第十一章 影響線及其應用

1、1結構力學結構力學海南大學土木工程系海南大學土木工程系第十一章 影響線及其應用2 影響線的概念影響線的概念 靜力法作影響線靜力法作影響線 結點荷載下的影響線結點荷載下的影響線 機動法作影響線機動法作影響線 影響線的應用影響線的應用 簡支梁的內力包絡圖簡支梁的內力包絡圖 超靜定結構影響線 連續(xù)梁的最不利荷載及內力包絡圖311.1 移動荷載和影響線的概念移動荷載作用下內力計算特點:結構內力隨荷載的移動而變化,為此需要研究內力的變化規(guī)律、變化范圍及最大值，和產(chǎn)生最大值的荷載位置（即荷載的最不利位置）。研究方法： 先研究單位移動荷載作用下的內力變化規(guī)律， 再根據(jù)疊加原理解決移動荷載作用下的內力計算問題

2、,以及最不利荷載的位置問題。P=1RBxY=RB1影響線的定義： 當P=1在結構上移動時，用來表示某一量值Z變化規(guī)律的圖形，稱為該量值Z的影響線。在Z的影響線中,橫標表示的是P=1的作用位置； 豎標表示的是量值Z的值。 如在RB影響線中的豎標yD表示的是： 當P=1移動到 點時，產(chǎn)生的 支座反力。Z的影響線與量值Z相差一個力的量綱。所以反力、剪力、軸力 的影響線無 量綱，而彎矩影響線的量綱是長度。DByDDP=1 4 以自變量以自變量x x表示表示P=1P=1的作的作用位置，通過平衡方程，建用位置，通過平衡方程，建立反力和內力的影響線函數(shù)立反力和內力的影響線函數(shù) 并作影響線并作影響線0，a）1

3、、支座反力影響線MA=0 RB=x/l 0，lMB=0RA=（l-x）/l0，l11RB.影響線RA.影響線2、剪力影響線Cab當P=1在AC上移時取CBMCQCRBY=0QC =（L-x）/lRB=x/la/l當P=1在CB上移時取ACRAQCMCY=0QC= （a，lRAb/l+QC.影響線RAARB.B、彎矩影響線MC=MCRBb=0 0,a MC=x/lb MC=MCRAa=0 ab/lMC.影響線CBbACaMC=（lx）laa,lxP=1l11.2 靜力法作單跨靜定梁的影響線5a/lb/l+QC.I.Lab/lMC.I.LRB.B11RB.I.LRA.I.LCabxP=1lRAA

4、單跨靜定梁的影響線特點單跨靜定梁的影響線特點:反力影響線是一條直線；反力影響線是一條直線；剪力影響線是兩條平行線；剪力影響線是兩條平行線；彎矩影響線是兩條直線組彎矩影響線是兩條直線組 成的折線。成的折線。 6CabxP=1Lab/LM圖(kN.m)P=1kNCabLab/LMC.I.L(m)彎矩影響線與彎矩圖的比較影響線彎矩圖荷載位置 截面位置橫坐標豎坐標yD不變變不變變單位移動荷載位置截面位置yDDyDD單位移動荷載移到D點時,產(chǎn)生的C截面的彎矩C點的固定荷載作用下,產(chǎn)生的D截面的彎矩 7RB=x/L 0,L當P=1在AC上移動 QC=-x/L （0，a）當P=1在CB上移動 QC=（L-x

5、）/L CabxP=1LRAABRB.當P=1在EC上時： QC=-RB=-x/L （-L1，a）當P=1在CF上時： QC=RA=（L-x）/L （a，L+L2）RB=x/L （-L1，L+L2）伸臂梁的影響線由平衡條件可得: 故欲作伸臂梁的反力及支座間的截面內力影響線，可先作簡支梁的影響線，然后向伸臂上延伸。+1-RB.I.La/Lb/L-+-QC.I.Lab/L+_Mc.I.LD當P=1在D以里移動時D截面內力等于零， 故伸臂上截面內力影響線在該截面以外的伸臂段上才有非零值。MD.I.L-d在D以外移動時D截面才有內力d+ 1QD.I.LL1abLL2P=1xABCRARBEF 8d 8

