(jīng)很成熟的模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行設(shè)計(jì)。3.1.2 濾波器的技術(shù)要求低通濾波器：通帶截止頻率 ：阻帶下限截止頻率：通帶允許的最大衰減 ：阻帶允許的最小衰減（，的單位dB）：通帶上限角頻率：阻帶下限角頻率（，）即 3.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)3.2.1 巴特沃思

5、(Butterworth)濾波器的介紹：因?yàn)槲覀冊(cè)O(shè)計(jì)的濾波器的沖擊響應(yīng)一般都為實(shí)數(shù)，所以有這樣，如果我們能由，求出，那么就容易得到所需要的。不同類型的的表達(dá)式，代表了幾種不同類型的濾波器。巴特沃思(Butterworth)濾波器為：C為待定常數(shù)，N為待定的濾波器階次。3.2.2 巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)由于每一個(gè)濾波器的頻率范圍將直接取決于設(shè)計(jì)者的應(yīng)用目的，因此必然是千差萬(wàn)別。為了使設(shè)計(jì)規(guī)范化，我們需要將濾波器的頻率參數(shù)作歸一化處理。設(shè)所給的實(shí)際頻率為（或），歸一化后的頻率為，對(duì)低通模擬濾波器，令顯然，。又令歸一化復(fù)數(shù)變量為，顯然所以巴特沃思模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)可按以下三個(gè)步驟來(lái)進(jìn)行。(1

6、)將實(shí)際頻率歸一化(2)求C和NC,N可按下式求解：若令3dB，則C1，這樣巴特沃思濾波器的設(shè)計(jì)就只剩一個(gè)參數(shù)N，這時(shí)(3)確定因?yàn)椋鶕?jù)上面公式有由解得，1，2，···，2N這樣可得求得后，用代替變量，即得實(shí)際需要得。3.3 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換為模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器；再按一定的規(guī)則將轉(zhuǎn)換成。若是高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器則將它們的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟2）設(shè)計(jì)出低通，再將轉(zhuǎn)換為所需的。第四章 設(shè)計(jì)過(guò)程4.1 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器4.1.1 數(shù)字低通

7、濾波器設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)圖用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換原理如下圖：Ha（s） 拉氏逆變換 ha（t） 等間隔采樣 ha(nT)=h(n) Z變換 H（z）圖4.1結(jié)構(gòu)框圖4.1.2 設(shè)計(jì)步驟設(shè)計(jì)要求：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器，給定技術(shù)指標(biāo)為：，采樣頻率。 首先應(yīng)該得到角頻率，然后再按如下步驟求解:（1）將數(shù)字濾波器的技術(shù)要求轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)要求。（2）設(shè)計(jì)低通濾波器由依次求出，再求出N，可得然后由轉(zhuǎn)換成（3）由求4.2 濾波器的MATLAB實(shí)現(xiàn)4.1.1 在MATLAB下，設(shè)計(jì)巴特沃斯IIR濾波器可使用butter函數(shù)。Butter函數(shù)可設(shè)計(jì)低通、高通、帶通和帶阻的數(shù)字和模擬IIR濾波器，其特性為

8、使通帶內(nèi)的幅度響應(yīng)最大限度地平坦，但同時(shí)損失截止頻率處的下降斜度。在期望通帶平滑的情況下，可使用butter函數(shù)。butter函數(shù)的用法為：b,a=butter(n,Wn,/ftype/)其中n代表濾波器階數(shù)，Wn代表濾波器的截止頻率，這兩個(gè)參數(shù)可使用buttord函數(shù)來(lái)確定。buttord函數(shù)可在給定濾波器性能的情況下，求出巴特沃斯濾波器的最小階數(shù)n，同時(shí)給出對(duì)應(yīng)的截止頻率Wn。buttord函數(shù)的用法為：n,Wn= buttord(Wp,Ws,Rp,Rs)其中Wp和Ws分別是通帶和阻帶的拐角頻率（截止頻率），其取值范圍為0至1之間。當(dāng)其值為1時(shí)代表采樣頻率的一半。Rp和Rs分別是通帶和阻帶

9、區(qū)的波紋系數(shù)。不同類型（高通、低通、帶通和帶阻）濾波器對(duì)應(yīng)的Wp和Ws值遵循以下規(guī)則：a高通濾波器：Wp和Ws為一元矢量且Wp>Ws；b低通濾波器：Wp和Ws為一元矢量且Wp<Ws；c帶通濾波器：Wp和Ws為二元矢量且Wp<Ws，如Wp=0.2,0.7,Ws=0.1,0.8;d帶阻濾波器：Wp和Ws為二元矢量且Wp>Ws，如Wp=0.1,0.8,Ws=0.2,0.7。4.1.2 Matlab的信號(hào)處理工具箱提供了頻譜分析函數(shù): freqz函數(shù)。freqz函數(shù)功能：離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。格式：h,w=freqz(b,a,n) h,f=freqz(b,a,n,Fs) h=

