常微分方程 基本概念

1、2021-12-14編輯課件1一、微分方程一、微分方程第六章微第六章微 分分 方方 程程第一節(jié)微分方程的基本概念第一節(jié)微分方程的基本概念二、微分方程的解二、微分方程的解2021-12-14編輯課件2n300多年前，由牛頓多年前，由牛頓(Newton,1642-1727)和萊布尼茲和萊布尼茲(Leibniz,1646-1716)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)所創(chuàng)立的微積分學(xué)，是人類科學(xué)史上劃時代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又史上劃時代的重大發(fā)現(xiàn)，而微積分的產(chǎn)生和發(fā)展，又與求解微分方程問題密切相關(guān)與求解微分方程問題密切相關(guān).這是因為，微積分產(chǎn)生這是因為，微積分產(chǎn)生的一個重要動因來自于人們探求物

2、質(zhì)世界運動規(guī)律的的一個重要動因來自于人們探求物質(zhì)世界運動規(guī)律的需求需求.一般地，運動規(guī)律很難全靠實驗觀測認識清楚，一般地，運動規(guī)律很難全靠實驗觀測認識清楚，因為人們不太可能觀察到運動的全過程因為人們不太可能觀察到運動的全過程.然而，運動物然而，運動物體體(變量變量)與它的瞬時變化率與它的瞬時變化率(導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù))之間，通常在運動過之間，通常在運動過程中按照某種己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降匠讨邪凑漳撤N己知定律存在著聯(lián)系，我們?nèi)菀撞蹲降竭@種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表達出來，其結(jié)這種聯(lián)系，而這種聯(lián)系，用數(shù)學(xué)語言表達出來，其結(jié)果往往形成一個微分方程果往往形成一個微分方程.一旦求出這個方程的解，其

3、一旦求出這個方程的解，其運動規(guī)律將一目了然運動規(guī)律將一目了然.下面的例子，將會使你看到微分下面的例子，將會使你看到微分方程是表達自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語言方程是表達自然規(guī)律的一種最為自然的數(shù)學(xué)語言. 2021-12-14編輯課件3定義定義 1凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)凡含有未知函數(shù)導(dǎo)數(shù) ( (或微分或微分) ) 的方程，的方程，一、微分方程一、微分方程稱為稱為微分方程微分方程， 有時有時簡稱為方程簡稱為方程，未知函數(shù)是一元，未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程函數(shù)的微分方程稱做常微分方程稱做常微分方程， 未知函數(shù)是多元未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程函數(shù)的微分方程稱做偏微分方程稱做偏微分方程. . 本教材僅

4、討論常微本教材僅討論常微分方程，并簡稱為微分方程分方程，并簡稱為微分方程. .( (1) ) y = kx, k 為常數(shù)；為常數(shù)；例如，下列方程都是微分方程例如，下列方程都是微分方程 ( (其中其中 y, v, q q 均為均為未知函數(shù)未知函數(shù)).).( (2) ) ( y - - 2xy) dx + + x2 dy = 0；( (3) ) mv (t) = mg - - kv(t)；2021-12-14編輯課件4微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為稱為微分方程的階微分方程的階. . 例如，方程例如，方程 ( (1) ) - - ( (3)

5、) 為一階微為一階微分方程，分方程， 通常，通常，n 階微分方程的一般形式為階微分方程的一般形式為F(x, y, y , , y(n) = 0，其中其中 x 是自變量，是自變量， y 是未知函數(shù)，是未知函數(shù)，F(xiàn)(x, y, y , , y(n)是已知函數(shù)，是已知函數(shù)， 而且一定含有而且一定含有 y(n).;112yay ( (4) ).,(0sindd22為為常常數(shù)數(shù)lglgt q qq q( (5) )方程方程 ( (4) ) - - ( (5) ) 為二階微分方程為二階微分方程.2021-12-14編輯課件5定義定義 2 任何代入微分方程后使其成為恒等式的任何代入微分方程后使其成為恒等式的

6、函數(shù)，都叫做該方程的解函數(shù)，都叫做該方程的解. .二、微分方程的解二、微分方程的解 若微分方程的解中含有若微分方程的解中含有任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同，任意常數(shù)的個數(shù)與方程的階數(shù)相同， 且任意常數(shù)之且任意常數(shù)之間不能合并，則稱此解為該方程的間不能合并，則稱此解為該方程的通解通解( (或一般解或一般解) ).當通解中的各任意常數(shù)都取特定值時所得到的解，稱當通解中的各任意常數(shù)都取特定值時所得到的解，稱為方程的為方程的特解特解. .例如方程例如方程 y = 2x 的解的解 y = x2 + + C 中含有一個任意中含有一個任意常數(shù)且與該方程的階數(shù)相同，常數(shù)且與該方程的階數(shù)相同， 因此，這個解是方

7、程的因此，這個解是方程的通解；通解； 如果求滿足條件如果求滿足條件 y(0) = 0 的解，代入通解的解，代入通解 y = x2 + + C 中，中， 得得 C = 0，那么，那么 y = x2 就是方程就是方程 y = 2x 的特解的特解.2021-12-14編輯課件6二階微分方程的初始條件是二階微分方程的初始條件是,|0000yyyyxxxx 及及即即 y(x0) = y0 與與 y (x0) = y 0，一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱為一個微分方程與其初始條件構(gòu)成的問題，稱為初值問題初值問題. .求解某初值問題，就是求方程的特解求解某初值問題，就是求方程的特解.用來確定通解中的任

