第五章 微分方程模型

1、第五章第五章 微分方程模型微分方程模型5.1 傳染病模型傳染病模型5.2 經(jīng)濟增長模型經(jīng)濟增長模型5.3 正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)5.4 藥物在體內(nèi)的分布與排除藥物在體內(nèi)的分布與排除5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用5.6 人口預測和控制人口預測和控制5.7 煙霧的擴散與消失煙霧的擴散與消失5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)動態(tài)動態(tài)模型模型 描述對象特征隨時間描述對象特征隨時間(空間空間)的演變過程的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律分析對象特征的變化規(guī)律 預報對象特征的未來性態(tài)預報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系

2、確定函數(shù)根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關系確定函數(shù)微分微分方程方程建模建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程5.2 經(jīng)濟增長模經(jīng)濟增長模型型發(fā)展經(jīng)濟發(fā)展經(jīng)濟 提高生產(chǎn)力提高生產(chǎn)力增加投資增加投資 增加勞動力增加勞動力 提高技術提高技術 建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關系建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關系 研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大 調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使經(jīng)濟(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長增長1. 道格拉斯道格拉斯(

3、Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù) 產(chǎn)值產(chǎn)值 Q(t)(),()(0tLtKFftQF為待定函數(shù)為待定函數(shù)資金資金 K(t)勞動力勞動力 L(t)技術技術 f(t) = f0)(/0ygfLQz10,)(yyg0,LQKQ模型假設模型假設靜態(tài)模型靜態(tài)模型),(),(0LKFfLKQ每個勞動每個勞動力的產(chǎn)值力的產(chǎn)值LQz 每個勞動每個勞動力的投資力的投資LKy z 隨著隨著 y 的增加而增長，但增長速度遞減的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01. 道格拉斯道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)含義？含義？0,2222LQKQ)/(0LKLfQ Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)10),(LKf

4、LKQ10),(LKfLKQQK 單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL 單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值單位勞動力創(chuàng)造的產(chǎn)值 資金在產(chǎn)值中的份額資金在產(chǎn)值中的份額1- 勞動力在產(chǎn)值中的份額勞動力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)0, 1,0,),(00fLKfLKQ1. Douglas生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)1,QLQQKQLKQLQKQLK0,0LSKS1,QLQQKQLKrwLK1w , r , K/L 求資金與勞動力的分配比例求資金與勞動力的分配比例K/L(每個每個勞動力占有的資金勞動力占有的資金) ，使效益，使效益S最大最大資金和勞動力創(chuàng)造的效益資金和勞動

5、力創(chuàng)造的效益wLrKQS資金來自貸款，利率資金來自貸款，利率 r每個勞動力付工資每個勞動力付工資 w 2）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）資金與勞動力的最佳分配（靜態(tài)模型）1KLQQLKwrQQLKLyKLKy,3) 經(jīng)濟經(jīng)濟(生產(chǎn)率生產(chǎn)率)增長的條件增長的條件 (動態(tài)模型動態(tài)模型)要使要使 Q(t) 或或 Z(t)=Q(t)/L(t) 增長增長, K(t), L(t)應滿足的條件應滿足的條件模型模型假設假設 投資增長率與產(chǎn)值成正比投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴大再生產(chǎn)用一定比例擴大再生產(chǎn)) 勞動力相對增長率為常數(shù)勞動力相對增長率為常數(shù))(0yLgfQ yyg)(LyfdtdK00,Q

6、dtdKLdtdLteLtL0)(LydtdyLdtdKLyfdtdK0LydtdyLdtdKyfydtdy0Bernoulli方程方程11)1(0100)()(tefyfty0010000000,/QKLKfQLKy00010KKfy11)1(000)1(1)(teKKfty)(11/10)1(00AeKKdtdQt成立當AKKt),/1)(1ln()1 (1000yygyLgfQ)()(0dtdLygfdtdyygLfdtdQ)()(00成立A 0產(chǎn)值產(chǎn)值Q(t)增長增長dQ/dt 03) 經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長的條件)1 (10120yfLyf)()(000LKfyfLLyftZ)(0/