6、 5d 4 3d1615橫梁縱梁主梁AB CE FRARB l=4dd/2 d/2DP=1 MD影響線P=1 P=1 DxP=1P=1 dxd dxdxddxddMD4385 結點荷載下影響線特點 1、在結點處，結點荷載與直接荷載的影響線豎標相同。 2、相鄰結點之間影響線為一直線。 結點荷載下影響線作法 1、以虛線畫出直接荷載作用下有關量值的影響線。 2、以實線連接相鄰結點處的豎標，即得結點荷載作用下該量值的影響線。MD.I.LI.L.QCE1/21/4CMLI.43d11.3 結點荷載作用下梁的影響線 9橫梁縱梁主梁AB CE G l=4dd/2 d/2DP=1 F H Id/2 d/2作出

7、FAy 、 FBy 、 FsD 、 MD的影響線 10繪制影響線的方法靜力法:列影響線方程,作影響線.機動法:根據(jù)虛功原理,將作影響線的靜力問 題轉化為作位移圖的幾何問題。機動法的優(yōu)點：不經(jīng)計算快速的繪出影響線的形狀。P=1xablCP=1Z(x)ZP(x)zPPzxxZxPxZ)()(0)()( 1 1 機動法作影響線的步驟： 1）撤除與Z相應的約束，代以未知力。 2）使體系沿Z的正方向發(fā)生虛位移，作出荷載作用點的豎向虛位移圖，即Z的影響線輪廓。 3）再令Z=1，定出影響線豎標的值。 4）基線以上為正的影響線,基線以下為負的影響線，11.4機動法作影響線11b/la/lI.L.QC P=1C

8、QCP=1xablCP=1CP=1xablC1bab/lI.L.MC 所作虛位移圖要滿足支承連接條件！ 121m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1 1m1/43/49/49/29/4I.L.MK I.L.Mk(m)1/43/49/49/29/413Qk11/43/41/43/43/23/4I.L.QKMC11I.L.QKI.L.MC1m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDG1/43/41/43/43/23/422I.LMC(m)114121RD11.51m3m1m3m1m2m2m1mP=1HAKBECFDGI.L.QEI.L.RD I.L.QE121I.L.R

9、D1.5QE15作出FAy 、 FsB 、 FsC左、 FsC右、 MK、 MD的影響線 16l=6dACBDEFGh任一軸力影響線在相鄰結點之間為直線。反力影響線與簡支梁相同。11.5靜力法作桁架的影響線17P=111.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefgh任一軸力影響線在相鄰結點之間為直線。反力影響線與簡支梁相同。11NbcRARGNbc=RA2d/h (P=1在C以右時） NCD同理：NCD=+Mc0/hP=1平行弦桁架弦桿影響線可由相應梁結點的彎矩影響線豎標除以h得到。上弦桿為壓下弦桿為拉。P=14d/3/hI.L.NCDI.L.Nbc4d/34d/3/hP=1P

10、=1P=1P=1或：Nbc=MC0/h Nbc=R4d/h (P=1在C以左時）1811.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFG22RARGRARGP=1P=1I.L.YbC0BCbCQY1/62/3NbC平行弦桁架斜桿軸力的YbC影響線就是梁的節(jié)間剪力QBC0影響線。右下斜為正，右上斜為負。P=1在C以右時 YbC=RAP=1在B以左時 YbC=R可概括為一個式子 1911.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefghP=1xACBDEFGRARGRARGP=1P=10CDcCQNNcC111/21/3I.L.NcC1/6豎桿軸力N