8、意常數(shù)的附加條件一般稱用來確定通解中的任意常數(shù)的附加條件一般稱為初始條件為初始條件.)(,|0000yxyyyxx 即即通常一階微分方程的初始條件是通常一階微分方程的初始條件是2021-12-14編輯課件7例例 1 驗證函數(shù)驗證函數(shù) y = 3e x xe x 是方程是方程y + + 2y + + y = 0的解的解.解解 求求 y = 3e x xe x 的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，y = -= - 4e x + xe - - x,y = 5e x - - xe - - x,將將 y，y 及及 y 代入原方程的左邊，代入原方程的左邊，(5e x - - xe - - x) + + 2(- - 4e x

9、+ xe - - x) + + 3e x xe x = 0，即函數(shù)即函數(shù) y = 3e x xe x 滿足原方程，滿足原方程，得得有有所以該函數(shù)是所以該函數(shù)是所給二階微分方程的解所給二階微分方程的解.2021-12-14編輯課件8 得得 C = 2，故所，故所求特解為求特解為 y = 2x2 . 例例 2 驗證方程驗證方程 的通解的通解xyy2 為為 y = Cx2 ( (C 為為任意常數(shù)任意常數(shù)) )，并求滿足初始條件并求滿足初始條件 y|x = 1 = 2 的特解的特解.解解 由由 y = Cx2 得得y = 2Cx,將將 y 及及 y 代入原方程的左、右兩邊，代入原方程的左、右兩邊， 左

10、邊有左邊有 y = 2Cx，,22Cxxy 而右邊而右邊所以函數(shù)所以函數(shù) y = Cx2 滿足原方程滿足原方程.又因為該函數(shù)含有一個任意常數(shù)，又因為該函數(shù)含有一個任意常數(shù)， 所以所以 y = Cx2 是一是一階微分方程階微分方程.2的通解的通解xyy 將初始條件將初始條件 y|x = 1 = 2 代入通解，代入通解，2021-12-14編輯課件9例例 3設(shè)一個物體從設(shè)一個物體從 A 點出發(fā)作直線運動，點出發(fā)作直線運動，在任一時刻的速度大小為運動時間的兩倍在任一時刻的速度大小為運動時間的兩倍. 求物體求物體運動規(guī)律運動規(guī)律 ( (或稱運動方程或稱運動方程) )解解首先建立坐標系：取首先建立坐標系

11、：取 A 點為坐標原點，點為坐標原點，物體運動方向為坐標軸的正方向物體運動方向為坐標軸的正方向( (如圖如圖) )， 并設(shè)物體并設(shè)物體在時刻在時刻 t 到達到達 M 點，其坐標為點，其坐標為 s(t). 顯然，顯然，s(t) 是時是時間間 t 的函數(shù)，它表示物體的運動規(guī)律，是本題中待的函數(shù)，它表示物體的運動規(guī)律，是本題中待求的未知函數(shù)，求的未知函數(shù)， s(t) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) s (t) 就是物體運動的速度就是物體運動的速度 v(t). 由題意，知由題意，知v(t) = 2t ，以及以及s(0) = 0.ASOMs(t)2021-12-14編輯課件10因為因為 v(t) = s (t)，因此，求

12、物體的運動方程已化，因此，求物體的運動方程已化成了求解初值問題成了求解初值問題 , 0|,2)(0tstts積分后，得通解積分后，得通解 s(t) = t2 + C . 故初值問題的解為故初值問題的解為 s(t) = t2，也是本題所求的物體的運動方程也是本題所求的物體的運動方程. 再將初始條件再將初始條件 代入通解中，得代入通解中，得 C = 0，2021-12-14編輯課件11例例 4已知直角坐標系中的一條曲線通過點已知直角坐標系中的一條曲線通過點 ( (1, 2) )，且在該曲線上任一點，且在該曲線上任一點 P( (x, y) ) 處的切線斜率處的切線斜率等于該點的縱坐標的平方，求此曲線

13、的方程等于該點的縱坐標的平方，求此曲線的方程.解解 設(shè)所求曲線的方程為設(shè)所求曲線的方程為 y = y(x)， 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及本題所給出的條件，幾何意義及本題所給出的條件，y = y2，即即,1dd2yyx 積分得積分得.1Cyx 又由于已知曲線過點又由于已知曲線過點 (1, 2)，代入上式，得，代入上式，得.23 C所以，求此曲線的方程為所以，求此曲線的方程為.123yx 得得2021-12-14編輯課件12一般地，微分方程的每一個解都是一個一元一般地，微分方程的每一個解都是一個一元函數(shù)函數(shù) y = y(x) ，其圖形是一條平面曲線，我們稱其圖形是一條平面曲線，我們稱它為微分方

