數(shù)學(xué)課程講義三

1、數(shù)學(xué)講義三講義三：第二章極限、導(dǎo)數(shù)與微分一、 極限概念1.數(shù)列的極限問題引入：黃金首飾有100純金的嗎？1黃金： 0.90.990.9990.99990.9999911(n）10 n2雜質(zhì)： 0.10.010.0010.00010.000011(n）10 n3長度的一半 1111111(n24816322n4自然數(shù)的倒數(shù)111111(n2345n）結(jié)論： 1。無窮大的倒數(shù)趨近于2如上例 1 、2、3 所示：數(shù)列xn在n時，xn無限趨近于某個固定的常數(shù), A則稱數(shù)列 xn以 A為極限，記為lim x n A如 lim1lim110 nnn2nn此時也稱數(shù)列xn 收斂。否則發(fā)散 , 如： 1-1

2、1-1 。2.函數(shù)極限記住以下符號的意思：x：表示 x 越來越小，即一直向數(shù)軸的左邊取值，如 x3,1,0， 2， 5；x：表示 x 越來越大，即一直向數(shù)軸的右邊取值，x3,4,6，10，14；x ：表 示 x 的絕對值 越來 越大 ，即 x 的 取值 同時 向數(shù) 軸的 左右 兩邊 擴(kuò)散 ，如 x0， 1，2， -3 ，4， 6；xx0 ：表示 x 的取值無限靠近一個數(shù) x0 ， 如 x, 10,8, 5,4, 2,31,1,可記為 x 1；,22xx0：表示 x 的取值從比 x0小的方向（即左邊）無限靠近一個數(shù)x0 ;xx0：表示 x 的取值從比 x0大的方向（即右邊）無限靠近一個數(shù)x0 .

3、極限當(dāng) x 發(fā)生以上某種變化趨勢時，函數(shù)值f ( x) 無限靠近的一個常數(shù)A 稱為此時的極限，分別記為limf ( x) A, lim f ( x)A, lim f ( x) A, limf ( x) A, lim f ( x)A,lim f (x) A 其 中xxxx x0x x0x x0后兩個分別叫做左極限和右極限。1）x時本質(zhì)上和數(shù)列極限時一致的，故- 1 -數(shù)學(xué)講義三lim1lim1lim1lim1nnxxn2nx2 x注意： lim1lim1x2xxxlim1lim1lim1n10nx10 xx10 x解題技巧：（1） " a "0,"a"(

4、a0)； lim CC ， limsin 1和 limsin x 不存在（搖擺型0x x0x 0xx的）。（2）對于分段函數(shù)（即有大括號“ ”出現(xiàn)的函數(shù)），在分段點(diǎn)處的極限要考慮左右極限，而 lim f ( x) Alim f ( x)lim f ( x) A 。x x0x x0x x0例：書 p.63. 例 11二、求極限的方法1. 四則運(yùn)算法（1）有關(guān)法則：1）和的極限 =極限和：lim( uv)lim ulim v例： lim(x 3)limxlim313 2x1x1x1練習(xí)： lim( x23)lim(1xx3 )x1x22）積的極限 =極限的積： lim uvlim u lim vu

5、lim u商的極限 =極限的商： limlim vv例： lim2x2 lim 2 limx2 2limx2 2(1) 22x1x1x1x1練習(xí)： lim3x2 l i m2x3 limkx2 x1x2x13）常數(shù)可提出： lim kuk lim u4）n 方的極限 =極限的 n 方： lim uAlim unAn , lim n un A練習(xí)： lim3x2 l i m2x3 limkx2 x1x2x1（2）解題步驟：- 2 -數(shù)學(xué)講義三1）當(dāng) xx（0 x0+， x0-）時，把 xx0 代入 f (x) 中，有意義（即分母0），則結(jié)束“ a ”（ a 0）型，則原式 =無意義（即分母0），

6、則若0“ 0” 型，則因式分解，把 x-x0 約掉后再代 x0 計算0例 1： lim2x2x53x1x12x2x 5l imx25x8練習(xí)： lim3x1x2x1x2例 2：?？碱}型1）.0因式分解型 limx25x60x29x 3:練習(xí) 1：x22x 32x23x 5lim2x13x22x1x3x9lim練習(xí) 2：x215x26x1lim x26x5l i m22x1x13xx12）.0 有理化型limx110x0x練習(xí)： lim9x3limx2xx4x0x02）x（）時，“ a ” 型，則原式 =0若“” 型，則分子、分母同除以f (x)中的最高次項, 或者用以下公式- 3 -數(shù)學(xué)講義三

