勾股定理證明方法

1、【證法1】（課本的證明）ab勾股定理的證明ba坐 RtA HAE, / EHA / GHD = 90o, / GHD = 90o.b做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形 從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b,所以面積相等即2 2 1 2 1a b 4 ab 二 c 4 ab22222,整理得 a2+b2=c2【證法2】（鄒元治證明）以a、b為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的 1ab面積等于2把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點(diǎn)在一條直線上

2、，B、F、C三點(diǎn)在一條直線上，C、G、D三點(diǎn)在一條直線上 Rt HAE 坐 RtA EBF, / AHE = / BEF / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o / HEF = 180o90o= 90o.四邊形EFGH是一個邊長為c的 正方形.它的面積等于c2.-Rt A GDH / HGD =-/ HGD + / EHA +-/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.2 ABCD是一個邊長為a + b的正方形，它的面積等于+b）a2b2 =c2 （a +b 丫 =4 江丄 ab +c22【證法3】（趙爽證明）以C為斜以a

3、、b為直角邊（b>a）, 邊作四個全等的直角三角形，則每個直角ab三角形的面積等于2.把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀v Rt DAH 坐 RtA ABE, / HDA = / EAB v / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一個邊長為c的正方形，它的面積等于c2.v EF = FG =GH =HE = ba ,/ HEF = 900.2 EFGH是一個邊長為b a的正方形，它的面積等于ba .2.2 2a b c【證法4】（1876年美國總統(tǒng)Garfield證明）2ab的面積等于 直線上v Rt EAD / ADE =v /

4、AED + / AED +以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形DbabE a B把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使 qA、E、B三點(diǎn)在一條坐 RtA CBE, / BEC/ ADE = 900, / BEC = 900. / DEC = 180090o= 90o DEC是一個等腰直角三角形,1 2它的面積等于2C又 v / DAE = 900, / EBC = 900,AD / BC.ABCD是一個直角梯形，它的面積等于1 1 12fe+b2ar2a2b2 二 c2【證法5】（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b ,斜邊長為

5、c.把 它們拼成如圖那樣的一個多邊形，使 D、E、F在一條直線上過C作AC的延長線交DF于點(diǎn)P.-D、E、F在一條直線上，且RtA GEF芻 RtA EBD, / EGF = / BED , / BED + / GEF = 90°/ / EGF + / GEF = 90° / BEG =180o 90o= 90o.AB = BE = EG = GA = c ,個邊長為c的正方形/ CBE = 90o.坐 RtA EBD, / ABC = / EBD./ CBE = 90o.bcDBPHa bABEG 是 / ABC + Rt A ABC / EBD +即 / CBD= 90

6、o.又T / BDE = 90o,Z BCP = 90o, BC = BD = a BDPC是一個邊長為a的正方形 同理，HPFG是一個邊長為b的正方形. 設(shè)多邊形GHCBE的面積為S,貝S2 2 1 a b = S 2 ab,2a2 b22 1 c-S 2 -ab2【證法6】（項明達(dá)證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為 a、b （b>a），斜邊 長為c.再做一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使 E、A、C三 點(diǎn)在一條直線上過點(diǎn)Q作QP/ BC,交AC于點(diǎn)P 過點(diǎn)B作BM丄PQ,垂足為M ;再過點(diǎn)F作FN丄PQ,垂足為Nt / BCA = 90o, Q

7、P / BC, / MPC = 90o,t BM 丄 PQ, / BMP = 90o, BCPM 是一個矩形，即/ MBC = 90o.T / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM = / ABC ,又T / BMP = 90o,/ BCA = 90o, BQ = BA = c , Rt A BMQ 坐 RtA BCA 同理可證RtA QNF幻RtA AEF從而將問題轉(zhuǎn)化為【證法4】（梅文鼎證明）【證法9】（楊作玫證明）做兩個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b （b>a）,斜邊長為c.再做

8、一個邊長為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形過A作AF丄AC ,AF交GT于F, AF交DT于R過B作BP丄AF，垂足為P.過D作DE與CB的延 長線垂直，垂足為E, DE交AF于Hv / BAD = 90o,Z PAC = 900,二 / DAH = / BAC. 又T / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c ,二 Rt DHA 坐 RtA BCA DH = BC = a, AH = AC = b 由作法知PBCA是一個矩形，所以 RtAAPB幻Rt BCA. 即 PB = CA = b, AP= a,從而 PH = b a.v Rt DGT 坐 RtA

9、 BCA , RtA DHA 坐 Rt BCA二 Rt DGT 坐 RtA DHA DH = DG = a，/ GDT = / HDA 又 v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o,DGFH是一個邊長為a的正方形二 GF = FH = a TF 丄 AF , TF = GTGF = b a TFPB是一個直角梯形，上底 TF=ba,下底BP= b,高FP=a + （ba） 用數(shù)字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為2AS8S3S4 = b b - a2Ah a b - a I b2

10、-一 ab= 2 ,C S1 S2 S3 S4 S52b -Si -S8從而有 BC2二BDABS5 =' S921S3 + S4 = b ab S8 2 把代入，得2 2 2c = S1 S2 b - S1 - S8 S8 S9 二 bS2 S9 = b2 a2a2 b2 二c2 【證法8】（利用相似三角形性質(zhì)證明）如圖，在RtA ABC中，設(shè)直角邊AC、BC的長度分別為a、b,斜邊AB的長為c,過點(diǎn)C作CD丄AB，垂足是D. 在 ADC 禾口 ACB 中，v / ADC = / ACB = 90o, / CAD = / BAC , ADC s ACB AD : AC = AC :