14、程的它為微分方程的積分曲線積分曲線. 通解的圖形是平面上的通解的圖形是平面上的一族曲線，稱為一族曲線，稱為積分曲線族積分曲線族， 特解的圖形是積分特解的圖形是積分曲線族中的一條確定的曲線曲線族中的一條確定的曲線. 這就是微分方程的這就是微分方程的通解與特解的幾何意義通解與特解的幾何意義.2021-12-14編輯課件13一、可分離變量方程一、可分離變量方程第六章微第六章微 分分 方方 程程第二節(jié)一階微分方程第二節(jié)一階微分方程三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程二、齊次方程二、齊次方程2021-12-14編輯課件14一階微分方程的一般形式為一階微分方程的一般形式為F(x, y, y ) = 0

15、.2021-12-14編輯課件15一、可分離變量方程一、可分離變量方程例如：形如例如：形如y = f (x) g (y)的微分方程，稱為的微分方程，稱為可分離變量方程可分離變量方程.( (1) ) 分離變量分離變量將方程整理為將方程整理為xxfyygd)(d)(1 使方程各邊都只含有一個變量使方程各邊都只含有一個變量.的形式，的形式，2021-12-14編輯課件16( (2) ) 兩邊積分兩邊積分兩邊同時積分，得兩邊同時積分，得,d)(1yyg 左邊左邊.d )(xxf 右右邊邊故方程通解為故方程通解為.d )(d)(1Cxxfyyg 我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示我們約定在微分方程

16、這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)，被積函數(shù)的一個原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上數(shù)明確地寫上.2021-12-14編輯課件17例例 1 求方程求方程.1)cos(sin2的的通通解解yxxy 解解分離變量，得分離變量，得,d)cos(sin1d2xxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,)sin(cosarcsinCxxy 這就是所求方程的通解這就是所求方程的通解2021-12-14編輯課件18例例 2 求方程求方程.的的通通解解xyy 解解分離變量，得分離變量，得,d1dxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化簡得化

17、簡得. 0,1,e2221 CxCyCC則則令令,1e1xyC 2021-12-14編輯課件19另外，另外，y = 0 也是方程的解，也是方程的解，因此因此 C2 為任意常數(shù)為任意常數(shù)xCy2 所以所以.xCy 求解過程可簡化為：求解過程可簡化為：,ddxxyy 兩邊積分得兩邊積分得,ln1lnlnCxy 即通解為即通解為,lnlnxCy ,xCy 其中其中 C 為任意常數(shù)為任意常數(shù). .中的中的 C2 可以為可以為 0，這樣，方程的通解是這樣，方程的通解是分離變量得分離變量得2021-12-14編輯課件20例例 3 求方程求方程 dx + + xydy = y2dx + + ydy 滿足初始

18、滿足初始條件條件 y(0) = 2 的特解的特解.解解將方程整理為將方程整理為.d)1(d)1(2xyyxy 分離變量，得分離變量，得,1dd12 xxyyy兩邊積分，有兩邊積分，有.ln21)1ln()1ln(212Cxy 2021-12-14編輯課件21化簡，得化簡，得,)1(122 xCy即即1)1(22 xCy將初始條件將初始條件 y(0) = 2 代入，代入，. 1)1(322 xy為所求之通解為所求之通解. .得得 C = 3. .故所求特解為故所求特解為2021-12-14編輯課件22例例 4. )(dd ) )均均是是正正的的常常數(shù)數(shù)與與其其中中( (的的通通解解求求方方程程a

19、kaykyxy 解解分離變量得分離變量得,d)(dxkayyy 即即.dd)11(xkayyay 2021-12-14編輯課件23兩邊積分，得兩邊積分，得.lnlnCkaxyay 經(jīng)整理，得方程的通解為經(jīng)整理，得方程的通解為,e1kaxCay 也可寫為也可寫為.e1kaxCay 編輯課件 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原二、可化為變量分離方程類型二、可化為變量分離方程類型編輯課件例4求解方程)0(

20、2xyxydxdyx解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux編輯課件兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來變量,得原方程的通解為,0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2編輯課件例6求下面初值問題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21編輯課件兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還

21、原得cxxyxy2)(1. 1, 0) 1 (cy可定出最后由初始條件故初值問題的解為) 1(212xyxdxudu212021-12-14編輯課件29三、一階線性微分方程三、一階線性微分方程一階微分方程的下列形式一階微分方程的下列形式)()(xQyxPy 稱為一階線性微分方程，簡稱稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程一階線性方程. . 其中其中P(x)、Q (x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù). . 左邊的每項中僅含左邊的每項中僅含 y 或或 y ，且均為且均為 y 或或 y 的一次項的一次項. . 它的特點它的特點是：右邊是已知函數(shù)，是：右邊是已知函數(shù)，2021-12

22、-14編輯課件30稱為一階線性齊次微分方程，簡稱稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程線性齊次方程， 0，則稱方程，則稱方程 為一階線性非齊次微分為一階線性非齊次微分方程，簡稱方程，簡稱線性非齊次方程線性非齊次方程. 通常方程通常方程 稱為方程稱為方程 所對應(yīng)的線性齊次方程所對應(yīng)的線性齊次方程., 0)( yxPy若若 Q (x)若若 Q (x) 0，則方程成為，則方程成為2021-12-14編輯課件311. .一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程一階線性齊次方程0)( yxPy是可分離變量方程是可分離變量方程. .,d)(dxxPyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,l

