必修二立體幾何典型例題

1、精品文檔必修二立體幾何典型例題【知識(shí)要點(diǎn)】1空間直線和平面的位置關(guān)系：(1) 空間兩條直線：有公共點(diǎn)：相交，記作：a b A，其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交無公共點(diǎn)：平行或異面平行，記作： a b異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直(2) 空間直線與平面：有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交直線在平面內(nèi)，記作： a直線與平面相交，記作： a A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交無公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作：a (3) 空間兩個(gè)平面：有公共點(diǎn)：相交，記作： l ，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交無公共點(diǎn)：平行，記作：2空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1) 四個(gè)公理與等角定理：公理 1：如果一條

2、直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)公理 2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(2) 空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂

3、線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行， 那么經(jīng)過該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交， 那么它們的交線相互平行 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直(3) 我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：【例題分析】。1歡迎下載精品文檔例 2 在四棱錐 PABCD中，底面 ABCD是平行四邊形， M，N分別是 AB，PC的中點(diǎn)，求證： MN平面 PAD【分析】 要證明“線面平行” ，可通過“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此

4、可考慮構(gòu)造( 添加 ) 中位線輔助證明證明： 方法一，取PD中點(diǎn) E，連接 AE，NE底面 ABCD是平行四邊形，M， N分別是 AB， PC的中點(diǎn)，1 MACD， MACD.2 E 是 PD的中點(diǎn)，1 NECD， NECD. MANE，且 MA NE， AENM是平行四邊形， MNAE又 AE 平面 PAD，MN 平面 PAD， MN平面 PAD方法二取 CD中點(diǎn) F，連接 MF， NF MFAD， NFPD，平面 MNF平面 PAD， MN平面 PAD【評(píng)述】 關(guān)于直線和平面平行的問題，可歸納如下方法：(1) 證明線線平行：a， ， ，a a ， cb cabba， ba ba ba ba

5、 b(2) 證明線面平行：aa b b ， a aa a a (3) 證明面面平行： ， ， ， abaaa， b， ab A 。2歡迎下載精品文檔例 3在直三棱柱111中，1，求證： 11ABC A BCAAACAB ACA CBC【分析】 要證明“線線垂直” ，可通過“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過 BC1 的平面即可證明： 連接 AC1 ABC A1B1C1 是直三棱柱， AA1平面 ABC， ABAA1又 AB AC， AB平面 A1ACC1， A1C AB又 AA1 AC，側(cè)面11 是正方形，A ACC A1C AC1由，得A1C平面 ABC1， A1C BC1【評(píng)

6、述】 空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開的如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“AB AC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化例 4 在三棱錐 PABC中，平面 PAB平面 ABC， AB BC， AP PB，求證：平面 PAC 平面 PBC【分析】 要證明 “面面垂直” ，可通過 “線面垂直” 進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 而“線面垂直” 又可以通過“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明：平面 PAB平面 ABC，平面 PAB平面 ABC AB，且 AB BC， BC平面 PAB， APBC又 AP PB， AP平面 PBC，。3歡迎下載精品文檔又 AP 平面 PAC，平面 PAC平面 PBC【評(píng)述】

7、 關(guān)于直線和平面垂直的問題，可歸納如下方法：(1) 證明線線垂直：a c， b c，a b a ba b(1) 證明線面垂直：a m，a na b， b ， a ， lm， n， mn Aa，a la a a a (1) 證明面面垂直： a ， a 例 5 如圖，在斜三棱柱 ABC A1B1C1 中，側(cè)面 A1ABB1是菱形， 且垂直于底面 ABC， A1AB 60°， E， F 分別是 AB1， BC的中點(diǎn)( ) 求證：直線EF平面 A1ACC1；( ) 在線段 AB上確定一點(diǎn)G，使平面 EFG平面 ABC，并給出證明證明： ( ) 連接 A1C， A1E側(cè)面 A1ABB1是菱形，

8、E 是 AB1 的中點(diǎn)， E 也是 A1B 的中點(diǎn)，又 F 是 BC的中點(diǎn)， EF A1C A1C 平面 A1ACC1， EF 平面 A1ACC1，直線 EF平面 A1ACC1(2) 解：當(dāng) BG 1 時(shí)，平面 EFG平面 ABC，證明如下：GA3連接 EG， FG側(cè)面 A1ABB1是菱形，且 A1AB 60°， A1AB是等邊三角形E是 AB的中點(diǎn)，BG1， EG AB1GA3平面 A1ABB1平面 ABC，且平面 A1ABB1平面 ABC AB， EG平面 ABC又 EG 平面 EFG，平面 EFG平面 ABC例 6如圖，正三棱柱ABCA1B1C1 中， E 是 AC的中點(diǎn)。4歡

9、迎下載精品文檔( ) 求證：平面BEC1平面 ACC1A1； ( ) 求證： AB1平面 BEC1【分析】 本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考證明： ( ) ABC A1B1C1 是正三棱柱，AA1平面 ABC， BEAA1 ABC是正三角形， E 是 AC的中點(diǎn)， BEAC， BE平面 ACC1A1，又 BE平面 BEC1，平面 BEC1平面 ACC1A1( ) 證明：連接B1C，設(shè) BC1 B1C D BCC1B1 是矩形， D是 B1C的中點(diǎn)，DE AB1又 DE 平面 BEC1， AB1 平面

