三年級奧數(shù)專題知識要點(diǎn)系列之方陣問題練習(xí)

1、1. 有一隊(duì)士兵 ,排成了一個(gè)方陣 ,最外層一周共有 240 人,問 這個(gè)方陣共有多少人 ?2. 某校少先隊(duì)員可以排成一個(gè)四層空心方陣如果最外層 每邊有 20 個(gè)學(xué)生 ,問這個(gè)空心方陣最里邊一周有多少個(gè)學(xué)生 這個(gè)四層空心方陣共有多少個(gè)學(xué)生 ?3. 六一兒童節(jié)前夕 ,在校園雕塑的周圍 ,用 204 盆鮮花圍 成了一個(gè)每邊三層的方陣求最外面一層每邊有鮮花多少盆 ?4. 三年級 (1) 班的學(xué)生參加體操表演 ,排成隊(duì)形正好是由 每 7 個(gè)人為一邊的 6 個(gè)三角形組成的一個(gè)正六邊形 ,求正六邊 形一周共有多少名學(xué)生 ?三(1) 班參加體操表演的共有多少人5. 現(xiàn)有松樹和柏樹以隔株相間的種法 ,種成 9

2、 行 9 列的方 陣 ,問這個(gè)方陣最外層有松樹和柏樹各多少棵?方陣中共有松樹柏樹各多少棵 ? 三年級奧數(shù)知識要點(diǎn)系列之方陣練習(xí)答案（2）（20-2 ×3-1） ×4=42（ 個(gè) ） （20-40 ×4×4=256（ 個(gè)）（3）最外層每邊人數(shù) = 總數(shù)÷4÷層數(shù)+ 層數(shù)204 ÷4 ÷3+3=20（ 盆）（4）7 ×6-6=36（ 人 ） 7×12-6 ×2-5=67（ 人 ）（5）最外層松柏各是 :（9-1） ×4÷2=16（ 棵）共有松柏樹是 :（9 ×

3、9+1） ÷2=41（ 棵）81-41=40（ 棵）答:柏樹 41 棵,松樹 40 棵 ,或松樹 41 棵 ,柏樹 40 棵。士兵排隊(duì) ,橫著排叫行 ,豎著排叫列 ,若行數(shù)與列數(shù)都相等 正好排成一個(gè)正方形 ,這就是一個(gè)方隊(duì) ,這種方隊(duì)也叫做方陣 （亦叫乘方問題 ）。方陣的基本特點(diǎn) : （1）方陣不論哪一層 ,每邊上的人 （或物 ）數(shù)量都相同 ,每向里一層 ,每邊上的 人數(shù)就少 2（2）每邊人 （或物 ）數(shù)和四周人 （或物 ）的關(guān)系 ;四周人 （或物）數(shù)= 每邊人 （或物 ）數(shù)-1 ×4每邊人 （或物）數(shù)= 四周人 （或物 ）數(shù)÷4+1（3）中實(shí)方陣的總?cè)藬?shù) （或物

4、 ）= 每邊人 （或物 ）數(shù)×每邊人 （或物 ）數(shù)（4）空心方陣的總?cè)?（或物 ）數(shù)=（最外層每邊人 （或物）數(shù) 空心方陣的層數(shù)）×空心方陣的層數(shù)× 4例 1. 三年級一班參加運(yùn)動(dòng)會入場式 ,排成一個(gè)方陣 ,最外 層一周的人數(shù)為 20 人 ,問方陣最外層每邊的人數(shù)是多少 ?這 個(gè)方陣共有多少人 ?分析 :根據(jù)四周人數(shù)與每邊人數(shù)的關(guān)系可知 :每邊人數(shù) = 四周人數(shù)÷ 4+1, 可以求出這個(gè)方陣最外層每 邊的人數(shù) ,那么這個(gè)方陣隊(duì)列的總?cè)藬?shù)就可以求了。解:(1) 方陣最外層每邊的人數(shù) :20 ÷4+1=5+1=6( 人)(2) 整個(gè)方陣共有學(xué)生人數(shù)

5、 :6×6=36( 人) 答:方陣最外層每邊的人數(shù)是 6 人,這個(gè)方陣共有 36 人。 例 2. 明明用圍棋子擺成一個(gè)三層空心方陣,如果最外層每邊有圍棋子 15 個(gè) ,明明擺這個(gè)方陣最里層一周共有多少棋 子?擺這個(gè)三層空心方陣共用了多少個(gè)棋子 ?分析:(1)方陣每向里面一層 ,每邊的個(gè)數(shù)就減少 2 個(gè),知道 最外面一層 ,每邊放 15 個(gè),可以求出最里層每邊的個(gè)數(shù) ,就可 以求出最里層一周放棋子的總數(shù)。(2) 根據(jù)最外層每邊放棋子的個(gè)數(shù)減去這個(gè)空心方 陣的層數(shù) ,再乘以層數(shù) ,再乘以 4, 計(jì)算出這個(gè)空心方陣共用棋 子多少個(gè)。解:(1) 最里層一周棋子的個(gè)數(shù)是 :(15-2-2-1)