23、nd )(lnCxxPy 所以，方程的通解公式為所以，方程的通解公式為.ed)( xxPCy分離變量，得分離變量，得2021-12-14編輯課件32例例 6 求方程求方程 y + + (sin x)y = 0 的通解的通解.解解所給方程是一階線性齊次方程，且所給方程是一階線性齊次方程，且 P(x) = sin x， ,cosdsind )(xxxxxP由通解公式即可得到方程的通解為由通解公式即可得到方程的通解為.ecosxCy 則則2021-12-14編輯課件33例例 7求方程求方程 (y - - 2xy) dx + + x2dy = 0 滿足初始滿足初始條件條件 y|x=1 = e 的特解的

24、特解. .解解將所給方程化為如下形式：將所給方程化為如下形式：, 021dd2 yxxxy這是一個線性齊次方程，這是一個線性齊次方程，,21)(2xxxP 且且則則 ,1lnd12d )(22xxxxxxxP由通解公式得該方程的通解由通解公式得該方程的通解,e12xCxy 將初始條件將初始條件 y(1) = e 代入通解，代入通解，.e12xxy 得得 C = 1. .故所求特解為故所求特解為2021-12-14編輯課件342. .一階線性非齊次方程的解法一階線性非齊次方程的解法設(shè)設(shè) y = C(x)y1 是非齊次方程的解，是非齊次方程的解， 將將 y = C(x)y1 ( (其中其中 y1

25、是齊次方程是齊次方程 y + + P (x) y = 0 的解的解) )及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) y = C (x) y1 + + C(x) y 1 代入方程代入方程).()(xQyxPy 則有則有),()()()()(111xQyxCxPyxCyxC 即即),()()()(111xQyxPyxCyxC 2021-12-14編輯課件35因因 y1 是對應(yīng)的線性齊次方程的解，是對應(yīng)的線性齊次方程的解，因此有因此有, 0)(11 yxPy故故),()(1xQyxC 其中其中 y1 與與 Q(x) 均為已知函數(shù)，均為已知函數(shù)，,d)()(1CxyxQxC 代入代入 y = C (x)y1 中，得中，得.d)

26、(111xyxQyCyy 容易驗證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程容易驗證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程),()(xQyxPy 所以可以通過積分所以可以通過積分求得求得2021-12-14編輯課件36且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程)()(xQyxPy 的通解的通解在運算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為在運算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為,ed)(1 xxPy于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：.de )(ed)(d)( xxQCyxxPxxP上述討論中所用的方法

27、，是將常數(shù)上述討論中所用的方法，是將常數(shù) C 變?yōu)榇ㄗ優(yōu)榇ê瘮?shù)函數(shù) C(x)， 再通過確定再通過確定 C(x) 而求得方程解的方法，而求得方程解的方法，稱為稱為常數(shù)變易法常數(shù)變易法. .2021-12-14編輯課件37例例 8 求方程求方程 2y - - y = ex 的通解的通解.解解法一法一 使用常數(shù)變易法求解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy 這是一個線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方這是一個線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方程的通解為程的通解為,e2xCy 將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得設(shè)所給線性非齊次

28、方程的解為設(shè)所給線性非齊次方程的解為,e )(2xxCy ,e21e )(2xxxC 2021-12-14編輯課件38于是，有于是，有,ede21)(22CxxCxx 因此，原方程的通解為因此，原方程的通解為.eee )(22xxxCxCy 解法解法二二 運用通解公式求解運用通解公式求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy ,e21)(,21)( xxQxP 則則2021-12-14編輯課件39則則 ,2d21d )(xxxxP ,edee21de )(22d )(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得原方程的通解為代入通解公式，得原方程的通解為.eee )

29、e(222xxxxCCy ,ee2d )(xxxP 2021-12-14編輯課件40例例 9 求解初值問題求解初值問題 . 1)(,cosyxyyx解解使用常數(shù)變易法求解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,cos11xxyxy 則與其對應(yīng)的線性齊次方程則與其對應(yīng)的線性齊次方程01 yxy的通解為的通解為.xCy 2021-12-14編輯課件41設(shè)所給線性非齊次方程的通解為設(shè)所給線性非齊次方程的通解為.1)(xxCy 于是，有于是，有 .sindcos)(CxxxxC將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得,cos11)(xxxxC 2021-12

30、-14編輯課件42因此，原方程的通解為因此，原方程的通解為.sin11)(sinxxxCxCxy 將初始條件將初始條件 y( ) = 1 代入，得代入，得 C = ，).sin(1xxy 所 以 ，所 以 ，所求的特解，即初值問題的解為所求的特解，即初值問題的解為2021-12-14編輯課件43例例 10求方程求方程 y2dx + (x - - 2xy - - y2)dy = 0 的通解的通解.解解將原方程改寫為將原方程改寫為, 121dd2 xyyyx這是一個關(guān)于未知函數(shù)這是一個關(guān)于未知函數(shù) x = x(y) 的一階線性非齊次的一階線性非齊次方程，方程，,21)(2yyyP 其中其中它的自由

31、項它的自由項 Q(y) = 1.2021-12-14編輯課件44代入一階線性非齊次方程的通解公式，有代入一階線性非齊次方程的通解公式，有 yCxyyyyyydeed21d2122),e1()e(e12112yyyCyCy 即所求通解為即所求通解為).e1(12yCyx 2021-12-14編輯課件45第七章微第七章微 分分 方方 程程第三節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例第三節(jié)一階微分方程應(yīng)用舉例例例 1 設(shè)曲線過點設(shè)曲線過點 ( (1, 1) )，且其上任意點，且其上任意點 P 的切線的切線在在 y 軸上截距是切點縱坐標的三倍，求此曲線方程軸上截距是切點縱坐標的三倍，求此曲線方程.解解設(shè)所求的曲線方程設(shè)

