函數(shù)的奇偶性與周期

1、 函數(shù)的奇偶性周期性（1）（1）函數(shù)的奇偶性的定義：（2）函數(shù)的奇偶性判別步驟和方法：（3）性質(zhì)：y= f（x）是偶函數(shù)y= f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱；y= f（x）是奇函數(shù)y= f（x）的圖象關(guān)于（0，0）中心對稱；奇函數(shù)y= f（x）在x=0處有定義，必有f(x)=0;偶（奇）函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于（0，0）對稱的兩個區(qū)間上單調(diào)性相反（同）；定義在R上的任意函數(shù)y= f（x）均可表示為一個偶函數(shù)和一個奇函數(shù)的和；奇函數(shù)的反函數(shù)還是奇函數(shù)； 既奇又偶函數(shù)f(x)=0;奇函數(shù)±奇函數(shù)=奇函數(shù); 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù);偶函數(shù)±偶函數(shù)=偶函數(shù); 偶函數(shù)奇(偶)函數(shù)=偶函數(shù);f

2、g（x） 一偶為偶。例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f(x)=;(2)f(x)=log2(x+) (xR);(3)f(x)=lg|x-2|.（4）f（x）=（x-2）；（5）f（x）=；（6）f（x）=例2(1).函數(shù)f(x)=log2(x+)+1（xR），若f（a）=2，則f（-a）的值為 （ ） A.3 B.0 C.-1 D.-2 (2)設(shè)偶函數(shù)f(x)=loga|x-b|在（-,0）上單調(diào)遞增，則f(a+1)與f(b+2)的大小關(guān)系為 （ ）A.f(a+1)f(b+2) B.f(a+1)f(b+2)C.f(a+1)f(b+2) D.f(a+1)f(b+2)(3).已知f（x）=是奇函數(shù)

3、，則實(shí)數(shù)a的值等于 （ ） A.1 B.-1 C.0 D.±1練習(xí)：1.(函數(shù)是 ( )A奇函數(shù) B.偶函數(shù) C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D.非奇非偶函數(shù)2.函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間-a，a (a0）上都是奇函數(shù)，則下列結(jié)論：f(x)-g(x)在-a,a上是奇函數(shù)；f(x)+g(x)在-a,a上是奇函數(shù)；f(x)·g(x)在-a,a上是偶函數(shù)；f(0)+g(0)=0,其中正確的個數(shù)是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.43. 若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對任意x1，x2R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，則下列說法一定正確的是 （ ）A.f（x）為奇函

4、數(shù) B.f（x）為偶函數(shù) C.f（x）+1為奇函數(shù) D.f（x）+1為偶函數(shù)4.函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則( ) A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù) C. D.是奇函數(shù)5.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x)，則f(6)的值為（ ） A.-1 B.0 C.1 D.26.（07天津）在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則函數(shù)（ ）A.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)B.在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)D.在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)函數(shù)的奇偶性周期性（2）周期函數(shù)的定義：例1.已知f(x)是實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且對任意xR,

5、f(x)=f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求證：f(x)是周期函數(shù).(2)已知f(4)=2，求f(2 008).例2 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且滿足f(x+2)=-f(x).（1）求證：f(x)是周期函數(shù)；（2）若f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)0x1時，f(x)=x,求使f(x)=-在0，2 009上的所有x的個數(shù).例3.設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足：fx1-x2=fX1fx2+1fx2-f(x1)；存在正常數(shù)a，使f(a)=1；求證：（1）y=f(x) 是奇函數(shù)；（2）y=f(x) 是周期函數(shù)，并且有一個周期為4a.練習(xí)1. 若f(x)的最小正周期為2T，且有f(

6、x+T)= f(T- x)對一切實(shí)數(shù)x恒成立，則f(x)是（ ）A 奇函數(shù) B 偶函數(shù) C 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D 非奇非偶函數(shù)2.（2009廣東）定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)又是以為周期的周期函數(shù),則等于 ( )A.-1 B.0 C.1 D.43.已知函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實(shí)數(shù)都有，則的值是 ( ) A. 0 B. C. 1 D. 4.已知函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，g（x）是R上的奇函數(shù)，且g（x）=f（x-1），若f（0）=2，則f（2 008）的值為 （ ）A.2 B.0 C.-2 D.±25.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且滿足f(x+2)=

7、-1f(x) ,當(dāng)2x3時，f(x)=x,則f(105.5)=( )A -2.5 B 2.5 C 5.5 D -5.56.設(shè)函數(shù)f(x)在（-,+)上滿足f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)，且在閉區(qū)間0，7上，只有f(1)=f(3)=0.（1）試判斷函數(shù)y=f（x)的奇偶性；（2）試求方程f(x)=0在閉區(qū)間-2 005，2 005上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論。函數(shù)的奇偶性周期性（3）例1（1）定義Mxn =x(x+1)(x+2)(x+3)(x+n-1).其中xR,nN*,例M-44=(-4)(-3)(-2)(-1)=24,則函數(shù)f(x)= Mx-10022005的奇偶性為

8、（ ）A f(x)是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B f(x)是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D f(x)是非奇非偶函數(shù)（2）設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)是單調(diào)函數(shù)，則滿足f(x)=fx+3x+4的所有x之和為( )A -3 B 3 C -8 D 8（3）(陜西)定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在-1，0上單調(diào)遞增，設(shè)， ，則大小關(guān)系是( )A B C D例2.已知函數(shù)f(x),當(dāng)x,yR時，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).（1）求證：f(x)是奇函數(shù)；（2）如果xR+，f（x）0,并且f(1)=-,試求f(x)在區(qū)間-2，6上的最值.例3.已知函數(shù)y=f

9、(x)的定義域?yàn)镽，且對任意a,bR,都有f(a+b)=f(a)+f(b)，且當(dāng)x0時，f(x)0恒成立，f(3)=-3. （1）證明：函數(shù)y=f(x)是R上的減函數(shù)；（2）證明：函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)；（3）試求函數(shù)y=f(x)在m,n（m,nZ）上的值域.1.(2009山東卷文)已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則( ). A. B. C. D. 2.(07重慶)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）A. B. C. D. 3.若函數(shù)f(x),g(x)分別為R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，且滿足f(x)-g(x)=ex，則有（ ）A f(2) <

10、 f(3) < g(0) B g(0) < f(3) < f(2) C f(2) < g(0)< f(3) D g(0) < f(2)< f(3) 4. （2009遼寧卷文）已知函數(shù)滿足：x4,則；當(dāng)x4時，則 （ ）A. B. C. D.5.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,則 6.已知函數(shù)f(x)=x2-cosx,對于-2，2上的任意x1，x2,有如下條件：x1>x2,x12>x22;x1>x2. 其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的條件序號是_7.設(shè)為常數(shù)，.若函數(shù)為偶函數(shù)，則=_