10、freqz(b,a,w) h=freqz(b,a,f,Fs) freqz(b,a,n)說(shuō)明: freqz 用于計(jì)算數(shù)字濾波器H(Z)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ej)。h,w=freqz(b,a,n)可得到數(shù)字濾波器的n點(diǎn)復(fù)頻響應(yīng)值，這n個(gè)點(diǎn)均勻地分布在0,上,并將這n個(gè)頻點(diǎn)的頻率記錄在w中，相應(yīng)的頻響值記錄在h中。要求n為大于零的整數(shù),最好為2的整數(shù)次冪,以便采用FFT計(jì)算，提高速度。缺省時(shí)n =512。 h,f=freqz(b,a,n,Fs)用于對(duì)H(ej)在0,Fs/2上等間隔采樣n點(diǎn)，采樣點(diǎn)頻率及相應(yīng)頻響值分別記錄在f 和h中。由用戶指定FS（以HZ為單位）值。h=freqz(b,a,w)用于對(duì)

11、H(ej)在0,2上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量w指定。h=freqz(b,a,f,Fs) 用于對(duì)H(ej)在0,FS上采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量f指定。freqz(b,a,n) 用于在當(dāng)前圖形窗口中繪制幅頻和相頻特性曲線。4.1.3 采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器可使用impinvar函數(shù)。BZ,AZ = IMPINVAR(B,A,Fs)生成一個(gè)數(shù)字濾波器。BZ 和 AZ 分別為脈沖值 ，結(jié)果與模擬濾波器的值相當(dāng)。B 和 A 為采樣區(qū)間，采樣周期為1/Fs。當(dāng)Fs缺省時(shí)，默認(rèn)采樣頻率為1Hz。第五章 程序和仿真圖5.1 設(shè)計(jì)程序fp=100;fs=300;Rp=3;Rs=20;Fs

12、=1000;Wp=2*pi*fp;Ws=2*pi*fs;Nn=256;n=(0:100-1);%采樣點(diǎn)數(shù)N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,'s');b,a=butter(N,Wn,'s');w=linspace(1,400,100)*2*pi; H=freqs(b,a,w); % 在0,2上進(jìn)行采樣，采樣頻率點(diǎn)由矢量w指定figure(1);plot(w/(2*pi),20*log10(abs(H);title('巴特沃斯模擬濾波器幅頻特性');xlabel('頻率/Hz');ylabel('幅度/db&#

13、39;); bz,az=impinvar(b,a,Fs);figure(2);zplane(bz,az);title('脈沖響應(yīng)不變法零極點(diǎn)分布圖');figure(3);Subplot(2,1,1);freqz(bz,az,Nn,Fs); 對(duì)H(ej)在0,Fs/2上等間隔采樣Nn點(diǎn)grid on;title('巴特沃斯數(shù)字濾波器幅頻特性');xlabel('幅度/Hz');ylabel('頻率/db');Subplot(2,1,2);title('巴特沃斯數(shù)字濾波器相頻特性');xlabel('幅度/H

14、z');ylabel('頻率/db');grid on; figure(4);x=cos(2*pi*50*n/Fs)+cos(2*pi*500*n/Fs);plot(n,x); title('濾波前輸入信號(hào)圖像');xlabel('時(shí)間(s)');ylabel('幅值');grid on; figure(5);y=filter(bz,az,x);%對(duì)原信號(hào)進(jìn)行濾波¨plot(n/fs,y);title('濾波前輸入信號(hào)圖像');xlabel('時(shí)間(s)');ylabel('

15、;幅值');5.2 特性曲線仿真圖圖5.1巴特沃斯模擬濾波器幅頻特性曲線圖5.2脈沖響應(yīng)不變法的零極點(diǎn)圖圖5.3橢圓低通濾波器的仿真圖圖5.4濾波前輸入信號(hào)圖5.4濾波后輸出信號(hào)圖像第六章 結(jié)語(yǔ)低通濾波器的應(yīng)用十分廣泛，利用Matlab語(yǔ)言，可以很容易地設(shè)計(jì)出巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，與其他高級(jí)語(yǔ)言的程序設(shè)計(jì)相比,MA TLAB環(huán)境下更方便、快捷,節(jié)省大量的編程時(shí)間,提高編程效率,且參數(shù)的修改也十分方便. 還可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。巴特沃斯低通濾波器的振幅對(duì)角頻率單調(diào)下降，無(wú)論階數(shù)，振幅對(duì)角頻率曲線都保持同樣的形狀的濾波器可以用較少的階數(shù)獲得很高的選擇特性，在衰減特性要求不敏感的場(chǎng)合，適合用巴特沃斯型濾波器。心得體會(huì)通過(guò)一周的設(shè)計(jì)過(guò)程，讓我感觸最深的就是功能的強(qiáng)大性與掌握編程各種函數(shù)和語(yǔ)句的重要性。當(dāng)然首先要了解所要編程運(yùn)行的對(duì)象的原理。在設(shè)計(jì)的過(guò)程中，