32、所求的曲線方程為為 y = y(x)，P(x, y) 為其上為其上任意點，任意點， 則過點則過點 P 的切線方的切線方程為程為),(xXyyY 其中其中 (X, Y) 是切線上動點是切線上動點, ,(x, y) 是曲線上任意固定的點是曲線上任意固定的點. .xyOP(x, y)L2021-12-14編輯課件46令令 X = 0 ，得切線在，得切線在 y 軸上的截距為軸上的截距為 Y = y - - xy ，y - - xy = 3y，這是一階線性齊次方程，其通解為這是一階線性齊次方程，其通解為.2xCy 因曲線過點因曲線過點 ( (1, 1) ). 代入方程，得代入方程，得 C = 1.所 以

33、 曲 線所 以 曲 線方程為方程為.12xy 由題意得由題意得2021-12-14編輯課件47例例 2 設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與設(shè)跳傘員開始跳傘后所受的空氣阻力與他下落的速度成正比他下落的速度成正比 ( (比例系數(shù)為常數(shù)比例系數(shù)為常數(shù) k 0) )，起跳時的速度為起跳時的速度為 0. 求下落的速度與時間之間的函求下落的速度與時間之間的函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系.解解設(shè)下落速度為設(shè)下落速度為 v(t)， 則加速度則加速度 a = v (t)運運動動，物體所受的外力為：物體所受的外力為：F = mg kv，于是，由牛頓第二定律可得于是，由牛頓第二定律可得 mg - - kv = mv ， 2021-

34、12-14編輯課件48又由題意得初始條件又由題意得初始條件v |t = 0 = 0，可見，初值問題可見，初值問題 0)0(,vkvmgvm 是一個一是一個一階線性非齊次微分方程，其通解為階線性非齊次微分方程，其通解為.etmkCkvmg 由由 v(0) = 0 得得 C = mg. . )1(tmkkmgv e即為所求的函數(shù)關(guān)系即為所求的函數(shù)關(guān)系. .所以，特解所以，特解2021-12-14編輯課件49例例 4 假設(shè)一高溫物體在冷卻劑中均勻地冷卻，假設(shè)一高溫物體在冷卻劑中均勻地冷卻， 物體的初始物體的初始溫度為溫度為 200 C ，且由，且由 200 C 冷卻到冷卻到 100 C 需要需要 4

35、0 s.已知已知( (冷卻定律冷卻定律) )：冷卻速率與物體和介質(zhì)的溫度差：冷卻速率與物體和介質(zhì)的溫度差成正比成正比.其介質(zhì)其介質(zhì)( (冷卻劑冷卻劑) )溫度始終保持為溫度始終保持為 10 C， 并求物并求物體溫度降到體溫度降到 20 C 所需的時間所需的時間.解解設(shè)物體溫度為設(shè)物體溫度為 q q = q q (t)， 則物體的冷卻速率則物體的冷卻速率為為 q q (t) . 由冷卻定律可得由冷卻定律可得 q q (t) 應(yīng)滿足的微分方程為應(yīng)滿足的微分方程為q q (t) = - - kq q (t) - -10 (k 0) ，試求物體溫度試求物體溫度 q q 與時間與時間 t 的函數(shù)關(guān)系的函

36、數(shù)關(guān)系,2021-12-14編輯課件50另由題意知另由題意知 q q(t) 所滿足的初始條件為所滿足的初始條件為q q |t = 0 = 200.于是，初值問題是于是，初值問題是 .200|,10)()(0ttktq qq qq q解此初值問題，得特解解此初值問題，得特解q q(t) = 10 + + 190e- -kt .因此，得因此，得.199ln401 k由于由于 q q(40) = 100， 即即 100 = 10 + 190e- -40k ，2021-12-14編輯課件51最后，將最后，將 q q = 20 代入上式，代入上式，. s 1589ln19ln19ln40 t即物體溫度降

37、到即物體溫度降到 20 C 大約需要大約需要 2 min38 s . 從而得物體溫度從而得物體溫度 q q 與時間與時間 t 的函數(shù)關(guān)系為的函數(shù)關(guān)系為 199ln40e19010)(ttq q40199lne19010t 4019919010t 并解出并解出2021-12-14編輯課件52一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)第七章微第七章微 分分 方方 程程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程第四節(jié)二階常系數(shù)線性微分方程二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例2021-12-14編輯課件53一、二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)一、二階線性微分

38、方程解的結(jié)構(gòu)二階微分方程的如下形式二階微分方程的如下形式y(tǒng) + p(x)y + q(x)y = f (x) 稱為二階線性微分方程，簡稱稱為二階線性微分方程，簡稱二階線性方程二階線性方程. f (x) 稱為稱為自由項自由項，當，當 f (x) 0 時，稱為時，稱為二階線性非齊次二階線性非齊次微分方程微分方程， 簡稱簡稱二階線性非齊次方程二階線性非齊次方程. . 當當 f (x) 恒為恒為 0 時，稱為時，稱為二階線性齊次微分方程二階線性齊次微分方程， 簡稱簡稱二階線性二階線性齊次方程齊次方程. 方程中方程中 p(x)、 q(x) 和和 f (x) 都是自變量都是自變量的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù)

