《弧度制》(北師大版)

1、2021-12-1412021-12-1422021-12-1431.角的概念的推廣角的概念的推廣2.象限角象限角3.終邊相同的角終邊相同的角 使使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的重合，角的始邊與始邊與x x軸正半軸軸正半軸重重合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我合，那么角的終邊（除端點(diǎn)外）在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角。們就說這個角是第幾象限角。 所有所有與角與角 終邊相同的角，連同角終邊相同的角，連同角 在內(nèi)，可構(gòu)成在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合一個集合 0360 ,SkkZ 在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時是用度做單位來度在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時是用度做單位來度量角，量角，

2、1 1的角是如何定義的？的角是如何定義的？ 我們把圓周分成我們把圓周分成360等份，那么每一等份所對的等份，那么每一等份所對的圓心角的度數(shù)就是圓心角的度數(shù)就是1.這種用度做單位來度量角的單位制叫做這種用度做單位來度量角的單位制叫做角度制角度制. . 引引 入入角度制中，角度制中，1 16060，116060，)601( 1 ,)601( 10 在角度制下，當(dāng)把兩個帶著度、分、秒在角度制下，當(dāng)把兩個帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時，由于運(yùn)算進(jìn)率非各單位的角相加、相減時，由于運(yùn)算進(jìn)率非十進(jìn)制，總給我們帶來不少困難那么我們十進(jìn)制，總給我們帶來不少困難那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角

3、能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢？做呢？ 角度制角度制在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到一種在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到一種度量角的制度度量角的制度弧度制弧度制，它是如何定義呢？，它是如何定義呢？在同一個圓中，圓心角的大小與它所對的弧長一在同一個圓中，圓心角的大小與它所對的弧長一一對應(yīng)一對應(yīng).當(dāng)半徑不同時，同樣大的圓心角所對的弧當(dāng)半徑不同時，同樣大的圓心角所對的弧長不相等長不相等. 探討探討半徑rr1=1r2=2r3=3r4=4弧長L弧長與半徑的比值當(dāng)當(dāng)n=300時時可以公式可以公式L=180r

4、n663223666計算弧長計算弧長新 課 講 解 實驗結(jié)果表明：當(dāng)半徑不同時，同樣的圓心角所實驗結(jié)果表明：當(dāng)半徑不同時，同樣的圓心角所對的弧長與半徑的比是常數(shù)對的弧長與半徑的比是常數(shù).稱這個常數(shù)為該角的弧度數(shù)稱這個常數(shù)為該角的弧度數(shù).能否用弧長來定義角的大小呢能否用弧長來定義角的大小呢?Rla 新 課 講 解 弧度制定義弧度制定義 我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做我們把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度的角弧度的角思考:如果一個半徑為r的圓的圓心角所對的弧長是l,那么的弧度數(shù)是多少? 角角的弧度數(shù)的絕對值是的弧度數(shù)的絕對值是 , =lr的正負(fù)由角的正負(fù)由角的終邊旋轉(zhuǎn)方向決定的終邊旋

5、轉(zhuǎn)方向決定.r為半徑為半徑, l為角為角所對弧的長所對弧的長.新 課 講 解 新 課 講 解 用用“弧度弧度”與與“度度”去度量每一個角時，去度量每一個角時，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，除了零角以外，所得到的量數(shù)都是不同的，但它們既然是度量同一個角的結(jié)果，二者就但它們既然是度量同一個角的結(jié)果，二者就可以相互換算可以相互換算 角度制與弧度制的換算角度制與弧度制的換算 弧度與角度的換算弧度與角度的換算lr= 則則AOB= 2rad此角為周角此角為周角 即為即為360360= 2 rad180= radl=2 rOA(B)r若若l=2 r， 1=rad1800.01745 rad1 rad

6、=30.57=5718180360= 2 rad180= rad67 3067.5367 3067.51808radrad解解 67 30 角度制與弧度制互化時要抓住角度制與弧度制互化時要抓住 180= rad 這個關(guān)鍵。這個關(guān)鍵。518057512121804544解解 （1）（2）11 8 0ra d1801()rad角度弧度06012013527042652306453902334150180323600填定下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表填定下列特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)表注：注：1.用弧度為單位表示角的大小時，用弧度為單位表示角的大小時，“弧度弧度”二二字通常省略不寫，但用字通常省略

7、不寫，但用“度度”（ ）為單位不能）為單位不能省。省。2.用弧度為單位表示角時，通常寫成用弧度為單位表示角時，通常寫成“多少多少”的形式。的形式。問題問題在弧度制下在弧度制下,你能發(fā)現(xiàn)角的集合與實數(shù)你能發(fā)現(xiàn)角的集合與實數(shù)集集R之間有什么關(guān)系呢之間有什么關(guān)系呢?用弧度來度量角，實際上用弧度來度量角，實際上角的集合角的集合 與與實數(shù)集實數(shù)集R之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系：之間建立一一對應(yīng)的關(guān)系：實數(shù)集實數(shù)集R R角的集合角的集合正角正角零角零角負(fù)角負(fù)角正實數(shù)正實數(shù)零零負(fù)實數(shù)負(fù)實數(shù)對應(yīng)角的對應(yīng)角的弧度數(shù)弧度數(shù)xyoxyo,2zkk,22zkk用弧度表示用弧度表示終邊在軸線上的角的集合終邊在軸線上的角的集合

