數(shù)學分析公式

1、導數(shù)公式：(tgx)sec2 x(ctgx)csc2 x(secx)secx tgx(cscx)cscx ctgx(a x )a x ln a(log a x)1x ln a基本積分表：;.高等數(shù)學公式1(arcsin x)x21(arccos x)11x21( arctgx )21 x( arcctgx )1x21tgxdxctgxdxsecxdxcscxdxdx22axx2a2dx22axa2x2ln cosxCln sin xCln secxtgxCln cscxctgx C1 arctg x Caa1 ln xaC2axa1 ln axC2aaxxCarcsinadxsec2 xdxt

2、gx Ccos2 xdxcsc2 xdxctgxCsin 2 xsecx tgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCa xdxa xCln ashxdxchxCchxdxshxCdxln( xx2a 2 )Cx 2a22sin n xdx2cosn xdxn1 I nI n200nx2a2 dxxx2a2a2ln( xx2a2 )C22x2a2dxxx2a2a2ln xx2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函數(shù)的有理式積分：sin x2u， cos x1u2，u tgx，dx2du1 u 21u221 u2;.'.一些初等函數(shù)：雙曲正弦 : s

3、hxexe x2雙曲余弦 : chxexe x2shxexe雙曲正切 : thxexechxarshx ln( x x2）1兩個重要極限：limsin x1xx 0lim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x xxxarchxln( xx21)arthx1 ln 1x2 1x三角函數(shù)公式：·誘導公式：函數(shù)sincostgctg角 A-sin cos -tg -ctg 90°-cos sin ctg tg 90°+cos -sin -ctg -tg 180°-sin -cos -tg-ctg 180°+-sin -cos t

4、g ctg 270°-cos -sin ctg tg 270°+-cos sin -ctg -tg 360°-sin cos -tg -ctg 360°+sin cos tg ctg ·和差角公式：·和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2 sinsin22;.'.·倍角公式：sin 22 sincosc

5、os22cos211 2 sin2cos2sin2sin33sin4 sin3ctg2ctg 21cos34 cos33cos2ctg3tgtg3tg32tg13tg 2tg 21tg 2·半角公式：sin1 coscos1cos2222tg1cos1cossinctg1cos1cossin1cossin1cos1cossin1cos22·正弦定理：abc2R·余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccos xarctgx2arcctgx2高階導數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz ）公式：

6、(uv)( n )nCnku ( n k ) v(k )k 0u( n) vnu ( n 1) vn(n1) u (n 2) vn(n1) ( n k1) u( n k)v (k )uv(n )2!k!中值定理與導數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f (b)f (a)f ( )(ba)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當 F( x)x時，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 y tg平均曲率：K.: 從 M 點到 M 點，切線斜率的傾角變化量；s： MM 弧長。sM 點的曲率： Klimdy.sds2s0(1 y)3直線：

7、 K0;半徑為 a的圓： K1 .a;.'.定積分的近似計算：bba ( y0矩形法： f ( x)y1yn 1 )anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn 1 an2bba ( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn2 ) 4( y1y3yn 1 )a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： WF s水壓力： Fp A引力： Fk m1m2,k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf (x)dxba a1b均方根：f 2 (t )dtb a a空間解析幾何和向量代數(shù)：空間 2點的距離： dM1M2(x2x1) 2( y2y1 )2( z2 z1 )2向量在軸

8、上的投影： Pr j u ABAB cos ,是 AB與 u軸的夾角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一個數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbx ay byazbz2ay22222axazbxbybzijkc a baxayaz , cab sin.例：線速度： vw r .bxbybzaxayaz向量的混合積： ab c(ab )cbxbybza bc cos ,為銳角時，cxc ycz代表平行六面體的體積。;.'.平面的方程：1、點法式： A( xx0 )B( yy0 )C ( z z0 ) 0，其中 n

