普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國Ⅰ理)含詳解

1、普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷分第卷(選擇題)和第卷(非選擇題)兩部分。第卷1至2頁。第卷3至4頁?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目。2每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，在試題卷上作答無效。3本卷共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。參考公式：如果時間A、B互斥，那么如果時間A、B相互獨(dú)立，那么如果事件A在一次試驗(yàn)中

2、發(fā)生的概率是P，那么n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率球的表面積公式，其中R表示球的半徑球的體積公式，其中R表示球的半徑一、選擇題、設(shè)集合，則A BC D、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則A BC D、雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則A B C D、如果復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)A B C D、函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A BC D、的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若a、b、c成等比數(shù)列，且，則A B C D、已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是A B C D、拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A B C D、設(shè)平面向量、的和。如果向量、，滿足，且順時針旋

3、轉(zhuǎn)后與同向，其中，則A BC D、設(shè)是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則A B C D、用長度分別為2、3、4、5、6（單位：）的5根細(xì)木棒圍成一個三角形（允許連接，但不允許折斷），能夠得到的三角形的最大面積為A B C D、設(shè)集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù)，則不同的選擇方法共有A B C D2006年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第卷注意事項(xiàng)：1.答題前，考生在答題卡上務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，并貼好條形碼。請認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名和科目。2第卷共2頁，請用黑色簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效。3本卷

4、共10小題，共90分。二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。、已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側(cè)面與底面所成的二面角等于_。、設(shè)，式中變量滿足下列條件則z的最大值為_。、安排7位工作人員在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_種。（用數(shù)字作答）、設(shè)函數(shù)。若是奇函數(shù)，則_。三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。、（本小題滿分12分）的三個內(nèi)角為，求當(dāng)A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。、（本小題滿分12分）A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試

5、驗(yàn)組進(jìn)行對比試驗(yàn)。每個試驗(yàn)組由4只小白鼠組成，其中2只服用A，另2只服用B，然后觀察療效。若在一個試驗(yàn)組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該試驗(yàn)組為甲類組。設(shè)每只小白鼠服用A有效的概率為，服用B有效的概率為。（）求一個試驗(yàn)組為甲類組的概率；（）觀察3個試驗(yàn)組，用表示這3個試驗(yàn)組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望。、（本小題滿分12分）如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，。（）證明；（）若，求與平面ABC所成角的余弦值。、（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點(diǎn)P在C上，

6、C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（）點(diǎn)M的軌跡方程；（）的最小值。（21）、（本小題滿分14分）已知函數(shù)。（）設(shè)，討論的單調(diào)性；（）若對任意恒有，求的取值范圍。（22）、（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：一、選擇題: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B二、填空題: 13. 14. 11 15. 2400 16. 一、選擇題題號123456789101112答案BDABCBCADBBB1解：=，=， ，選B.2解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以是的反函數(shù)，即=， ，

7、選D.3雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍， m<0，且雙曲線方程為， m=，選A.4復(fù)數(shù)=(m2m)+(1+m3)i是實(shí)數(shù)， 1+m3=0，m=1，選B.5函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間滿足， 單調(diào)增區(qū)間為，選C.6中，a、b、c成等比數(shù)列，且，則b=a，=，選B.7正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為2， 球的半徑為，球的表面積是，選C.8設(shè)拋物線上一點(diǎn)為(m，m2)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)m=時，取得最小值為，選A.9向量、的和。向量、順時針旋轉(zhuǎn)后與、同向，且， ，選D.10是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若，則， d=3，選B.11用2、5連接，3、4連接各

8、為一邊，第三邊長為7組成三角形，此三角形面積最大，面積為，選B.12若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=10種；若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=5種；若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素

9、，則選法種數(shù)有=1種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種數(shù)有=1種；總計(jì)有，選B.解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，從5個元素中選出2個元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；從5個元素中選出3個元素，有=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；從5個元素中選出4個元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；從5個元素中選出5個元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩

10、組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；總計(jì)為10+20+15+4=49種方法。選B.二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。13. 14. 11 15. 2400 16. 13正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側(cè)面與底面所成的二面角的正切tan=, 二面角等于。14，在坐標(biāo)系中畫出圖象，三條線的交點(diǎn)分別是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在ABC中滿足的最大值是點(diǎn)C，代入得最大值等于11.15先安排甲、乙兩人在后5天值班，有=20種排法，其余5人再進(jìn)行排

11、列，有=120種排法，所以共有20×120=2400種安排方法。16，則=，為奇函數(shù)， =.三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 當(dāng)sin = , 即A=時, cosA+2cos取得最大值為18.解: (1)設(shè)Ai表示事件“一個試驗(yàn)組中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,Bi表示事件“一個試驗(yàn)組中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, 依題意有

12、: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , P(B1)=2× × = , 所求概率為: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)= × + × + × = ()的可能值為0,1,2,3且B(3,) . P(=0)=()3= , P(=1)=C31××()2=, P(=2)=C32×()2× = , P(=3)=( )3= 0123P的分布列為: 數(shù)學(xué)期望: E=3× =

13、.19.解法一: ()由已知l2MN, l2l1 , MNl1 =M, 可得l2平面ABN.由已知MNl1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB. 又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影.ABMNCl2l1HACNB （）RtCANRtCNB, AC=BC,又已知ACB=60°,因此ABC為正三角形.RtANBRtCNB, NC=NA=NB,因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心,連結(jié)BH,NBH為NB與平面ABC所成的角.ABMNCl2l1Hxyz在RtNHB中,cosNBH= = = .解法二: 如圖,建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz.令MN=1, 則有A(1,0,0)

14、,B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂線, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z軸. 故可設(shè)C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). ·=1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60°,ABC為正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).連結(jié)MC,作NHMC于H,設(shè)H(0, ) (>0). =(0,1,), =(0,1, ). · = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 連結(jié)

15、BH,則=(1, ),·=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH為NB與平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = 20.解: 橢圓方程可寫為: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲線C的方程為: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '= 設(shè)P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= ,得切線AB的方程為: y= (xx0)+y0 . 設(shè)A(x,0)和B(0,y),由切線方程得 x= , y= .

16、由= +得M的坐標(biāo)為(x,y), 由x0,y0滿足C的方程,得點(diǎn)M的軌跡方程為: + =1 (x>1,y>2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且當(dāng)x21= ,即x=>1時,上式取等號.故|的最小值為3.21.解()f(x)的定義域?yàn)?,1)(1,+).對f(x)求導(dǎo)數(shù)得 f '(x)= eax. ()當(dāng)a=2時, f '(x)= e2x, f '(x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).為增函數(shù).()當(dāng)0<a<2時, f '(x

17、)>0, f(x)在(,1), (1,+)為增函數(shù). ()當(dāng)a>2時, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= , x2= .當(dāng)x變化時, f '(x)和f(x)的變化情況如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f '(x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)為增函數(shù), f(x)在(,)為減函數(shù).()()當(dāng)0<a2時, 由()知: 對任意x(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.()當(dāng)a>2時, 取x0= (0,1),則由()知 f(x0)<f(0)=1()當(dāng)a0時, 對任意x(0,1),恒有 >1且eax1,得 f(x)= eax >1. 綜上當(dāng)且僅當(dāng)a(,2時,對任意x(0,1)恒有f(x)>1.22.解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,將和相減得: an=SnSn1= (anan1)