11、AB , 即 AC2 = AD* AB 同理可證， CDB s ACB222AC BC -：'：.AD DB AB =AB，即 a2 b2 =c2【證法7】（歐幾里得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)BF、 CD.過 C 作 CL 丄 DE, 交AB于點(diǎn)M，交DE于點(diǎn)L.v AF = AC , AB = AD ,/ FAB = / GAD , FAB 坐 GAD ,1 2v FAB的面積等于2a , GAD的面積等于矩形ADLM 的面積的一半，矩形ADLM的面積二a2.同理可證，矩形 MLEB的面積 二b2. v正方形A

12、DEB的面積c2二a2b2a2 b2=矩形ADLM的面積+矩形MLEB的面積5Q【證法10】（李銳證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為 a、b （b>a）,斜邊的長為c.做三個邊長分別 為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點(diǎn)在一條直線上.用 數(shù)字表示面積的編號（如圖）.v / TBE = / ABH = 90o, / TBH = / ABE 又 v / BTH = / BEA = 900,BT = BE = b, Rt HBT 坐 RtA ABE . HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DB

13、C + / BHT = / TBH + / BHT = 90o, / GHF = / DBC DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF 坐 RtA BDC.即 S7 二 S2.過Q作QM丄AG，垂足是 M由/ BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtA ABE 幻 Rt QAM 又 RtA HBT 幻Rt ABE所以 RtA HBT 幻 RtA QAM 即 S S5由 Rt ABE 坐 RtA QAM，又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE v / AQM + /

14、 FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE , / FQM = / CAR又 v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a ,Rt QMF 坐 RtA ARC.即 S S6 2c = Si S2 S3 S4 S52a 二 SiS62bS3S7Ss22=c【證法11】（利用切割線定理證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a，AC = b，斜邊AB = c.如圖，以B為圓心a 為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別于D、E,貝S BD = BE = BC = a因為/ BCA =90o,點(diǎn)C在。B上，所以AC是。B的切線.由

15、切割線定理，得在Rt ABC中，設(shè)直角邊BC = a, AC = b,斜邊AB = c （如圖）過點(diǎn)A作AD / CB，過點(diǎn)B作BD / CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內(nèi)接于一個圓根據(jù) 多列米定理，圓內(nèi)接四邊形對角線的乘積等于兩對邊乘積之和，有S7 = S2Ss = S5S4 = S6> > >2 2a b = SiS6S3S7Ss=Si S4S3S2S5b2BCAB DC 二 AD *BC AC *BD , AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 =BC2 AC2，即 c2 =a2 b2,2 . 2 2a b c .【證

16、法13】（作直角三角形的內(nèi)切圓證明）在Rt ABC中，設(shè)直角邊 BC = a , AC = b，斜邊AB = c作RtA ABC的內(nèi)切 切點(diǎn)分別為D、E、F （如圖），設(shè)。O的半徑為rAE = AF，BF = BD，CD = CE，AC BC - AB E.AE CE BD CD - AF BFr + r = 2r,=CE CD = a b -c = 2r， a b =2r c.(a +b $ = (2r +c )，a2 b2 2ab = 4 r2 rc 廣 c2sabc = 2 ab2 ，2ab = 4S.abc ，br21又1cr2S ABC - S AOB ' S.Boc 

17、9; S Aoc1 2r c c r=2 =24 r rc = 4S abc ,4 r rc = 2aba2 b2 2ab 二 2ab c2 ,【證法14】(利用反證法證明) 如圖，在RtA ABC中，設(shè)直角邊 c,過點(diǎn)C作CD丄AB，垂足是D.假設(shè)a2 b2 =c2，即假設(shè)AC2 BC2 =AB2，則由AB2 = AB *AB = AB AD BD 二 AB AD AB * BDr2 rca2AC、b2 =c2.BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為可知 ac2=abad，或者 bc2=abbd即ad : AC工AC : AB，或者 BD : BC 工BC : AB在 A ADC 禾口 A

18、ACB 中,v / A = / A，若 AD : AC 工 AC : AB，/ ADC 工/ ACB 在 A CDB 禾口 A ACB 中，v / B = / B，若 BD : BC工 BC: AB，/ CDB 仁 ACB 又 v / ACB = 90o， / ADC 工 90o，Z CDB 工 90o這與作法CD丄AB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假設(shè)不能成立.2 . 2 2a b c .【證法15】（辛卜松證明）ABCD把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分， 則正方形ABCD的面積 為a "Sa2b2 Jab ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方2 1 2形 ABCD 的面積為 a b =4 2ab C =2ab c2.a2 b2 2ab = 2ab c2,2 2 2a b -c .【證法16】（陳杰證明）設(shè)直角三角形兩直角邊的長分別為a、b （b>a）,斜邊的長為c.做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a）,把它們拼成如圖所示形狀，使 E、H、M三點(diǎn)在一條直線上.用數(shù)字表示面積的編號（如圖）.在EH = b上截取ED = a,連結(jié)DA、 則AD = cv EM