11、cC影響線就是負的梁的節(jié)間剪力QCD0影響線。作桁架影響線時要注意區(qū)分是上弦承載，還是下弦承載。下承上承0bccCQN2/3I.L.NcCP=1在D以右時 NcCRAP=1在C以左時 NcCRG可概括為一個式子在CD之間為直線 2011.5靜力法作桁架的影響線l=6dACBDEFGacbdefghI.L.NdD=0下承上承I.L.NdD1P=1ACBDEFGacbdefghP=1P=1P=1P=1P=1任一軸力影響線在相鄰結點之間為直線。平行弦桁架 弦桿影響線可由相應梁結點的彎矩影響線豎標除以h得到。上弦桿為壓下弦桿為拉。 斜桿軸力的YbC影響線就是梁的節(jié)間剪力QBC0影響線。右下斜為正，右上

12、斜為負。 豎桿軸力NcC影響線就是梁的節(jié)間剪力QCD0影響線。作桁架影響線時要注意區(qū)分是上弦承載，還是下弦承載。 靜定結構某些量值的影響線，?？赊D換為其它量值的影響線來繪制。 21 1）求影響量b/la/lI.L.QCy1P1y2P2y3P3a）集中荷載QC=P1y1+ P2y2 + P3y3一般說來： Z= PiyiablCa blqABqdxb）均布荷載d=ydxQC=q 正的影響線取正面積ydxqBAyqdxQBACwdqBAb/la/lyx dxQCydxqBA 0yqc 0qctgxb qdtgxxbxdtgqbx0定理：當一組平行力作用在影 響線的同一直線段上時， 這組平行力產(chǎn)生的

13、影響等 于其合力產(chǎn)生的影響。I.L.QCy0c 11.6影響線的應用22例：利用影響線求圖示梁K截面的彎矩。6454I.L.MK (m)MK=P1y1+ P2y2 +q11+q22 q33m =1004100550 12321630 1.518301925kN.m6m3m6m6m3m 3m3m100kN100kN 50kN/m30kN/mK30kN.m301/3 1）利用影響線求各種固定荷載作用下的影響量一般說來： Z= Piyi+qm tg 為集中力偶所在段的影響線的傾角，上升為正。23mbm/bm/bZ=m/ba+m/bc =m(ac)/b =m tgacZ的影響線集中力偶引起的Z值等于力

14、偶矩乘以力偶所在段的影響線的傾角正切。兩者同向取負值。 24 2）利用影響線求荷載的最不利位置如果荷載移動到某個位置，使某量達到最大值，則此位置稱為荷載最不利位置。判斷荷載最不利位置的一般原則：應當把數(shù)值大、排列密的荷載放在影響線豎標較大的部位。a）單個移動集中荷載：ablPb）可按任意方式分布的移動均布荷載：I.L.Z求Z的最大值求Z的最小值c）行列荷載（間距不變的一系列移動荷載） 252m12mKP1=PP2=2P4m5/34/312/3I.L.MK(m)P1=PP2=2PMKxP1=PP2=2P10P/38P/3MK=P1y1+P2y2=P15/3+P21=11P/311P/3P1=PP

15、2=2P2P/3P1=PP2=2PP1=PP2=2PxMK的綜合影響線P1=PP2=2PP1=PP2=2P滿足這種條件的位于影響線頂點的集中力叫臨界荷載，與此對應的行列荷載位置，稱為臨界位置。3）臨界荷載不只一個，但也并非行列荷載中的每一個荷載都是臨界荷載。1) 當行列荷載移動時,MK按折線規(guī)律變化。2) MK的極值表現(xiàn)為尖點值。其特點是：a）有一集中力Pcr位于影響線頂點上。b)將行列荷載自此向左或向右稍移一點, MK的值均減少。 26Z影響線P1P2P3P4P5P6R1R2R3臨界荷載的判斷條件3y2y1y1yD2yD3yD102030P1=P2=P3=P4=P5=90kNP2P3P4P1

16、P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530m8m4m6m1.00.75132Z影響線P2P3P4P1P5q=37.8kN/m1.51.51.51.51.530mtg1=1/8tg2=0.25/4tg3=0.75/6荷載稍向右移: R1=270kN R2=90237.81=217.8kN R3=37.86=226.8kNRitgi=2701/8+217.8(0.25/4)+226.8(0.75/6)=8.20荷載稍向左移: R1=360kN R2=9037.81=127.8kN R3=37.86=226.8kNkN4552675. 01275. 081. 08 .37906. 0