39、. 這類方程的特點是：右邊是已知這類方程的特點是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊每一項含函數(shù)或零，左邊每一項含 y 或或 y 或或 y， 且每項均為且每項均為 y 或或 y 或或 y 的一次項，的一次項， 例如例如 y + + xy + + y = x2 就就是二是二階線性非齊次方程階線性非齊次方程. 而而 y + + x(y )2 + + y = x2 就不是二就不是二階線性方程階線性方程.2021-12-14編輯課件54定理定理 1如果函數(shù)如果函數(shù) y1 與與 y2 是線性齊次方程的是線性齊次方程的兩個解，兩個解，y = C1 y1 + + C2 y2仍為該方程的解，仍為該方程的解，證證因為因為

40、 y1 與與 y2 是方程是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個解，的兩個解，, 0)()(111 yxqyxpy與與. 0)()(222 yxqyxpy所以有所以有其中其中 C1， C2 是任意常數(shù)是任意常數(shù).則函數(shù)則函數(shù)2021-12-14編輯課件55,2211yCyCy 又又因因為為,2211yCyCy 于是有于是有y + p(x)y + q(x)y )()()(221122112211yCyCxqyCyCxpyCyC )()()()(22221111yxqyxpyCyxqyxpyC = 0所以所以 y = C1y1 + C2y2 是是 y + p(x)y + q(x

41、)y = 0 的解的解.2021-12-14編輯課件56定義定義設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y1(x) 和和 y2(x) 是定義在某區(qū)間是定義在某區(qū)間 I 上上的兩個函數(shù)，的兩個函數(shù)，k1 y1(x) + + k2 y2(x) = 0不失一般性，不失一般性，考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)，考察兩個函數(shù)是否線性相關(guān)， 我們往往采用另一種我們往往采用另一種簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)，簡單易行的方法，即看它們的比是否為常數(shù)， 事實上，事實上，當當 y1(x) 與與 y2(x) 線性相關(guān)時，有線性相關(guān)時，有 k1 y1 + + k2 y2 = 0， 其中其中 k1, k2 不全為不全為 0，, 012211k

42、kyyk 則則設(shè)設(shè)如果存在兩個不全為如果存在兩個不全為 0 的常數(shù)的常數(shù) k1和和 k2， 使使在區(qū)間在區(qū)間 I 上恒成立上恒成立.則稱函數(shù)則稱函數(shù) y1(x) 與與 y2(x) 在區(qū)間在區(qū)間 上上是是線性相關(guān)線性相關(guān)的，否則稱為的，否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).2021-12-14編輯課件57即即 y1 與與 y2 之比為常數(shù)之比為常數(shù). 反之，若反之，若y1 與與 y2 之比為常數(shù)，之比為常數(shù)，,21 yy設(shè)設(shè)則則 y1 = y2，即，即 y1 - - y2 = 0. 所以所以 y1 與與 y2 線性相關(guān)線性相關(guān). 因此，如果兩個函數(shù)的比是常數(shù)，則它們因此，如果兩個函數(shù)的比是常數(shù)，則它們線性相

43、關(guān)；線性相關(guān)；例如函例如函數(shù)數(shù) y1 = ex，y2 = e - -x，常數(shù)，常數(shù)，而而 21yy所以，它們是線所以，它們是線性無關(guān)的性無關(guān)的.如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān)如果不是常數(shù)，則它們線性無關(guān).2021-12-14編輯課件58定理定理 2如果函數(shù)如果函數(shù) y1 與與 y2 是二階線性齊次方程是二階線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的兩個線性無關(guān)的特解，的兩個線性無關(guān)的特解，y = C1 y1 + C2 y2是該方程的通解，是該方程的通解，證證因為因為 y1 與與 y2 是方程是方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的的解，解， 所以，由定理所以，由定

44、理 1 知知 y = C1 y1 + C2 y2 也是該方程的解也是該方程的解.又因為又因為 y1 與與 y2 線性無關(guān)，即線性無關(guān)，即 y1 與與 y2 之比不為常數(shù)，之比不為常數(shù)，故故C1 與與C2不能合并為一個任意常數(shù)，不能合并為一個任意常數(shù)，因此因此 y = C1 y1 + C2 y2 是二階線性齊次方程的通解是二階線性齊次方程的通解.則則其中其中 C1, C2為任意常數(shù)為任意常數(shù).所以它們中任一個都不能用另一個所以它們中任一個都不能用另一個 ( ( 形如形如 y1 = ky2 或或 y2 = k1 y) ) 來表示來表示.2021-12-14編輯課件59定理定理 3如果函數(shù)如果函數(shù)

45、y* 是線性非齊次方程的一個是線性非齊次方程的一個特解，特解，y = Y + y*，是線性非齊次方程的通解是線性非齊次方程的通解.證證因為因為 y*與與 Y 分別是線性非齊次方程分別是線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 和線性齊次方程和線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的解，的解，所以有所以有y* + p(x)y* + q(x)y* = f (x)，Y + p(x)Y + q(x)Y = 0 .Y 是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，是該方程所對應(yīng)的線性齊次方程的通解，則則2021-12-14編輯課件60又因為又因為 y = = Y +

