第三章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)6.19

1、第三章 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)多自由度系統(tǒng)和單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)特性是有區(qū)別的。單自由度系統(tǒng)受初始擾動(dòng)后，按系統(tǒng)的固有頻率作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。多自由度系統(tǒng)有多個(gè)固有頻率，當(dāng)系統(tǒng)按某一個(gè)固有頻率作自由振動(dòng)時(shí)，各獨(dú)立坐標(biāo)在振動(dòng)過(guò)程中相互關(guān)系是固定的，這個(gè)關(guān)系叫振幅比，也叫作主振型或模態(tài)。主振型是多自由度系統(tǒng)以及彈性體振動(dòng)的重要特征。多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)方程是多個(gè)二階微分方程組，這些方程一般是耦合的。多自由度振動(dòng)的求解有兩種方法：直接積分法和振型疊加法。直接積分法可直接根據(jù)微分方程求出響應(yīng)，涉及的概念不多且有應(yīng)用軟件，本章不做介紹。振形疊加法要先求出系統(tǒng)的固有頻率和振型，在此基礎(chǔ)用疊加法求響應(yīng)，物理概念清楚、并且是模

2、態(tài)分析與參數(shù)識(shí)別的理論基礎(chǔ)。因此本章將先用較多的篇幅介紹多自由度系統(tǒng)的固有振動(dòng)特性、振型疊加法和傳遞函數(shù)。3.1 振動(dòng)微分方程雖然一些多自由度系統(tǒng)數(shù)目較多，有些相當(dāng)復(fù)雜，但建立多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程并沒(méi)有新理論和方法，都是動(dòng)力學(xué)基本理論和方法，本節(jié)只通過(guò)例題介紹多自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程基本形式。例一 試建立圖3-1所示3自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。三個(gè)質(zhì)量只作水平方向的運(yùn)動(dòng)，并分別受到激振力，和的作用，質(zhì)量塊的質(zhì)量分別為，和，彈簧剛度分別為， 和，阻尼分別為， 和。圖3-1 3自由度系統(tǒng)解：分別用三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，和描述三個(gè)質(zhì)量塊的運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)原點(diǎn)分別取在，和的靜平衡位置。質(zhì)量塊的速度分別為，和，加

3、速度分別為，和。每個(gè)質(zhì)量塊的受力圖如3-2（a、b、c）所示，則由受力圖根據(jù)牛頓第二定律，得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為： 圖3-2 (a) 圖3-2(b)圖3-2(c)或上述方程組可以用矩陣表示為：三個(gè)二階微分方程是耦合的，這是因?yàn)榫仃囍杏蟹橇愕姆菍?duì)角元素。若質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣都是對(duì)角矩陣，則三個(gè)微分方程是獨(dú)立的，相當(dāng)于三個(gè)獨(dú)立的單自由度系統(tǒng)，其求解變?yōu)槿齻€(gè)單自由度系統(tǒng)求解。質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為慣性耦合，剛度矩陣中出現(xiàn)耦合項(xiàng)稱為彈性耦合。此例中沒(méi)有慣性耦合，因?yàn)橘|(zhì)量矩是對(duì)角的。但一般情況下質(zhì)量矩陣并不是對(duì)角的，所以一般情況下多自由度系統(tǒng)既有彈性耦合、也有慣性耦合。下面我們通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明質(zhì)量矩陣

4、不是對(duì)角的情況。例二 寫出圖3-3所示系統(tǒng)振動(dòng)微分方程系統(tǒng)中均質(zhì)剛性桿AB的質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，前后兩端分別用剛度為和的兩個(gè)彈簧由承于地面上，桿全為長(zhǎng)。圖3-3若用桿兩端的豎向位移、來(lái)描述剛桿的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則受力圖如圖3.4所示， 圖3.4顯然、質(zhì)心處的加速度為，根據(jù)牛頓第二定律，在豎直方向有：桿的轉(zhuǎn)動(dòng)加速度為（順時(shí)針為正），對(duì)C點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)力矩定理：整理并寫成矩陣形式有：質(zhì)量矩陣并不是對(duì)角的。當(dāng)然，此例中若選質(zhì)心的平動(dòng)及繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)描述運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量矩陣將是對(duì)角的。一般地，對(duì)n自由度系統(tǒng)，振動(dòng)微分方程為：寫成矩陣形式有： (3.1)根據(jù)分析力學(xué)，具有定常約束的系統(tǒng)的動(dòng)能T與勢(shì)能U可寫為下列二次型