7、當(dāng)m0, n“ ” 型極限的公式： liman xnan 1xn 1a1x a0an,當(dāng)nm ，附：求mm 1xbm x bm 1xb1 x b0bm,當(dāng) nm即當(dāng)“上小零，上大無窮” ，“上下相等” =首個系數(shù)比！x 90,limx53x3 1,lim2 x22x 9 2例如 lim2322xx3x2x3x2x3x3x3練習(xí)：1、 lim2 x1_； 2、 limn1_）x3x4n2n3注意：碰到極限，首先考慮以上方法；2.重要極限法（1）. 第一個重要極限sin()1lim( )( )0limsin x1limx1x0xx 0 s i nx例 1 ：limsin( x )1sin( 2x

8、) 1思 考0(x)lim(2x)(x )( 2x )01sin( 2x )sin( 2x )2 limxlimxx0x0練習(xí) 1： limsin(x )sin(2x )xlimxx0x0sin( x1 )例 2:limx1x1求極限 limsin( x1 )x2x2x1limsin( x1 )limsin( x1 )sin( x1 )1解：x2x2( x1)( x2)limx1x2x1x1x1sin( x1 )lim113 31 limx1x21×x1x1練習(xí) 2： . limx22x3l i ms in x(3)sin( x3)2x27x3x3x3- 4 -數(shù)學(xué)講義三xsin x

9、s i n3x練習(xí) 3：limxl imsi n2xx0x 0注意： limsin xl ims i nxlim x sin 1x xxx0xx0（）1（2）. 第二個重要極限 lim11 e或（ ）lim1 （ ） e( )（）( )0用該極限的條件： 指數(shù)，底為 1+非 1 項，即 1非1項；指數(shù)與非 1 項 互為倒數(shù)例 1： lim11 n lim11x lim11xnnxxxx例 2： lim 12xxx2 lim111z z lim 1 z zz 0z 0elim112 xxx12 x1練習(xí)： lim1lim 1 kz zxxz 03無窮小量性質(zhì)法（ 1）無窮小的定義極限為0 的函數(shù)

10、例： lim1，所以 x時， 1 為無窮小量；xxxlim1，所以 x時，1為無窮小量；2x2xxx1 時，lim sin( x21)，所以sin( x21)為無窮小量；x 1（ 2）性質(zhì)：無窮小量與有界變量的乘積仍為無窮小量例： limxsin 1x練習(xí) 1：書 p.65. T2 (4)， T6，練習(xí) 2：已知 f (x)x1，當(dāng)（）時， f ( x) 為無窮小。（07,09 年）sin xA x 0B x 1C xD x練習(xí) 3：- 5 -數(shù)學(xué)講義三三、函數(shù)的連續(xù)性定義： 若 limf ( x)f ( x0)則稱函數(shù) f (x) 在 xx0 處連續(xù)。xx0否則， xx0稱為間斷點(diǎn)。（通常使

11、分母為 0 的點(diǎn)是間斷點(diǎn)）常見題型：1.設(shè)函數(shù) f ( x)x sin 2k,x0在 x0處連續(xù) ,則 k ( )x年）1 ,x0（ 05A. 2B.1C. 1D. 2sin 3xk, x0 在 x2. 設(shè)函數(shù) f ( x)x0處連續(xù) , 則 k( )1,x0A. 2B. 1C . 1D. 23. 函數(shù) f ( x)sin x , x00處連續(xù)，則 k ( )x在 x年）k,x0（06A. 2B.1C. 1D. 2sin x, x0 在函數(shù)f ( x)2xx0處連續(xù)，則k_（07 年）4 3.k,x0x211已知x若 f ( x) 在（ - ,+）內(nèi)連續(xù)，則 a =（07 年）x1f (x)a

12、x15函數(shù) f ( x)x32的間斷點(diǎn)是x3x 2- 6 -數(shù)學(xué)講義三贈送以下資料考試知識點(diǎn)技巧大全- 7 -數(shù)學(xué)講義三一、考試中途應(yīng)飲葡萄糖水大腦是記憶的場所，腦中有數(shù)億個神經(jīng)細(xì)胞在不停地進(jìn)行著繁重的活動 ,大腦細(xì)胞活動需要大量能量?？茖W(xué)研究證實(shí) ,雖然大腦的重量只占人體重量的 2%-3%, 但大腦消耗的能量卻占食物所產(chǎn)生的總能量的 20%,它的能量來源靠葡萄糖氧化過程產(chǎn)生。據(jù)醫(yī)學(xué)文獻(xiàn)記載 ,一個健康的青少年學(xué)生 30 分鐘用腦 ,血糖濃度在 120 毫克 /100 毫升 ,大腦反應(yīng)快 ,記憶力強(qiáng)； 90 分鐘用腦，血糖濃度降至 80 毫克 /100 毫升，大腦功能尚正常；連續(xù) 120 分鐘