7、100)1(00BeKKdtdydtdZt成立B 0成立時當BKK,1/000勞動力相對增長率小于初始投資增長率勞動力相對增長率小于初始投資增長率每個勞動力的產(chǎn)值每個勞動力的產(chǎn)值 Z(t)=Q(t)/L(t)增長增長dZ/dt03) 經(jīng)濟增長的條件經(jīng)濟增長的條件dtdyyfdtdZ10 過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關系 人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中人體吸入的毒物量與哪些因素有關，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型模型分析分析 分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸分析吸煙時毒物進入人體的過程，建立吸煙過程的

8、數(shù)學模型。煙過程的數(shù)學模型。 設想一個設想一個“機器人機器人”在典型環(huán)境下吸煙，在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。吸煙方式和外部環(huán)境認為是不變的。問題問題5.5 香煙過濾嘴的作用香煙過濾嘴的作用吸煙有害健康吸煙有害健康-安裝過濾嘴安裝過濾嘴模型模型假設假設1）l1煙草長，煙草長， l2過濾嘴長，過濾嘴長， l = l1+ l2， 毒物量毒物量M均勻分布，密度均勻分布，密度w0=M/l12）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙）點燃處毒物隨煙霧進入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是穿行的數(shù)量比是a :a, a +a=13）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的）未點燃的煙草和過濾嘴對隨煙霧穿行的

9、毒物的毒物的(單位時間單位時間)吸收率分別是吸收率分別是b和和 4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃，香煙燃燒速度是常數(shù)燒速度是常數(shù)u， v uQ 吸一支煙毒物進入人體總量吸一支煙毒物進入人體總量ulTdttlqQT/,),(01模型建立模型建立0 x1llt=0, x=0，點燃香煙，點燃香煙0) 0 ,(wxwq(x,t) 毒物流量毒物流量w(x,t) 毒物密度毒物密度即：時刻即：時刻t t單位時間通過截面單位時間通過截面x x處的毒物量處的毒物量即：時刻即：時刻t t截面截面x x處處單位長度煙草中單位長度煙草中的毒物量的毒物量1) 求求q(x,0)=q(x)v

10、xlxlxqlxxbqxxqxq,)(,0,)()()(11lxlxqvlxxqvbdxdq11),(0),(000)0(uwHaHq0 x1llxx)(xq)(xxqxv考察考察(x， )xx根據(jù)守恒定律這兩處流量之差等于這一段根據(jù)守恒定律這兩處流量之差等于這一段未點燃的煙草或過濾嘴對毒物的吸收量未點燃的煙草或過濾嘴對毒物的吸收量lxleeaHlxeaHxqvlxvblvbx1)(010,0,)(11),()(tutuwtHlxleetaHlxutetaHtxqvlxvutlbvutxb1)()(1)(,)(,)(),(11vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(t時刻，香煙

11、燃至時刻，香煙燃至 x=ut1) 求求q(x,0)=q(x)2) 求求q(l,t)tvtxqbtxwttxw),(),(),(0)()0 ,(),(wxwetutauwvbtwvutxbaaaeawtutwvbuta1,1),(03) 求求w(ut,t)毒物在煙草中的密度逐漸增加。增加量等于毒物在煙草中的密度逐漸增加。增加量等于單位長度煙霧中的毒物被吸收的部分單位長度煙霧中的毒物被吸收的部分120( , )bllbutabutvvvvauwq l teeeaea vblavluleebavawdttlqQ121/001),(vlvutlbeetutauwtlq21)(),(),(vbutaae