5、(3.2)對(duì)于穩(wěn)定平衡的振動(dòng)系統(tǒng),系統(tǒng)的動(dòng)能T總是大于零的(除非系統(tǒng)是靜止的)，所以質(zhì)量矩陣一般是正定的。同樣，系統(tǒng)的勢(shì)能U也總大于零，所以剛度矩陣也是正定的。此外，系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能不會(huì)因?yàn)楸磉_(dá)形式不同而改變，對(duì)式(3.2)轉(zhuǎn)置，比較可知，剛度矩陣和質(zhì)量矩陣必須是對(duì)稱矩陣，因而有： (3.3)3.2無(wú)阻尼自由振動(dòng)一、固有頻率和振形本節(jié)主要目的是通過(guò)無(wú)阻尼自由振動(dòng)系統(tǒng)來(lái)介紹多自由系統(tǒng)的固有頻率和振型，它們是多自由振動(dòng)系統(tǒng)的重要特征。在無(wú)阻尼情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)微分方程可以表達(dá)為： (3.4)在單自由度系統(tǒng)中,我們得到無(wú)阻尼自由振動(dòng)解為正弦函數(shù)或余弦函數(shù),不失一般性。對(duì)于多自由度系統(tǒng)振動(dòng)解可設(shè)為

6、： (3.5)列向量和均為待定復(fù)常數(shù)。若系統(tǒng)是振動(dòng)的，則解必為實(shí)數(shù)。將式(3.5)代入(3.4)，得到下列代數(shù)齊次方程組： (3.6)上面的方程組存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為零，即： (3.7)式(3.7)為系統(tǒng)的特征方程，具體寫出為： (3.8)上式左端的行列式展開(kāi)后是關(guān)于的n次代數(shù)多項(xiàng)式： (3.9)稱為特征多項(xiàng)式，由式(3.8)或（3.9）可解出n個(gè)稱為特征值或特征根，將其按升序排列為：顯然特征值僅取決于系統(tǒng)本身的剛度和質(zhì)量參數(shù)。這n個(gè)特征值在大多數(shù)情況下互不相等且不為零，重根的零根說(shuō)明系統(tǒng)有剛體運(yùn)動(dòng)。有零根和情況本書不再討論，有興趣的讀者可參考相關(guān)的線性代數(shù)和振動(dòng)理論書籍。在

7、求得特征值后把某一個(gè)代回式(3.6)，可求對(duì)應(yīng)的列向量。由于式(3.6)的系數(shù)矩陣不滿秩，在沒(méi)有重根和零根情況下只有(n-1)個(gè)是獨(dú)立的，故只能求出列向量中各元素、的比例關(guān)系。我們?nèi)サ羝渲胁华?dú)立的某一式(例如最后一式)，并將剩下的n-1個(gè)方程式中某一相同的項(xiàng)(如項(xiàng))移到等式右邊，可得代數(shù)方程組： (3.10)解上面的方程，可得到用表達(dá)的解、，顯然都與的值成比例。我們可將這些比例常數(shù)用表示，并補(bǔ)充，可得列向量，則有： (3.11)列向量是確定的常數(shù)，反映列向量中各數(shù)的比例關(guān)系，叫作特征向量。同比例放大或減小特征向量并不改變其比例關(guān)系，所以應(yīng)用時(shí)常根據(jù)需要來(lái)放大或減小特征向量。不失一般性，我們可在