13、用腦，血糖濃度降至 60 毫克 /100 毫升，大腦反應(yīng)遲鈍，思維能力較差。我們中考、高考每一科考試時間都在 2 小時或 2 小時以上且用腦強(qiáng)度大，這樣可引起低血糖并造成大腦疲勞，從而影響大腦的正常發(fā)揮，對考試成績產(chǎn)生重大影響。因此建議考生，在用腦 60 分鐘時，開始補(bǔ)飲 25%濃度的葡萄糖水 100 毫升左右，為一個高效果的考試 加油 。二、考場記憶“短路”怎么辦呢？對于考生來說，掌握有效的應(yīng)試技巧比再做題突擊更為有效。1.草稿紙也要逐題順序?qū)懖莞逡麧崳莞寮埵褂靡阌跈z查。 不要在一大張紙上亂寫亂畫，東寫一些，西寫一些。打草稿也要像解題一樣，一題一題順著序- 8 -數(shù)學(xué)講義三號往下寫。最

14、好在草稿紙題號前注上符號，以確定檢查側(cè)重點(diǎn)。為了便于做完試卷后的復(fù)查，草稿紙一般可以折成 4-8 塊的小方格， 標(biāo)注題號以便核查，保留清晰的分析和計算過程。2.答題要按先易后難順序不要考慮考試難度與結(jié)果，可以先用5 分鐘熟悉試卷，合理安排考試進(jìn)度，先易后難，先熟后生，排除干擾?？荚囍泻芸赡苡龅揭恍]有見過或復(fù)習(xí)過的難題，不要 蒙 了。一般中考試卷的題型難度分布基本上是從易到難排列的，或者交替排列。3.遇到容易試題不能浮躁遇到容易題，審題要細(xì)致。圈點(diǎn)關(guān)鍵字詞，邊審題邊畫草圖，明確解題思路。有些考生一旦遇到容易的題目，便覺得心應(yīng)手、興奮異常，往往情緒激動，甚至得意忘形。要避免急于求成、粗枝大葉，防

15、止受熟題答案與解題過程的定式思維影響，避免漏題，錯題，丟掉不該丟的分。4. 答題不要猶豫不決選擇題做出選擇時要慎重，要關(guān)注題干中的否定用詞，對比篩選四個選項的差異和聯(lián)系，特別注意保留計算型選擇題的解答過程。當(dāng)試題出現(xiàn)幾種疑惑不決的答案時，考生一定要有主見，有自信心，即使不能確定答案，也不能長時間猶豫，浪費(fèi)時間，最終也應(yīng)把認(rèn)為正確程度最高的答案寫到試卷上，不要在答案處留白或 開天窗 。5.試卷檢查要細(xì)心有序應(yīng)答要準(zhǔn)確。一般答題時，語言表達(dá)要盡量簡明扼要，填涂答題紙絕不能錯位。答完試題，如果時間允許，一般都要進(jìn)行試卷答題的復(fù)查。復(fù)查要謹(jǐn)慎，可以利用逆向思維，反向推理論證，聯(lián)系生活實(shí)際，評估結(jié)- 9

16、 -數(shù)學(xué)講義三果的合理性，選擇特殊取值，多次歸納總結(jié)。另外，對不同題型可采用不同的檢查方法。選擇題可采用例證法，舉出一兩例來能分別證明其他選項不對便可安心。對填空題，則一要檢查審題 ;二要檢查思路是否完整 ; 三要檢查數(shù)據(jù)代入是否正確 ;四要檢查計算過程 ;五要看答案是否合題意 ;六要檢查步驟是否齊全，符號是否規(guī)范。還要復(fù)查一些客觀題的答案有無遺漏，答案錯位填涂，并復(fù)核你心存疑慮的項目。若沒有充分的理由，一般不要改變你依據(jù)第一感覺做出的選擇。6、萬一記憶短路 可慢呼吸考試中，有些考生因?yàn)榍訄?，?dǎo)致無法集中精神，甚至大腦忽然一片空白，發(fā)生記憶堵塞。此時不要緊張，不妨嘗試如下方式：首先是穩(wěn)定心態(tài)，

