高數(shù)第九章-多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

1、總界面總界面 結(jié)束結(jié)束 濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 2021/8/14第九章第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第九章第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2，)(xfy 一元函數(shù)一元函數(shù)映射：映射：.RRIf ：二元函數(shù)，二元函數(shù)， 映射：映射：.2RRDf ：一元函數(shù)的鄰域一元函數(shù)的鄰域. 0 設(shè)設(shè),鄰域鄰域的的稱(chēng)為點(diǎn)稱(chēng)為點(diǎn)數(shù)集數(shù)集 aaxx ).,( aUo記作記作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫做這鄰域的半徑叫做

2、這鄰域的半徑 . ),( axaxaUxa a a ,鄰鄰域域的的去去心心的的點(diǎn)點(diǎn) a. 0),( axxaUo第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3一、平面點(diǎn)集一、平面點(diǎn)集0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4(1) (1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集設(shè)有點(diǎn)集 E E 及一點(diǎn)及一點(diǎn) P P : : 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P P 的某鄰域的某鄰域 U U( (P P) ) E E , , 若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) P P 的某鄰域的某鄰域 U U(

3、 (P P) ) E E = = , , 若對(duì)點(diǎn)若對(duì)點(diǎn) P P 的任一鄰域的任一鄰域 U U( (P P) ) 既含既含 E E中的內(nèi)點(diǎn)也含中的內(nèi)點(diǎn)也含 E EE則稱(chēng)則稱(chēng) P P 為為 E E 的內(nèi)點(diǎn)；的內(nèi)點(diǎn)；則稱(chēng)則稱(chēng) P P 為為 E E 的外點(diǎn)的外點(diǎn) ; ;則稱(chēng)則稱(chēng) P P 為為 E E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) . .的外點(diǎn)的外點(diǎn) , ,顯然顯然, , E E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E E , , E E 的外點(diǎn)必不屬于的外點(diǎn)必不屬于 E E , , E E 的的邊界點(diǎn)可能屬于邊界點(diǎn)可能屬于 E E, , 也可能不屬于也可能不屬于 E E . . 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下

4、頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5若對(duì)任意給定的若對(duì)任意給定的 , ,點(diǎn)點(diǎn)P P 的去心的去心),PU(E鄰域鄰域內(nèi)總有內(nèi)總有E E 中的點(diǎn)中的點(diǎn) , , 則則稱(chēng)稱(chēng) P P 是是 E E 的聚點(diǎn)的聚點(diǎn). .聚點(diǎn)可以屬于聚點(diǎn)可以屬于 E E , , 也可以不屬于也可以不屬于 E E ( (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 E E 的邊界點(diǎn)的邊界點(diǎn) ) )41),(221 yxyxE例如，例如，xyo第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6D D 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱(chēng) E E 為開(kāi)集；為開(kāi)集； 若點(diǎn)集若點(diǎn)集 E E E E , , 則稱(chēng)則稱(chēng)

5、E E 為閉集；為閉集； 若集若集 D D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D D 的折線(xiàn)相連的折線(xiàn)相連 , , 開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域. .則稱(chēng)則稱(chēng) D D 是連通的是連通的 ; ; 連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域連通的開(kāi)集稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域 , ,簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域簡(jiǎn)稱(chēng)區(qū)域 ; ;。 。 E E 的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 E E 的邊界的邊界, , 記作記作 E E ; ;第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7例如，在平面上例如，在平面上0),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22y

6、xyx開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域閉區(qū)域xyOxy21OxyOxy21O第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8 整個(gè)平面 點(diǎn)集 1),(xyx是開(kāi)集， 是最大的開(kāi)域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 .11 對(duì)區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K , 則稱(chēng) D 為有界域有界域 , 界域界域 .否則稱(chēng)為無(wú)無(wú)xyO第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9二、多元函數(shù)的概念 定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集設(shè)非空點(diǎn)集,nDRDPPfu, )(或點(diǎn)集 D 稱(chēng)為函數(shù)的定義域定義域 ; 數(shù)集DP,Pfuu)(稱(chēng)為函數(shù)的值域值域 .

7、特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)2),(),(RDyxyxfz當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)3),(),(RDzyxzyxfu映射RDf :稱(chēng)為定義在 D 上的 n 元函數(shù)元函數(shù) , 記作),(21nxxxfu第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 10 xzy例如例如, 二元函數(shù)二元函數(shù)221yxz定義域?yàn)?),(22 yxyx圓域說(shuō)明說(shuō)明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面., )sin(,yxz 又如的圖形一般為空間曲面 .12),(Ryx三元函數(shù) )arcsin(222zyxu定義域?yàn)?),(22

8、2zyxzyx圖形為4R空間中的超曲面.單位閉球xyzOOO第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11二、多元函數(shù)的極限二、多元函數(shù)的極限如如果果動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)),(yx與與定定點(diǎn)點(diǎn)),(00yx之之間間的的距距離離趨趨于于零零，就就稱(chēng)稱(chēng)動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)),(yx趨趨于于定定點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，記記作作 ),(),(00yxyx 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12定義定義2. 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù),),()(DyxfPf的的定定義義域域?yàn)闉?, ),(),(0PUDyxP 當(dāng)當(dāng), AyxfAPf ),()(則稱(chēng)則稱(chēng)A A為函數(shù)為函數(shù)若存在常

9、數(shù)若存在常數(shù) A ,記作記作，時(shí)的極限時(shí)的極限當(dāng)當(dāng)),(),(),(00yxyxyxf都有都有對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù) , , ,),(000的聚點(diǎn)的聚點(diǎn)是是DyxP總存在正數(shù)總存在正數(shù) ,Ayxfyxyx ),(lim),(),(00Ayxf),(),(),(00yxyx 或或二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13例1. 設(shè)設(shè))0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求證:. 0),(lim)0, 0(),(yxfyx證證:01sin)(2222yxyx故0),(lim)0, 0(),(yxfyxx

10、,00),( yxf,022時(shí)當(dāng)yx22yx 222yx ,總有要證 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14 若當(dāng)點(diǎn)),(yxP趨于不同值或有的極限不存在，解解: 設(shè) P(x , y) 沿直線(xiàn) y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在點(diǎn) (0, 0) 的極限.),(yxf故則可以斷定函數(shù)極限則有21kkk 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于,),(000時(shí)yxP不存在 .例2. 討論函數(shù)討論函數(shù)函數(shù)第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回

11、返回 結(jié)束結(jié)束 15例例3 3 求求 .)sin(lim)2,0(),(xxyyx解解xxyyx)sin(lim)2,0(),(yxyxyyx )sin(lim)2,0(),(yxyxyyyx2)2,0(),(lim)sin(lim 2 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16定義定義3 3三、多元函數(shù)的連續(xù)性三、多元函數(shù)的連續(xù)性第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17).()(lim)()()()(lim00000PfPfPPfPfPPfPfPPPP 處處連連續(xù)續(xù)，于于是是點(diǎn)點(diǎn)在在的的定定義義域域的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，則則是是數(shù)數(shù)，且且

12、是是初初等等函函時(shí)時(shí)，如如果果一一般般地地，求求第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18例例4 4 求求 .lim)2, 1(),(xyyxyx 解解xyyxyx )2, 1(),(lim2121 .23 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19例例5 5.11lim)0,0(),(xyxyyx 求求解解)11(11lim)0,0(),( xyxyxyyx111lim)0,0(),( xyyx.21 xyxyyx11lim)0,0(),( 第九章第九章 總界面總界面 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D D上的多元連續(xù)函數(shù)，如