8、式（3.11）中用待定復(fù)常數(shù)取代，式（3.11）可寫為： (3.12)這樣，當(dāng)成比例變化時(shí)，有相應(yīng)的變化，對(duì)應(yīng)不同的特征值，可得到不同的特征向量。對(duì)應(yīng)于n個(gè)特征值可得n個(gè)特征向量 ，且每一個(gè)特征向量都滿足式（3.6）。對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)，特征值就是系統(tǒng)的固有頻率，特征值相對(duì)應(yīng)的特征向量就是系統(tǒng)的振形。顯然，對(duì)應(yīng)于n個(gè)固有頻率可得n個(gè)振形。我們將在后面論述。二、無(wú)阻尼自由振動(dòng)的解顯然，將及代入式(3.5)，可得n組滿足方程（3.4）的解，將這些解相加，可得多自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般解為： (3.13)其中2n個(gè)待定常數(shù)由系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的初始位移和初始速度確定。如果系統(tǒng)在某一特殊的初始條件下，使得待定常數(shù)

9、中只有0，則式(3.13)所表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程只保留第k項(xiàng): (3.14)參見(jiàn)前一章，多自由度系統(tǒng)振動(dòng)一般解的方程可表達(dá)為： (3.15)這時(shí)整個(gè)系統(tǒng)按圓頻率、振幅比作同步簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。振幅分別為，振幅之間都保持固定不變的比值。因此特征向量完全確定了系統(tǒng)按固有頻率振動(dòng)時(shí)的形態(tài)，所以特征向量就是按相應(yīng)固有頻率振動(dòng)時(shí)的振型向量，對(duì)應(yīng)的特征向量稱為它的第階主振型或主模態(tài)，相應(yīng)的振動(dòng)叫主振動(dòng)。在振動(dòng)過(guò)程中，一般還會(huì)產(chǎn)生其它階主振動(dòng)。對(duì)于一個(gè)n自由度系統(tǒng)，一般可以找到n個(gè)固有頻率，以及相應(yīng)的n個(gè)主振型。我們把各階主振型組成的矩陣叫做振型矩陣： (3.16)例三在圖3-5所示的三自度系統(tǒng)中，設(shè)，,，求系統(tǒng)的固

10、有頻率、振型。圖3-5 解：分別用3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)、和描述三個(gè)質(zhì)量塊的水平運(yùn)動(dòng)，可寫出系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。 ； (1)系統(tǒng)自由振動(dòng)微分方程為： (2)令 代入上式整理可得特征值方程為： (3)展開(kāi)整理后，有： (4)可求得的三個(gè)根為：所以系統(tǒng)的固有頻率分別為： 不妨設(shè)所對(duì)應(yīng)的列向量為，且=那么解特征向量的代數(shù)方程為：將=代人(上)式中二式有，且：對(duì)應(yīng)的列向量為=解得:一階振型,見(jiàn)圖3.6（a）同理，將=代人(上)式中第式有：解得: 二階振型，見(jiàn)圖3.6（b）將=代人(上)式中二式有：解得: 三階振型，見(jiàn)圖3.6（c）其各階陣形如圖所示：圖3.6（a）圖3.6（b）圖3.6（c）3.3振型的正

11、交性在前面我們分析了無(wú)阻尼系統(tǒng)自由振動(dòng)的一般性質(zhì)，指出一個(gè)n自由度的系統(tǒng)具有n個(gè)固有頻率及n個(gè)主振型 (j=1,2,n)，本節(jié)主要討論主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性。設(shè)、分別是相應(yīng)于固有頻率、的主振型，由式（3.6）有： (3.17)同理可得： (3.18)將式（3.17）和式（3.18）分別左乘和得： (3.19) (3.20)將式（3.19）轉(zhuǎn)置，考慮到質(zhì)量和剛度矩陣的對(duì)稱性有： (3.21)將式(3.21)減去式(3.20)得： (3.22)當(dāng)不等于時(shí)，若無(wú)重根，,則有： （ij） (3.23)將式（3.23）回代到式 (3.20)得到： （ij） (3.24)上兩式(3.23