17、90Z185 . 68585 . 390所以P4是個臨界荷載。（中活載）0.90685 . 68585 . 3 0.8129當影響線為三角形時：PcrR左R右tg=c/atg=c/b荷載右移：cab荷載左移：bRaPRbRPaRcrcr右左右左當影響線為三角形時，臨界位置的特點是：有一集中力Pcr在影響線的頂點，將Pcr計入那邊那邊荷載的平均集度就大。如Z到達極大值iitgR=R左tg(PcrR右)tg0=(R左 Pcr) tgR右tg0 iitgR3015m25mC70kN13050100501004m5m4m15m4m25200151307015702520013015150 252201

18、30 15m25mCMC影響線(m)9.386.257.880.753.752.25MC=1003.75+506.25+1309.38+707.88+1002.25 +50 0.752720kN.mMcmax=2720kN.m 130kN是臨界荷載321）簡支梁的包絡圖： 將移動荷載作用下簡支梁中各個截面產(chǎn)生的最大（?。﹥攘χ涤们€連接起來，得到的圖形稱為簡支梁的內力包絡圖。Px=MCmax=(l- )P/l0.25Pl0.21Pl0.09PlM包絡圖C12m(l- )/lMC影響線 單個集中力11.7簡支梁的包絡圖和絕對最大彎矩3312m(l- )/lM4影響線P3P4P1P23.53.51

19、.5P1=P2=P3=P4=82kN123456789100M4max=559kN.m559M包絡圖（kN.m)Q包絡圖（kN)21215394.341.7574578彎矩包絡圖動力系數(shù)+M靜 =據(jù)以設計的彎矩包絡圖 行列荷載34彎矩影響線與彎矩圖的比較影響線彎矩圖荷載位置 截面位置橫坐標豎坐標yD不變變不變變單位移動荷載位置截面位置單位移動荷載移到D點時,產(chǎn)生的C截面的彎矩C點的固定荷載移作用下,產(chǎn)生的D截面的彎矩彎矩包絡圖變變截面位置在實際移動荷載作用下,D截面可能產(chǎn)生的最大彎矩與彎矩包絡圖的比較 35 2）簡支梁的絕對最大彎矩：移動荷載作用下簡支梁各個截面產(chǎn)生的最大彎矩中的最大者，稱為簡

20、支梁的絕對最大彎矩。它是荷載移動過程中，簡支梁中可能產(chǎn)生的最大彎矩。絕對最大彎矩與兩個未知因素有關：（1）絕對最大彎矩發(fā)生在哪個截面？（2）行列荷載位于什么位置發(fā)生絕對最大彎矩？計算依據(jù)：絕對最大彎矩必然發(fā)生在某一集中力的作用點。計算途徑：任取一個集中力Pcr求行列荷載移動過程中Pcr作用 點產(chǎn)生的彎矩最大值Mmax計算公式，利用這個公 式求出每個集中力作用點的彎矩最大值其中 最大 的，就是絕對最大彎矩。經(jīng)驗表明：絕對最大彎矩常發(fā)生在，梁中央截面彎矩取得最 大值的臨界荷載下面。 36P1PcrPn-1PnxRa推導Pcr彎矩最大值的算式由 MB0 crMxlaxlRAlaxlRRaxllR0)

21、2(dxdM0cr MRAxxM )(RAalx22（a）crmxaMlalRM1222（b）l/2l/2a/2 a/2Mcr=Pcr以左梁上荷載對Pcr作用點的力矩之和。說明Pcr作用點的彎矩為最大時，梁的中線正好平分Pcr與R的間距。Pcr與R的間距a可由合力矩定理確定。R在Pcr 右a為正。注意R是梁上實有荷載。安排Pcr與R的位置時，有些荷載進入或離開梁，這時應重新計算合力R的值和位置。 37例12mP3P4P1P23.53.51.5P1=P2=P3=P4=82kN先求P2作用點的最大彎矩。R=482=328kN，R作用在P2與P3中間。a=0.75mMmaxmkN.578)5 . 1