9、A, B, C, M 0 (x0 , y0 , z0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點到該平面的距離： dAx0By0A2B2空間直線的方程： x x0y y0z z0t,其中 smnp二次曲面：Cz0 DC 2xx0mt m, n, p; 參數(shù)方程： yy0ntzz0pt1、橢球面： x2y2z21a2b2c2、拋物面： x2y 2（同號）22qz,p, q2 p3、雙曲面：單葉雙曲面： x2y2z22221abc雙葉雙曲面： x2y2z2（馬鞍面）a2b2c21多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxy

10、xyz全微分的近似計算：z dzf x ( x, y)x f y (x, y)y多元復合函數(shù)的求導法 ：zf u(t ), v(t)dzzuzvdtutvtzf u(x, y), v( x, y)zzuzxuxv當u，時，u( x, y)vv( x, y)duu dxu dydvv dxv dyxyxy隱函數(shù)的求導公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dyFx ，d 2 y0dxFydx 2隱函數(shù)F ( x, y, z)， zFx ，z0xFzyvxFx(Fxdy()Fy)x FyydxFyFz;.'.F (x, y,u, v)0(F ,G)FFFuFv隱函數(shù)方程組：uvG(x, y,u,

11、v)0JGGGuGv(u,v)uvu1(F,G)v1(F ,G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1(F,G)v1(F,G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：x(t )空間曲線y(t )在點 M (x0 , y0 , z0 )處的切線方程： x x0yy0zz0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在點 M 處的法平面方程：(t0 )( xx0 )(t0 )( yy0 )(t 0 )( z z0 )0若空間曲線方程為： F ( x, y, z) 0,則切向量 TFyFzFxFx, Fz,G ( x, y, z) 0G yG z G zG x Gx曲面 F ( x, y,

12、 z) 0上一點 M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過此點的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、過此點的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( y y0 )3、過此點的法線方程：x x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )FyG yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)zf ( x, y)

13、在一點沿任一方向的方向?qū)?shù)為： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù)zf ( x, y)在一點的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中e cosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函數(shù)的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0,( x0 , y0 )為

14、極大值0時，B 2A 0,( x0 , y0 )為極小值則： AC0時，無極 值A(chǔ)CB 20時 ,不確定;.'.重積分及其應(yīng)用：f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x, y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于 x軸 I xy2( x, y)d,對于 y軸 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對 z軸上質(zhì)點 M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy ,

15、Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，F(xiàn)zfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐標和球面坐標：xr cos柱面坐標： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐標：, z) f (r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddd

16、dF (r , )r 2 sindr0001x dv,y1ydv,z1z dv，其中 Mxdv重心： xMMM轉(zhuǎn)動慣量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲線積分：第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）：設(shè) f (x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為：x(t)(t), 則：y,(t)f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t)dt()xt特殊情況：Ly(t );.'.第二類曲線積分（對坐 標的曲線積分）：設(shè)L 的參數(shù)方程為 x(t)，則：y(t )P( x, y)dx Q( x, y)dy P (t ),(t )

17、(t ) Q(t ), (t)(t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān) 系：PdxQdy(P cosQ cos，其中 和 分別為) dsLLL上積分起止點處切向量 的方向角。格林公式：(QP格林公式：QPPdx Qdyx)dxdyPdx Qdy()dxdyDyLDxyL當Py,Qx，即： QP時，得到D的面積：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲線積分與路徑 無關(guān)的條件：·、是一個單連通區(qū)域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù) ，且Q P 。注意奇點，如 (0,0)，應(yīng)xy減去對此奇點的積分， 注意方向相反！·二元函數(shù)的全微分

18、求積 ：在 Q P 時， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u(x, y)的全微分，其中：x y( x, y)u(x, y)P( x, y) dx，通常設(shè)x0。Q( x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對面積的曲面積分：f ( x, y, z) dsf x, y, z(x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y) dxdyD xy對坐標的曲面積分：，其中：P(x, y, z)dydz Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上側(cè)時取正 號；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP( x, y,