12、)、式(3.24)表示固有頻率不相等的兩個(gè)振型之間，存在著對(duì)質(zhì)量矩陣和和剛度矩陣的正交性。當(dāng)i等于j時(shí)，可記為： (3.25) (3.26)和分別叫作第階振動(dòng)的主質(zhì)量和主剛度，都是正實(shí)數(shù)，顯然： (3.27)推廣到整個(gè)振型矩陣有： (3.28)其中為對(duì)角陣，稱為主質(zhì)量矩陣，即： (3.29) 也是對(duì)角陣，稱為主剛度矩陣，即： (3.30)在近似計(jì)算或?qū)嶒?yàn)分析時(shí)，給出相應(yīng)的振型函數(shù)后，就可得到系統(tǒng)固有頻率的近似值，其精度與振型函數(shù)的選取有關(guān)。如果主質(zhì)量為1，則主剛度就是固有頻率的平方（式3.27），使表達(dá)式更簡(jiǎn)潔。使主質(zhì)量等于1的振型叫正則振型。由于主振型列陣只表示系統(tǒng)作主振動(dòng)時(shí)各幅值的比例關(guān)系

13、，同除主質(zhì)量平方根并不影響這個(gè)比例關(guān)系。各主振型正則化的過(guò)程就是求出主振型后，再求出主質(zhì)量，然后將主振型除以主質(zhì)量的平方根。若記為正則振型，要使主質(zhì)量為1，只需令。顯然，振形正則化后的主質(zhì)量矩陣是單位矩陣?！纠摹壳罄鞠到y(tǒng)的主剛度矩陣、主質(zhì)量矩陣、正則振型矩陣以及振形正則化后的主剛度矩陣、主質(zhì)量矩陣。解：例三中已得出質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和各階振型，振形矩陣為：從而主質(zhì)量矩陣主剛度矩陣由可得各正則振型列陣如下于是得正則振型矩陣主剛度矩陣3.4振型的疊加法在無(wú)阻尼自由振動(dòng)中，我們得到： (3.31)從式中看出，每一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)量是各階振型的疊加，這啟發(fā)我們用各階主振動(dòng)來(lái)描述系統(tǒng)的振動(dòng)，這種

14、方法叫振型疊加法。振型疊加法求解多自由度系統(tǒng)就是將按獨(dú)立坐標(biāo)振動(dòng)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榘粗髡裥驼駝?dòng)的問(wèn)題。用獨(dú)立坐標(biāo)（）來(lái)描述多自由度系統(tǒng)的一般振動(dòng)微分方程為： (3.32) 在求得系統(tǒng)主振型后，設(shè)描述各階主振型的振動(dòng)量的獨(dú)立坐標(biāo)為,則各獨(dú)立坐標(biāo)的振動(dòng)是各主階振動(dòng)量的疊加，可設(shè)： (3.33)為按第主振型振動(dòng)的坐標(biāo)，叫作主坐標(biāo)。在數(shù)學(xué)上，這相當(dāng)于做了一個(gè)變換。經(jīng)過(guò)這個(gè)變換后，相應(yīng)的初始條件為： (3.34) (3.35)將其式(3.33)代入式(3.32)，并前乘振型矩陣的轉(zhuǎn)置得： (3.36) 將式（3.25），（3.26）代入上式（3.31），并記, (3.37a) (3.37b)可得： (3.38

15、)雖然主質(zhì)量矩陣與主剛度矩陣是對(duì)角陣，矩陣一般并非對(duì)角陣，所以式(3.38) 是一組通過(guò)速度項(xiàng)相互耦合的微分方程。如果也是一個(gè)對(duì)角矩陣，則式(3.38)是不耦合的，是n個(gè)獨(dú)立的二階微分方程，相當(dāng)于n個(gè)單自由度系統(tǒng)，使求解大為簡(jiǎn)化。當(dāng)阻尼較小，略去的非對(duì)角線元素組成的各阻尼項(xiàng)，即令的非對(duì)角線元素的值為零可使方程解耦；另外一種方法是假設(shè)阻尼矩陣是質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合的情況,使阻尼矩陣對(duì)角化。即： (3.39) 解耦后式(3.38)為： (3.40)轉(zhuǎn)化為n個(gè)單自由度系統(tǒng)，可根據(jù)初始條件求解，得。 最后，將方程代入坐標(biāo)變換式(3.33)，即可得到廣義坐標(biāo)下的響應(yīng)，即 (3.41)對(duì)于大阻尼情