6、 ×4=40( 個(gè))(2) 這 個(gè) 空 心 方 陣 共 用 的 棋 子 數(shù) 是 :(15-3) ×3 ×4=144（ 個(gè) ）答:這個(gè)方陣最里層一周有 40 個(gè)棋子 ;擺這個(gè)空心方陣共 用 144 個(gè)棋子。例 3. 玲玲家的花園中 ,有一個(gè)如下圖那樣 ,由四個(gè)大小相 同的小等邊三角形組成的一個(gè)大三角形花壇,玲玲在這個(gè)花壇上種了若干棵雞冠花 ,已知每個(gè)小三角形每邊上種雞冠花5棵 ,問大三角形的一周有雞冠花多少棵 ?玲玲一共種雞冠花多 少棵?分析 :(1) 由圖可知大三角形的一條邊是由兩條小三角形 的邊組成的 ,而在大三角形一條邊的中間那棵花 , 是兩條小三 角形的邊所

7、共用的 ,所以如果小三角形每邊種花 5 棵 ,那么大 三角形每邊上種花的棵數(shù)就是 5×2-1=9 棵了 ,又由于大三角 形三個(gè)頂點(diǎn)上的 3 棵花 ,都是大三角形的兩條邊所共用的 ,所 以大三角形一周種花的棵數(shù)等于大三角形三邊上種花棵數(shù) 的和減去三個(gè)頂點(diǎn)上重復(fù)計(jì)算的3 棵花 ,即:9×3-3=24, 就是大三角形一周種花的棵數(shù)。(2) 三角形各條邊上種雞冠花棵數(shù)的總和,等于里邊小三角形一周上種花的棵數(shù) ,加上大三角形一周種花的棵數(shù) ,再減去重復(fù)計(jì)算的 3 棵花 （因?yàn)槔镞呅∪切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)上 的三棵花 ,也分別是外邊大三角形每條邊上的一棵花）。解 :（1） 大 三 角 形 一

8、 周 上 種 花 的 棵 數(shù) 是 :（5 × 2-1） × 3-3=24（ 棵 ）（2） 小三角形一周種雞冠花的棵數(shù)是 :（5-1） ×3=12（ 棵）（3） 玲玲一共種雞冠花的棵數(shù)是 :24+12-3=33（ 棵）答:大三角形一周種雞冠花 24 棵 ;玲玲一共種雞冠花 33 棵。例 4. 五年級學(xué)生分成兩隊(duì)參加學(xué)校廣播操比賽,他們排成甲乙兩個(gè)方陣 ,其中甲方陣每邊的人數(shù)等于8, 如果兩隊(duì)合并 ,可以另排成一個(gè)空心的丙方陣 ,丙方陣每邊的人數(shù)比乙方 陣每邊的人數(shù)多 4 人 ,甲方陣的人數(shù)正好填滿丙方陣的空心 五年級參加廣播操比賽的一共有多少人 ?分析 :若只排列一

9、個(gè)乙方陣 ,則多余的人數(shù)為 （即甲方陣的 人數(shù) ）8×8=64（ 人）,排列一個(gè)實(shí)心的丙方陣 ,不足的人數(shù)是 :8× 8=64（ 人）假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣 ,則乙多的人數(shù)是 :8 ×8+8 ×8=128( 人 ),又根據(jù)方陣擴(kuò)展一層 ,每邊增加 2 人 ,丙方陣比乙 方陣的外邊多 4 人 ,丙方陣多于乙方陣的層數(shù)是 4÷2=2( 層 ), 方陣擴(kuò)展 2 層 ,需要增加 128 人,則方陣最外層的人數(shù)是 (128+2 ×4) ÷2=68( 人 ), 丙 方 陣 的 總 人 數(shù) 18 ×18-8 × 8=26

10、0( 人 )解:(1) 假設(shè)丙方陣為實(shí)心方陣 ,則方陣最外層的人數(shù)是 :(8 ×8+8 ×8+2 ×4) ÷2=68( 人)(2)丙方陣最外層每邊的人數(shù)是 :68 ÷4+1=18( 人)(3)空心丙方陣的總?cè)藬?shù) :18×18-8 ×8=324-64=260( 人 )答 :五年級參加廣播操比賽的一共有260 人。例 5. 有楊樹和柳樹以隔株相間的種法 ,種成 7 行 7 列的 方陣 ,問這個(gè)方陣最外一層有楊樹和柳樹各多少棵?方陣中共有楊樹 ,柳樹各多少棵 ?分析 :根據(jù)已知條件柳樹和楊樹的種法有如下兩種,假設(shè)黑點(diǎn)表示楊樹 ,白

11、點(diǎn)表示柳樹觀察圖 (1)(2) 不管是柳樹種在方 陣最外層的角上還是楊樹種在方陣最外層的角上,方陣中除 最里邊一層外其它層楊樹和柳樹都是相同的。因而楊樹和柳 樹的棵數(shù)相等 ,即最外層楊 ,柳樹分別為 (7-1) ×4 ÷2=12( 棵)。當(dāng)柳樹種在方陣最外層的角上時(shí) ,最內(nèi)層的一棵是柳樹 ; 當(dāng)楊樹種在方陣最外層的角上時(shí) ,最內(nèi)層的一棵是楊樹 ,即在 方陣中 ,楊樹和柳樹總數(shù)相差 1 棵。解:(1) 最外層楊柳樹的棵數(shù)分別為 :(7-1) ×4÷2=12( 棵)(2) 當(dāng)楊樹種在最外層角上時(shí) ,楊樹比柳樹多 1 棵 : 楊樹 :(7 ×7+1) ÷2=25( 棵) 柳樹 :7×7-25=24( 棵 )(3) 當(dāng)柳樹種在最外層角上時(shí)