12、awtutw01),(rervblarr1)(,1),(2raMeQvl4) 計算計算 Q11vblar結(jié)果結(jié)果分析分析),(2raMeQvlrervblarr1)(,12/1)(rr vblaaMeQvl2112煙草煙草為什么有作用為什么有作用?1）Q與與a,M成正比，成正比， aM是毒物集中在是毒物集中在x=l 處的吸入量處的吸入量2) 過濾嘴因素，過濾嘴因素， , l2 負指數(shù)負指數(shù)作用作用vle2vlaMe2是毒物集中在是毒物集中在x=l1 處的吸入量處的吸入量3） (r) 煙草的吸收作用煙草的吸收作用b, l1 線性線性作用作用vblavbleebavawQ12021vlbeQQ2)

13、(21vblavleebavawQ12011帶過濾嘴帶過濾嘴不帶過濾嘴不帶過濾嘴21QQb結(jié)果結(jié)果分析分析4) 與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0, b, a, v, l 均相同，吸至均相同，吸至 x=l1扔掉扔掉提高提高 -b 與加長與加長l2，效果相同，效果相同5.6 人口預測和控制人口預測和控制)(),(,0),0(tNtrFtFmrFtrp),( 年齡分布對于人口預測的重要性年齡分布對于人口預測的重要性 只考慮自然出生與死亡，不計遷移只考慮自然出生與死亡，不計遷移人口人口發(fā)展發(fā)展方程方程的人口）年齡人口分布函數(shù)rtrF(),(人口密度函數(shù)),( trp人口

14、總數(shù))(tN最高年齡)(mr),(),(trptrtprp11,),(),(),(),(),(),(drdtdttrptrtrpdttrpdttrpdttdrrp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程死亡率),(trdrtrp),(人數(shù)年齡,drrrt死亡人數(shù)內(nèi)),(dttt人數(shù)年齡,11drdrrdrrdtt1drdt 一階偏微分方程一階偏微分方程drdttrptr),(),(drdttdrrp),(10),(),0(0),()0 ,(),(),(0ttftprrprptrptrtprp人口發(fā)展方程人口發(fā)展方程已知函數(shù)（人口調(diào)查）已知函數(shù)（人口調(diào)查）生育率（控制人口手段）生育率（控制人口手段）0tr)(0

15、rprt )(tfrt rt )(),(rtrrtertfrtetrptrprrtrdssdss,)(0,)(),(0)()(0rdstsptrF0),(),(mrdstsptN0),()(21),(),(),()(rrdrtrptrktrbtf),()(),(trhttrb211),(rrdrtrh21),()(rrdrtrbt生育率的分解生育率的分解性別比函數(shù)女性 )(),(trk生育數(shù)女性 )(),(trb育齡區(qū)間,21rr21),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf 總和生育率總和生育率h生育模式生育模式)(),(rhtrh01r2rrrtertfrtetrptrpr

16、rtrdssdss,)(0,)(),(0)()(021),(),(),()()(rrdrtrptrktrhttf人口發(fā)展方程和生育率人口發(fā)展方程和生育率)(t總和生育率總和生育率控制生育的多少控制生育的多少),(trh生育模式生育模式控制生育的早晚和疏密控制生育的早晚和疏密),(),(trptrtprp)(tf)(0rp),(trp)(t 正反饋系統(tǒng)正反饋系統(tǒng) 滯后作用很大滯后作用很大mrdrtrrptNtR0),()(1)(tdrtrdetSt0),()()(/ )()(tStRt mrdrtrptN0),()(人口指數(shù)人口指數(shù)1）人口總數(shù)）人口總數(shù)2）平均年齡）平均年齡3）平均壽命）平均壽

17、命t時刻出生的人，死亡率按時刻出生的人，死亡率按 (r,t) 計算的平均存活時間計算的平均存活時間4）老齡化指數(shù)）老齡化指數(shù)控制生育率控制生育率控制控制 N(t)不過大不過大控制控制 (t)不過高不過高5.7 煙霧的擴散與消失煙霧的擴散與消失現(xiàn)象現(xiàn)象和和問題問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，不透光區(qū)域不斷擴大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失建立模型描述煙霧擴散和消失過程，分析消失時間與各因素的關系。時