10、 BEC1， AB1平面 BEC1例 7 在四棱錐 PABCD中，平面 PAD平面 ABCD， ABDC， PAD是等邊三角形，已知 BD2AD8， AB2DC45 ( ) 設(shè) M是 PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面 PAD；( ) 求四棱錐P ABCD的體積【分析】 本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是 PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知， MB，MD隨點(diǎn) M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線BD是否垂直平面 PAD證明： ( ) 在 ABD中，由于 AD4，BD8， AB45 ，222所以 AD BD AB故 AD BD又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平

11、面 ABCD AD， BD平面 ABCD，所以 BD平面 PAD，又 BD 平面 MBD，故平面 MBD平面 PAD( ) 解：過 P作 POAD交 AD于 O，。5歡迎下載精品文檔由于平面 PAD平面 ABCD，所以 PO平面 ABCD因此 PO為四棱錐 P ABCD的高，3又 PAD是邊長為 4 的等邊三角形因此PO42 3.2在底面四邊形ABCD中， AB DC，AB 2DC，所以四邊形 ABCD是梯形， 在 Rt ADB中，斜邊 AB邊上的高為488 5，即為梯形455ABCD的高，所以四邊形 ABCD的面積為25458524. 故S251 24VP ABCD2 316 3.3練習(xí)一、

12、選擇題：1已知 m， n 是兩條不同直線， 是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是( )(A) 若 m ， n，則 m n(B) 若 m， n，則 m n(C) 若 ， ，則(D) 若 m， m，則2已知直線 m， n 和平面，且 m n， m，則 ()(A) (B)n ，或nn(C) n(D) n，或 n3設(shè) a， b 是兩條直線，、是兩個(gè)平面，則a b 的一個(gè)充分條件是 ()(A) a ， b，(B) a，b， (C) a， b，(D) a， b，4設(shè)直線m與平面相交但不垂直，則下列說法中正確的是()(A) 在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直(B) 過直線 m有且只有一個(gè)平面與平面垂直(C)

13、 與直線 m垂直的直線不可能與平面平行(D) 與直線 m平行的平面不可能與平面 垂直二、填空題：5在三棱錐P ABC中， PAPB6 ，平面 PAB平面 ABC， PA PB， ABBC， BAC 30°，則 PC_ 6在直四棱柱ABCD A1B1C1D1 中，當(dāng)?shù)酌?ABCD滿足條件 _ 時(shí)，有 A1C B1D1( 只要求寫出一種條件即可 )7設(shè) ，是兩個(gè)不同的平面，m， n 是平面，之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷： n m nm以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出正確的一個(gè)命題_8已知平面平面， l ，點(diǎn) A， Al ，直線 AB l ，直線 ACl ，直線 m

14、， m，給出下列四種位置： AB m； AC m； AB ； AC，上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是_三、解答題：9如圖，三棱錐 P ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長是1 的等邊三角形， M，N分別為 PA，BC的中。6歡迎下載精品文檔點(diǎn)( ) 求 MN的長；( ) 求證： PABC10如圖，在四面體ABCD中， CB CD， AD BD，且 E、 F 分別是 AB、 BD的中點(diǎn)求證：( ) 直線 EF平面 ACD；( ) 平面 EFC平面 BCD11如圖，平面 ABEF平面 ABCD，四邊形 ABEF與 ABCD都是直角梯形， BAD FAB90°，BC AD， BC1 AD,

15、 BE / AF , BE 1 AF ，G， H分別為 FA， FD的中點(diǎn)22( ) 證明：四邊形BCHG是平行四邊形；( ) C， D， F，E 四點(diǎn)是否共面?為什么 ?( ) 設(shè) AB BE，證明：平面ADE平面 CDE專題七立體幾何參考答案練習(xí)一、選擇題：1B2D3C4B。7歡迎下載精品文檔二、填空題：5106 AC BD( 或能得出此結(jié)論的其他條件)7、；或、 8 三、解答題：9 ( ) 解：連接MB， MC三棱錐 P ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長是1 的等邊三角形，MB MC3，且底面 ABC也是邊長為1 的等邊三角形2 N為 BC的中點(diǎn)， MN BC在 Rt MNB中， MNMB 2B

16、N222( ) 證明： M是 PA的中點(diǎn)， PAMB，同理 PA MC MBMC M， PA平面 MBC，又 BC 平面 MBC， PA BC10證明： ( ) E、 F 分別是 AB、 BD的中點(diǎn)， 是的中位線，EFABDEFAD又 EF平面 ACD，AD平面 ACD，直線 EF平面 ACD() ，EFAD AD BDEFBDCB CD，F(xiàn) 是 BD的中點(diǎn)， CF BDCF EFF， BD平面 CEFBD平面，平面平面BCDEFCBCD11 ( ) 由題意知， FG GA，F(xiàn)H HD， GH AD， GH1 AD,1 AD ， GHBC， GHBC，2又 BC AD， BC2四邊形 BCHG是平行四邊形( ) C， D， F，E 四點(diǎn)共面理由如下：。8歡迎下載精品文檔由 BE AF， BF1 AF ， G是 FA的中點(diǎn)，2得 BE FG，且 BE FG EFBG由(