數(shù)學方法在物理學中的應用

1、數(shù)學方法在物理學中的應用（一）物理學中的數(shù)學方法是物理思維和數(shù)學思維高度融合的產(chǎn)物, 借助數(shù)學方法可使一些復雜的物理問題顯示出明顯的規(guī)律性, 能達到打通關卡、快速簡捷地解決問題的目的。高考物理試題的解答離不開數(shù)學知識和方法的應用 ,借助物理知識滲透考查數(shù)學能力是高考命題的永恒主題?？梢哉f任何物理試題的求解過程實質上都是一個將物理問題轉化為數(shù)學問題, 然后經(jīng)過求解再次還原為物理結論的過程。復習中應加強基本的運算能力的培養(yǎng), 同時要注意三角函數(shù)的運用, 對于圖象的運用要重視從圖象中獲取信息能力的培養(yǎng)與訓練。在解決帶電粒子運動的問題時, 要注意幾何知識、參數(shù)方程等數(shù)學方法的應用。在解決力學問題時,

2、要注意極值法、微元法、數(shù)列法、分類討論法等數(shù)學方法的應用。一、極值法數(shù)學中求極值的方法很多，物理極值問題中常用的極值法有：三角函數(shù)極值法、二次函數(shù)極值法、一元二次方程的判別式法等。1利用三角函數(shù)求極值y acos bsin (+)令 sin ， cos則有： y(sin cos cos sin )sin ( )所以當 有最大值，且y 2 時， ymax典例：在傾角 = 30°的斜面上 , 放置一個重量為200 N 的物體 , 物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為 =3 ,3要使物體沿斜面勻速向上移動, 所加的力至少要多大?方向如何 ?【解析】設所加的外力F 與斜面夾角為 , 物體受力情況如圖所

3、示。由于物體做勻速直線運動, 根據(jù)共點力的平衡條件, 有Fcos - mgsin - f= 0N+Fsin -mgcos = 0而 f = N解得:F=mg(sincoscossin因為 已知 , 故分子為定值 , 分母是變量為的三角函數(shù)y=cos +=(cos+sin)=(sincos+ cossin) =sin(+)其中 sin=， cos =，即 tan=。當 += 90時，即= 90-時， y 取最大值。F 最小值為,由于=，即 tan=，所以=60 。帶入數(shù)據(jù)得 Fmin = 100N,此時= 30?！久麕燑c睛】根據(jù)對物體的受力情況分析, 然后根據(jù)物理規(guī)律寫出相關物理量的方程, 解出

4、所求量的表達式 , 進而結合三角函數(shù)的公式求極值, 這是利用三角函數(shù)求極值的常用方法, 這也是數(shù)學中方程思想和函數(shù)思想在物理解題中的重要應用。2利用二次函數(shù)求極值22bb2b2b 24ac b2二次函數(shù)： y ax bx c a( x x 4 2) c 4 a( x 2) 4( 其中 a、b、c 為實常數(shù) ) ，當aaaaab4ac b2x 2a 時，有極值 ym4a( 若二次項系數(shù) a>0， y 有極小值；若a<0， y 有極大值 ) 。典例： 在“十”字交叉互通的兩條水平直行道路上, 分別有甲、乙兩輛汽車運動, 以“十”字中心為原點 , 沿直道建立 xOy 坐標系。在 t =

5、0 時刻 , 甲車坐標為(1,0), 以速度 v0=k m/s 沿 -x軸方向做勻速直線運動 , 乙車沿 +y 方向運動 , 其坐標為 (0,y),y與時間 t的關系為 y=12 k2tm, 關系式中 ,k>0, 問 :(1) 當 k 滿足什么條件時, 甲、乙兩車間的距離有最小值, 最小值為多大?(2) 當 k 為何值時 , 甲車運動到 O處 , 與乙車的距離和 t=0 時刻的距離相同 ?【解析】 (1)t時刻兩車坐標 : 甲車 :x=(1-kt) m,乙車 :y= 12k2tmt 時刻兩車相距s= xy=(1 k t22k)t2 m2(1 2 k t m= k t2k (1222當 t

6、= 1 k s 時 , 甲、乙兩車間的距離有最小值 k最小值為 smin=2 (1 k) m,其中 k 滿足 k<1。(2) 當 t=0 時 , 甲車坐標為 (1,0),乙車坐標為 (0,1),此時兩車距離 s0= 2 m當甲車運動到O處時 ,kt=1 m,乙車 y= 1 2k2t m=2 m兩式聯(lián)立解得:k= 1 。2【名師點睛】根據(jù)物體滿足的物理規(guī)律建立起已知量與所求量之間的函數(shù)關系, 若這個函數(shù)關系是二次函數(shù) , 則可用二次函數(shù)求極值。二次函數(shù)求極值, 是物理解題中經(jīng)常用到的數(shù)學方法之一, 應很好掌握。3均值不等式對于兩個大于零的變量a、b，若其和 a b 為一定值 p，則當 a

7、b 時，其積 ab 取得極大值p2；對于4三個大于零的變量 a、b、c，若其和 a b c 為一定值 q，則當 a b c 時，其積 abc 取得極大值q327。典例： 一輕繩一端固定在 O點 , 另一端拴一小球 , 拉起小球使輕繩水平 , 然后無初速度地釋放, 如圖甲所示 , 小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中, 小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值?【解析】如圖乙所示, 當小球運動到繩與豎直方向成 角的 C 時, 重力的功率 :P=mgvcos =mgvsin乙小球從水平位置到圖中C位置時 , 由機械能守恒有mgLcos =1mv22解得 :P = mg22gl cossin令 y=cos sin2=2(2 cossin =2(cos sinsin)1241222又因為 2cos 2 +sin 2 +sin 2=2(sin2 +cos 2 )=2( 定值 )所以當且僅當2cos2 =sin 2 時 ,y 有最大值由 2cos2 =1-cos 2 得 cos =33即 : 當cos =3時, 功率P 有最