18、間與各因素的關系。問題問題分析分析無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏無窮空間由瞬時點源導致的擴散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀觀察的煙霧消失與煙霧對光線的吸收，以及儀器對明暗的靈敏程度有關。器對明暗的靈敏程度有關。gradCkq模型模型假設假設1）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風）煙霧在無窮空間擴散，不受大地和風的影響；擴散服從熱傳導定律。的影響；擴散服從熱傳導定律。2）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃）光線穿過煙霧時光強的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。度成正比；無煙霧的大氣不影響光強。3）

19、穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之）穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型模型建立建立1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC熱傳導定律：單位時間通過單位法熱傳導定律：單位時間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比向面積的流量與濃度梯度成正比 21QQ 222222)(zCyCxCkgradCdivktCVdVttzyxCtzyxCQ),(),(2tttsdtdnqQ1VSn1Qq流量通過,ttt內(nèi)煙霧改變量sVdVqdivdnq曲面積分的奧氏公式曲面積分的奧氏公式gradCkq1）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化

20、規(guī)律),(tzyxCktzyxektQtzyxC423222)4(),(),()0 ,(zyxQzyxC0,222222tzyxzCyCxCktC 初始條件初始條件Q炮彈釋放的煙霧總量炮彈釋放的煙霧總量 單位強度的點源函數(shù)單位強度的點源函數(shù) 對任意對任意t, C的等值面是球面的等值面是球面 x2+y2+z2=R2; RC 僅當僅當 t, 對任意點對任意點(x,y,z), C01）煙霧濃度）煙霧濃度 的變化規(guī)律的變化規(guī)律),(tzyxC00)(IlI)()(lIlCdldI2）穿過煙霧光強的變化規(guī)律）穿過煙霧光強的變化規(guī)律光強的減少與煙光強的減少與煙霧濃度成正比霧濃度成正比方向的煙霧濃度沿方向的

21、光強沿llCllI)()(00)(Ill的光強為未進入煙霧lldssCeIlI0)(0)(1),(dztzyxCe觀測結(jié)果為暗儀器靈敏度，當,1/0II3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變化煙霧中光強連續(xù)變化lldssCeIlI0)(0)(儀器儀器z- 設光源在設光源在z=- , 儀器在儀器在z= ,則觀測到的則觀測到的明暗界限為明暗界限為不透光區(qū)域有擴大、不透光區(qū)域有擴大、縮小、消失的過程縮小、消失的過程穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之穿過煙霧進入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。分，明暗界限由儀器靈敏度決定。

22、不透光區(qū)域邊界不透光區(qū)域邊界tkQkttr4ln4)(ktyxektQ4224adxeax24）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律）不透光區(qū)域邊界的變化規(guī)律1),(dztzyxCektzyxektQtzyxC423222)4(),(很?。?11ln1),(dztzyxCktyxektQdztzyxC4224),(222ryx對任意對任意t, 不透光區(qū)域邊界是圓周不透光區(qū)域邊界是圓周不透光區(qū)域不透光區(qū)域邊界半徑邊界半徑)(41最大值，eQrrekQttm0,42rkQttr(t)rm0t1t2ttkQkttr4ln4)(結(jié)果分析結(jié)果分析1127 .2tett觀測到不透光區(qū)域邊界達到最大的觀測到不透光區(qū)域邊界達到最大的時刻時刻t1，可以預報煙霧消失的時刻，可以預報煙霧消失的時刻t2mrtQ,11tk5.8 萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)背景背景航海業(yè)發(fā)展航海業(yè)發(fā)展天文觀測精確天文觀測精確“地心說地心說”動動搖搖哥白尼：哥白尼：“日心說日心說”伽里略：落體運動伽里略：落體運動開普勒：行星運動三定律開