16、況，引入復(fù)模態(tài)理論可使方程解耦，本書不做討論。 例五：用振型疊加法求解上例題例三初始速度及初始位移為下系統(tǒng)的響應(yīng)。解：由上例可知：無(wú)阻尼自由振動(dòng)微分方程為： (1)振型函數(shù)為： (2)主質(zhì)量矩陣：(3)主剛度矩陣：(4) 將代入(1)，并左乘可知： (5)展開(kāi)得到： (6)解(6)式得到： (7)其中： 根據(jù)初始條件，由可知，主坐標(biāo)就滿足的初始條件，。對(duì)振形矩陣求逆得：從而，對(duì)式進(jìn)行求導(dǎo)得到：將初始條件，代入式和，得到待定系數(shù)的解：同理，得到： 代入式，得到：代入中，得到：3.5多自由度傳遞函數(shù)多自由度振動(dòng)微分方程為： (3.42)這是多輸入多輸出問(wèn)題，按傳遞函數(shù)的定義，每一個(gè)輸入對(duì)每一個(gè)輸出

17、都有一個(gè)傳遞關(guān)系，若輸入，其余均為零，則可得j點(diǎn)輸入時(shí)對(duì)各輸出點(diǎn)的傳遞函數(shù)，對(duì)全部輸入可得傳遞函數(shù)矩陣 (3.43)事實(shí)上對(duì)于復(fù)數(shù)形式激勵(lì)，設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)數(shù)形式 ，代入微分方程 (3.42)得： (3.44) 其中，為傳遞函數(shù)， (3.45)顯然，由于系統(tǒng)參數(shù)是對(duì)稱矩陣，傳遞函數(shù)矩陣也是對(duì)稱的。若輸入為單位脈沖，其余均為零，則可得j點(diǎn)輸入時(shí)對(duì)各輸出點(diǎn)的單位脈沖響應(yīng)，對(duì)全部單位脈沖激勵(lì)可得單位脈沖響應(yīng)矩陣 (3.46)利用上式作傅氏變換，可得到傳遞函數(shù)矩陣。為了更好的分析傳遞函數(shù)的性質(zhì),設(shè)，代入式（3.38）解耦后得到： (3.47)當(dāng)激勵(lì)為時(shí)，主坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有修改解為： (3.48)激

18、勵(lì),代入上式（3.28）得到： (3.49)激勵(lì)對(duì)主坐標(biāo)的傳遞函數(shù)為： (3.50)若變換中振型矩陣式為正則振型矩陣，則上式為： (3.51)因?yàn)?，所以代入得每一?xiàng) (3.51)下標(biāo)表示第點(diǎn)激勵(lì)，第點(diǎn)響應(yīng)之間的傳遞關(guān)系。顯然，傳遞函數(shù)矩陣是對(duì)稱的，是項(xiàng)多項(xiàng)式的和，其中每一項(xiàng)相都當(dāng)于一個(gè)單自由度系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。上式分離后可得實(shí)頻和虛頻關(guān)系和，從而其幅頻和相頻分別如下： 幅值： (3.52)相位： (3.53)傳遞函數(shù)反映了系統(tǒng)參數(shù)與固有頻率、振形之間的關(guān)系，是振動(dòng)測(cè)試和分析的理論基礎(chǔ)。 例六 在圖3-7所示的三自度系統(tǒng)中，設(shè)，求傳遞函數(shù)，并圖示其實(shí)頻、虛頻、幅頻和相頻特性。圖3.7解：第三節(jié)已經(jīng)求出系統(tǒng)的固有頻率為；正則振形為： 將已知條件和上述結(jié)果代入式（3.51）可得：我把式（3.51）重新推導(dǎo)了一下，發(fā)現(xiàn)原來(lái)求和下標(biāo)錯(cuò)了，已