46、+ y* ， y = Y + + y* ， 所以所以y + p(x)y + q(x)y = (Y + + y* ) + p(x)(Y + + y* ) + q(x)(Y + + y*)= (Y + p(x) Y + q(x)Y) + + ( y* + p(x) y* + q(x)y*)= f (x).2021-12-14編輯課件61求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：求二階線性非齊次方程通解的一般步驟為：( (1) ) 求線性齊次方程求線性齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = 0 的線性的線性無關(guān)的兩個特解無關(guān)的兩個特解 y1 與與 y2，得該方程的通解得該方程的通解 Y=C1

47、y1 + C2 y2.( (2) ) 求線性非齊次方程求線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的的一個特解一個特解 y*.那么，線性非齊次方程的通解為那么，線性非齊次方程的通解為 y = Y + y*. 又又 Y 是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個任意常是二階線性齊次方程的通解，它含有兩個任意常數(shù)，數(shù)，故故 y = Y + y* 中含有兩個任意常數(shù)中含有兩個任意常數(shù). 即即 y = Y + y* 是線性非齊次方程是線性非齊次方程 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 的通解的通解.這說明函數(shù)這說明函數(shù) y = Y + y* 是線性非齊次方程的解，是

48、線性非齊次方程的解，2021-12-14編輯課件62y + p(x)y + q(x)y = f1 (x) + f2 (x)，分分別別是是與與且且*2*1yyy + p(x)y + q(x)y = f1 (x)，和和y + p(x)y + q(x)y = f2 (x)則則*2*1yy 是方程是方程 的特解的特解.定理定理 4設(shè)二階線性非齊次方程為設(shè)二階線性非齊次方程為的特解，的特解，2021-12-14編輯課件63證證因為因為 y1* 與與 y2* 分別是分別是 與與 的特解，的特解，y1* + p(x)y1* + q(x)y1* = f 1(x)，與與y2* + p(x)y2* + q(x)y

49、2* = f 2(x) .于是有于是有)()()(*2*1*2*1*2*1yyxqyyxpyy = f 1(x) + + f 2(x) ， 所以有所以有= y1* + p(x)y1* + q(x)y1*+ y2* + p(x)y2* + q(x)y2*即即 y1* + y2* 滿足方程滿足方程 ，2021-12-14編輯課件64二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法二、二階常系數(shù)線性微分方程的解法如果二階線性微分方程為如果二階線性微分方程為y + py + qy = f(x) ，其中其中 p、 q 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 則稱該方程為則稱該方程為二階常系數(shù)線二階常系數(shù)線性微分方程性微分方程.2021-

50、12-14編輯課件65設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為y + py + qy = 0 .考慮到左邊考慮到左邊 p，q 均為常數(shù)，均為常數(shù)， 我們可以猜想該方程我們可以猜想該方程具有具有 y = erx 形式的解，其中形式的解，其中 r 為待定常數(shù)為待定常數(shù). 將將 y = rerx, y = r2erx 及及 y = erx 代入上式，代入上式，erx (r2 + pr + q) = 0 . 1. .二階常系數(shù)線性齊次方程的解法二階常系數(shù)線性齊次方程的解法由于由于erx 0，因此，只要，因此，只要 r 滿足方程滿足方程r2 + pr + q = 0，即即 r 是上述一元二次

51、方程的根時，是上述一元二次方程的根時，y = erx 就是就是式的解式的解.方程方程稱為方程稱為方程的的特征方程特征方程. 特征方特征方程根稱為程根稱為特征根特征根.得得2021-12-14編輯課件661 特征方程具有兩個不相等的實根特征方程具有兩個不相等的實根 r1 與與 r2，xrxryy21ee21 和和,e)(2121常常數(shù)數(shù)且且 xrryy.ee21211xrxrCCy 2 特征方程具有兩個相等的實根，特征方程具有兩個相等的實根，這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個這時，由特征根可得到常系數(shù)線性齊次方程的一個特解特解 y1 = erx.還需再找一個與還需再找一個與 y1 線性

52、無關(guān)的特解線性無關(guān)的特解 y2，為此，設(shè)為此，設(shè) y2 = u(x)y1，其中其中 u(x)為待定函數(shù)為待定函數(shù). 將將 y2 及及其一階、二階導(dǎo)數(shù)其一階、二階導(dǎo)數(shù) y 2 = (uerx) = erx(u (x) + ru(x)，y 2 = erx (u (x) + 2ru (x) + r2u(x)， 代入方程代入方程 y + py + qy = 0 中，得中，得因而它的通解為因而它的通解為所以所以 y1 與與 y2 線性無關(guān)，線性無關(guān)， 都是都是 的解，的解， 即即 r1 r2. 那么，這時函數(shù)那么，這時函數(shù).221prr 即即2021-12-14編輯課件67. 0)()2(e2 uqpr

53、ruprurx2pr 注意到注意到 是特征方程的重根，是特征方程的重根， 所以有所以有 r2 + + pr + + q = 0及及 2r + + p = 0.且且 er x 0，因此只要因此只要 u(x) 滿足滿足, 0)( xu則則 y2 = uerx就是就是 式的解，式的解，.e )(ee2121rxrxrxxCCxCCy 為簡便起見，取方程為簡便起見，取方程 u (x) = 0 的一個解的一個解 u = x， 于是得到方程于是得到方程 且與且與 y1 = erx 線性無關(guān)的解線性無關(guān)的解 y2 = xerx. 因此，因此，式的通式的通解為解為2021-12-14編輯課件683 特征方程具