17、保持鎮(zhèn)靜，并注意調(diào)節(jié)自己的呼吸率。先慢吸氣，當(dāng)對自己說 放松 時緩慢呼氣，再考慮你正在努力回憶的問題，如果你仍不能回想起來，就暫時擱下這道題，開始選做其他會的試題，過段時間再回過頭來做這道題。第二，積極聯(lián)想。你不妨回憶老師在講課時的情景或自己的復(fù)習(xí)筆記，并努力回憶與發(fā)生記憶堵塞問題有關(guān)的論據(jù)和概念，把回憶起的內(nèi)容迅速記下來，然后，看能否從中挑出一些有用的材料或線索。第三，進(jìn)行一分鐘自我暗示。即根據(jù)自己的實(shí)際，選擇能激勵自己，使自己能心情平靜和增強(qiáng)信心的話，在心中默念3 至 5 遍。比如：我已平靜下來，我能夠考好、 我有信心，一定能考出理想的成績等等。第四，分析內(nèi)容，查找相關(guān)要點(diǎn)。借助試卷上其它

18、試題，也許會給考生提供某-10-數(shù)學(xué)講義三些線索。因此不要輕易放棄，查看試題中的相關(guān)要點(diǎn)，看看是否能給考生提供線索或啟發(fā)。-11-數(shù)學(xué)講義三贈送以下資料考試知識點(diǎn)技巧大全二、考試中途應(yīng)飲葡萄糖水大腦是記憶的場所，腦中有數(shù)億個神經(jīng)細(xì)胞在不停地進(jìn)行著繁重的活動 ,大腦細(xì)胞活動需要大量能量?？茖W(xué)研究證實(shí) ,雖然大腦的重量只占人體重量的 2%-3%, 但大腦消耗的能量卻占食物所產(chǎn)生的總能量的 20%,它的能量來源靠葡萄糖氧化過程產(chǎn)生。據(jù)醫(yī)學(xué)文獻(xiàn)記載 ,一個健康的青少年學(xué)生 30 分鐘用腦 ,血糖濃度在 120 毫克 /100 毫升 ,大腦反應(yīng)快 ,記憶力強(qiáng)； 90 分鐘用腦，血糖濃度降至 80 毫克

19、/100 毫升，大腦功能尚正常；連續(xù) 120 分鐘用腦，血糖濃度降至 60 毫克 /100 毫升，大腦反應(yīng)遲鈍，思維能力較差。我們中考、高考每一科考試時間都在 2 小時或 2 小時以上且用腦強(qiáng)度大，這樣可引起低血糖并造成大腦疲勞，從而影響大腦的正常發(fā)揮，對考試成績產(chǎn)生重大影響。因此建議考生，在用腦60 分鐘時，開始補(bǔ)飲25%濃度的葡萄糖水100-12-數(shù)學(xué)講義三毫升左右，為一個高效果的考試加油 。二、考場記憶“短路”怎么辦呢？對于考生來說，掌握有效的應(yīng)試技巧比再做題突擊更為有效。1.草稿紙也要逐題順序?qū)懖莞逡麧?，草稿紙使用要便于檢查。 不要在一大張紙上亂寫亂畫，東寫一些，西寫一些。打草稿也要

20、像解題一樣，一題一題順著序號往下寫。最好在草稿紙題號前注上符號，以確定檢查側(cè)重點(diǎn)。為了便于做完試卷后的復(fù)查，草稿紙一般可以折成 4-8 塊的小方格， 標(biāo)注題號以便核查，保留清晰的分析和計算過程。2.答題要按先易后難順序不要考慮考試難度與結(jié)果，可以先用5 分鐘熟悉試卷，合理安排考試進(jìn)度，先易后難，先熟后生，排除干擾。考試中很可能遇到一些沒有見過或復(fù)習(xí)過的難題，不要 蒙 了。一般中考試卷的題型難度分布基本上是從易到難排列的，或者交替排列。3.遇到容易試題不能浮躁遇到容易題，審題要細(xì)致。圈點(diǎn)關(guān)鍵字詞，邊審題邊畫草圖，明確解題思路。有些考生一旦遇到容易的題目，便覺得心應(yīng)手、興奮異常，往往情緒激動，甚至得意忘形。要避免急于求成、粗枝大葉，防止受熟題答案與解題過程的定式思維影響，避免漏題，錯題，丟掉不該丟的分。4. 答題不要猶豫不決選擇題做出選擇時要慎重，要關(guān)注題干中的否定用詞，對-13-數(shù)學(xué)講義三比篩選四個選項的差異和聯(lián)系，特別注意保留計算型選擇題的解答過程。當(dāng)試題出現(xiàn)幾種疑惑不決的答案時，考生一定要有主見，有自信心，即使不能確定答案，也不能長時間猶豫，浪費(fèi)時間，最終也應(yīng)把認(rèn)為正確程度最高的答案寫到試卷上，不要在答案處留白或 開天窗 。5.試卷檢查要細(xì)心有序應(yīng)答要準(zhǔn)確。一般答題時，語言表達(dá)要盡量簡明扼要，填涂答題紙絕不能錯位。答完試題，如果時間允許，一般都要進(jìn)行