8、 xyoxyoZkk,2Zkk ,223Zkk,2Zkk ,22 請用弧度制代替角度制寫出各象限角的集合請用弧度制代替角度制寫出各象限角的集合（1 1）第一象限角構(gòu)成的集合）第一象限角構(gòu)成的集合（2 2）第二象限角構(gòu)成的集合）第二象限角構(gòu)成的集合（3 3）第三象限角構(gòu)成的集合）第三象限角構(gòu)成的集合（4 4）第四象限角構(gòu)成的集合）第四象限角構(gòu)成的集合Zkkkooo,36090360|Zkkkoooo,36018036090|Zkkkoooo,360270360180|Zkkkoooo,360360360270|寫出滿足下列條件的角的集合（用弧度制）：寫出滿足下列條件的角的集合（用弧度制）：1、

9、終邊與終邊與X軸正半軸重合軸正半軸重合；2、 終邊與終邊與X軸負(fù)半軸重合；軸負(fù)半軸重合；3、 終邊與終邊與X軸重合；軸重合；4、 終邊與終邊與Y軸正半軸重合軸正半軸重合；5、 終邊與終邊與Y軸負(fù)半軸重合軸負(fù)半軸重合；6、 終邊與終邊與Y軸重合軸重合；7、第一象限內(nèi)的角、第一象限內(nèi)的角；8、第二象限內(nèi)的角、第二象限內(nèi)的角；9、第三象限內(nèi)的角、第三象限內(nèi)的角；10、第四象限內(nèi)的角、第四象限內(nèi)的角； )(2| )(2| )(| )(22| )(232| )(2| )(222| )(222| )(2322| )(22232| 例3、把下列各角化成的形式：kk，202（1）；（2）；（3）3163157

10、11164433（1）：113277 （3）：8)4()84(48)4(（2）:424731504例例.象象限限試試判判斷斷下下列列各各角角所所在在的的5)1( 511)2( 32000)3( 1)4(4)5(8)6( 5)1( 250 .5是是第第一一象象限限角角 511)2( 52511 .511是是第第一一象象限限角角 32000)3( 3466832000 2334 又又.32000是是第第三三象象限限角角 )57.1241 .3(210 4例例.象象限限試試判判斷斷下下列列各各角角所所在在的的4)5(8)6( 1)4(.1是是第第一一象象限限的的角角 234 .4是是第第三三象象限限

11、的的角角.8.56.124,28. 62,14. 3:介于兩數(shù)之間而得由于分析)84(482384又.8是是第第三三象象限限的的角角 解題思路解題思路,的的角角所所在在象象限限判判斷斷一一個個用用弧弧度度制制表表示示一一般般是是將將其其化化成成)(2 然然的的形形式式 ,.所所在在象象限限予予以以判判斷斷后后再再根根據(jù)據(jù) 不不能能寫寫成成注注意意 :)()12( .的的形形式式例例,33310的的形形式式寫寫成成不不能能 342 寫成寫成而應(yīng)而應(yīng)2. 52. 5弧度的角所在的象限為弧度的角所在的象限為( )( )A.A.第一象限第一象限B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限D(zhuǎn).D.

12、第四象限第四象限1.1.將分針撥快將分針撥快1515分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是( )( )A.- A.- B. B. C.- C.- D. D. 3232CD 練習(xí)練習(xí)（1）；（2）；（3）3 3把下列各角化成的形式：把下列各角化成的形式：kk，2023163157114.4.下列角的終邊相同的是（）下列角的終邊相同的是（）A4kkk，42與與與與B322kk，3C2kkk，2 D 12kkk ，3 練習(xí)練習(xí)B2111 (2) (3).22(02 )3 lRSRSlRRlS利用弧度制證明下列關(guān)于扇形的公式：( ) ； 其中 是半徑，是弧長，為圓心角， 是扇例形的面積。

13、扇形的弧長及面積公式扇形的弧長及面積公式 例例 題題 講講 解解(2)設(shè)扇形所對的圓心角為設(shè)扇形所對的圓心角為n(rad)，則，則2213602nSRR(3)又又 R=l，所以，所以lRS21證明：證明：(1) 由公式由公式lRlR 例例 題題 講講 解解2021-12-1430例例5 已知扇形的周長為已知扇形的周長為8cm,圓圓心角為心角為2rad,求扇形的面積。求扇形的面積。2021-12-1431弧度制弧度制角度制角度制度量單位度量單位弧度弧度(10(10進(jìn)制進(jìn)制) )度度(60進(jìn)進(jìn)制制,1,1 =60=60,1=60,1=60 )單位規(guī)定單位規(guī)定把長度等于半徑長把長度等于半徑長的弧所對的圓心角的弧所對的圓心角叫做叫做1弧度的