54、有一對共軛復(fù)根特征方程具有一對共軛復(fù)根 r1 = a a + + ib b 與與 r2 = a a ib .b . 這時有兩個線性無關(guān)的特解這時有兩個線性無關(guān)的特解 y1 = e(a a + + ib b )x 與與 y2 = e(a a - - ib b )x. 這是兩個復(fù)數(shù)解，這是兩個復(fù)數(shù)解， 為了便于在實數(shù)為了便于在實數(shù)范圍內(nèi)討論問題，范圍內(nèi)討論問題，我們再找兩個線性無關(guān)的實數(shù)解我們再找兩個線性無關(guān)的實數(shù)解. 由歐拉公式由歐拉公式xxxsinicosei ( (這公式我們將在無窮級數(shù)章中補證這公式我們將在無窮級數(shù)章中補證) )，可得，可得),sini(cose1xxyxb bb ba a

55、 )sini(cose2xxyxb bb ba a 2021-12-14編輯課件69于是有于是有,cose)(2121xyyxb ba a .sine)(i 2121xyyxb ba a 由定理由定理 1 知，以上兩個函數(shù)知，以上兩個函數(shù) ea ax cosb bx 與與 ea ax sinb bx均為均為 式的解，式的解，).sincos(e21xCxCyxb bb ba a 且它們線性無關(guān)且它們線性無關(guān). 因此，這時方程因此，這時方程的通解為的通解為2021-12-14編輯課件70 上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱上述求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的方法稱為特征根法，其步驟是：為特征

56、根法，其步驟是：( (1) ) 寫出所給方程的特征方程；寫出所給方程的特征方程；( (2) ) 求出特征根；求出特征根； ( (3) ) 根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應(yīng)的根據(jù)特征根的三種不同情況，寫出對應(yīng)的特解，并寫出其通解特解，并寫出其通解.編輯課件特征根方程的通解xrxrCCy21ee21rxxCCye )(21 一對共軛復(fù)根r1,2=a b i兩個不等的實根r1, r2兩個相等的實根r1=r2=r(b 0)12e(cossin)xyCxCxabb2021-12-14編輯課件72例例 1求方程求方程 y - - 2y - - 3y = 0 的通解的通解.解解該方程的特征方程為該方程的特

57、征方程為 r2 - - 2r 3 = 0, 它有兩它有兩個不等的實根個不等的實根 r1 = - - 1， r2 = = 3, 其對應(yīng)的兩個線性無其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為關(guān)的特解為 y1 = e- - x 與與 y2 = e3x, 所以方程的通解為所以方程的通解為.ee321xxCCy 2021-12-14編輯課件73例例 2求方程求方程 y - - 4y + + 4y = 0 的滿足初始條件的滿足初始條件 y(0) = 1， y (0) = 4 的特解的特解.解解該方程的特征方程為該方程的特征方程為 r2 - - 4r + + 4 = 0，,e )221xxCCy （.e )(2e2212

58、2xxxCCCy 將將 y(0) = 1，y (0) = 4 代入上兩式，得代入上兩式，得 C1 = 1，C2 = 2，y = (1 + + 2x)e2x. 其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為其對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的特解為 y1 = e2x 與與 y2 = xe2x因此，所求特解為因此，所求特解為 它 有它 有重根重根 r = 2.2021-12-14編輯課件74例例 3求方程求方程 2y + + 2y + + 3y = 0 的通的通解解.解解該方程的特征方程為該方程的特征方程為 2r2 + + 2r + + 3 = 0，它，它有共軛復(fù)根有共軛復(fù)根424422, 1 r. i 52121 ,21 a

59、a即即,521 b b對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解為,25cose211xyx ,25sine212xyx .521sin521cose2121 xCxCyx2021-12-14編輯課件75例例 4求方程求方程 y + + 4y = 0 的通解的通解.解解該方程的特征方程為該方程的特征方程為 r2 + + 4 = 0，它有共軛，它有共軛復(fù)根復(fù)根 r1,2 = 2i. 即即a a = 0，b b = 2. 對應(yīng)的兩個線性對應(yīng)的兩個線性無關(guān)的解無關(guān)的解 y1 = cos 2x. y2 = sin 2x. 所以方程的通解為所以方程的通解為.2sin2cos21xCxCy 2021-

60、12-14編輯課件76 2. .二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法二階常系數(shù)線性非齊次方程的解法1 自由項自由項 f (x) 為多項式為多項式 Pn(x).設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為y + + py + + qy = Pn(x),其中其中 Pn(x) 為為 x 的的 n 次多項式次多項式. ),(*xQxynk 當原方程當原方程 中中 y 項的系數(shù)項的系數(shù) q 0 時，時， k 取取 0；當當 q = 0，但，但 p 0 時，時，k 取取 1；當當 p = 0， q = 0 時，時，k 取取 2. 因為方程中因為方程中 p、q 均為均為常數(shù)且多項式的導(dǎo)數(shù)仍為多項式，常