19、 z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前側(cè)時取正 號；D yzQ( x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時取正 號。D zx兩類曲面積分之間的關(guān) 系： PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosRcos )ds高斯公式：;.'.(PQR )dvPdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos )dsxyz高斯公式的物理意義 通量與散度：散度：divPQR 即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失.xyz,通量：A ndsAn ds(P cosQ cosR cos，)ds因此，高斯公

20、式又可寫成： div AdvAnds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ ) dydz (PR) dzdx ( QP ) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無 關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdz A t dsA常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：qq2n11 qn1q1q等差數(shù)列：23(n1)n1n2調(diào)和級數(shù)： 111 是發(fā)散的123n級數(shù)審斂法：;.'.、正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判

21、 別法）：1時，級數(shù)收斂1設(shè)：limnun，則時，級數(shù)發(fā)散1n時，不確定1、比值審斂法：2時，級數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時，級數(shù)發(fā)散U n1n時，不確定1、定義法：3sn u1u2un ; lim sn 存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)u1u2u3u4或的審斂法 萊布尼茲定理：(u1 u2 u3,un 0)如果交錯級數(shù)滿足un un1u1 ,其余項 rn的絕對值 rn un 1。lim un，那么級數(shù)收斂且其和 s0n絕對收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un 為任意實數(shù)；(2) u1u2u3un如果 ( 2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù)；如果 ( 2)

22、發(fā)散，而 (1)收斂，則稱 (1)為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：1 發(fā)散，而( 1)n 收斂；nn級數(shù)：1 收斂；n2p級數(shù)：1 時發(fā)散n pp1時收斂冪級數(shù)：;.'.x1時，收斂于11 x x 2x3x n1 xx1時，發(fā)散對于級數(shù) (3) a0a1x a2 x 2an x n，如果它不是僅在原點收斂，也不是在全xR時收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使x R時發(fā)散 ，其中 R稱為收斂半徑。x R時不定10時， R求收斂半徑的方法：設(shè)liman 1，其中 an， an 1是 (3)的系數(shù)，則0時， Rnan時，R 0函數(shù)展開成冪級數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)：f (x)f ( x0 )( xx0

23、 )f ( x0 ) ( xx0 )2f ( n) ( x0 ) ( x x0 )nf ( n1) ( ) ( x2!n!余項： Rnx0 )n 1 , f ( x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是： lim Rn 0(n1)!nx0 0時即為麥克勞林公式：f (x) f (0)f (0)xf (0) x2f (n ) (0) xn2!n!一些函數(shù)展開成冪級數(shù)：(1 x) m1mxm( m1) x2m(m1)(mn 1) xn( 1 x 1)2!n!sin x xx3x5( 1)n 1x2 n 1(x)3!5!(2n 1)!歐拉公式：cosxeixeix2或e cosx i sin xeixes

24、in x2ixix三角級數(shù)：f (t ) A0An sin( ntn )a0( an cosnxbn sin nx)2n 1n1其中， a0aA0， anAn sinn， bnAn cosn， tx。正交性：,cos2sin,cos任意兩個不同項的乘積在 , 1,sin , cos , sin 2xxnxnxxx上的積分 0。傅立葉級數(shù)：;.'.f (x)a0(an cosnx bn sin nx)，周期22n 1an1f (x) cosnxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x)sinnxdx(n1,2,3)11211121（相加）1522232423286111211121（相減）2242622232422412正弦級數(shù)： an2f ( x) sin nxdxn1,2,3f ( x)bn sin nx是奇函數(shù)0， bn0余弦級數(shù)： bn2f ( x) cosnxdxn0,1,2f ( x)a0an cosnx是偶函數(shù)0， an20周期為 2l 的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)：;.'.f (x)a0(an cos nxbn sin nx )，周期2l2n1llan1 lf ( x) cos nx dx(n0,1,2)其中l(wèi)ll1 lf (x