22、82582(121275. 02123282mkN.5785 . 382121275. 02123282MlalRMcr1222max再求P3作用點的最大彎矩。R=482=328kN，R作用在P2與P3中間。a=0.75mP3P4P1P23.53.51.5 38l ：當豎向單位 移動荷載在梁上移動時，表示某一指定位移kP與荷載位置 x 的關系曲線，即為kP位移的影響線。P=1xkPP=1xkPP=1xkP*位移影響線kPkP影響線kPKMlabPk=1abPKPMlxlx)( 位移KP的影響線等于固定荷載 PK=1作用于K點時引起的豎向位移圖。 于是，將求位移影響線的問題，轉變?yōu)榍笤诠潭ê奢dP

23、K=1作用下的位移圖問題。PK=1作用下的位移圖由位移互等定理得： KP=PKdxEIMMxkPkP)(393xl aP=1xAB例：試作圖示等截面簡支梁B截面的角位移影響線。解：作單位豎向移動荷載P=1作用下的MP。lxlx)( MP 在B截面施加單位力偶MB=1,并作MB圖。 求影響線方程。ABM=11MB繪制影響線。EIxlxlxlllxlxEIEIdsMMBPB6)(3)()(21122lxl34l4l4l4lEIl12852EIl12882EIl12852 40P=1x Z1 Z1P=1x Z1=111P1W12=Z111 +PP1=W21=0Z1 = P1 /11機動法作法機動法作

24、法: :Z1(x) = P1(x) /111、撤去與約束力Z1相應的約束。2、使體系沿Z1的正方向發(fā)生位移， 作出荷載作用點的撓度圖P1 圖，即為影響線的形狀。橫坐 標以上圖形為正，橫坐標以下 圖形為負。3、將P1 圖除以常數(shù)11 ，便確 定了影響線的豎標。靜定力的影響線對應于幾何可變體系的虛位移圖,因而是折線；超靜定力的影響線對應于幾何不變體系的虛位移圖,因而是曲線。11.8 超靜定力的影響線（機動法）P=1xABCDEFMC11MC.I.LABCDEFMK11MK.I.LKP=1xABCDEFABCDEFRC11RC.I.LABCDEFQC右.I.L42P=1xABCDEFMK.I.LRC

25、.I.LKMC.I.L MKmaxMCminRCmaxv跨中截面正彎矩最不利活載布置：本跨有活載,向兩邊每隔一跨有活載。v支座截面負彎矩及支座反力最不利荷載布置：支座相鄰兩跨有活載,向兩邊每隔一跨有活載。11.9 連續(xù)梁的最不利荷載布置及內力包絡圖43連續(xù)梁的內力包絡圖：求在恒載和活載聯(lián)合作用下，各截面可能產(chǎn)生的最大正彎矩Mmax和最大負彎矩Mmin。求Mmax和Mmin的原則：1、必有恒載作用，且永遠出現(xiàn)。 2、活載按最不利情況考慮。具體作法： 1、把連續(xù)梁的每一跨分為若干等分，取等分點為計算截面。 2、全梁布滿恒載，繪制M恒。 3、逐個的單獨一跨布滿活載，繪制各M活圖。 4、求出各計算截面

26、的Mmax 和Mmin。 活恒活恒kkkkkkMMMMMMminmax 5、將各截面的Mmax值用曲線聯(lián)結起來，將各截面的Mmin值用曲線聯(lián)結起來，這兩條曲線即形成彎矩包絡圖或彎矩范圍圖。10m10m10m例：已知恒載集度q=12kN/m，活載集度p=12kN/m。作M包絡圖。0123456789101112120120q=12kN/m9030P=12kN/m 80110103020P=12kN/m60603030 P=12kN/m80110103020MmaxMmin00210024681012M恒M活1M活2M活31009090120100210060260 3026060045MmaxMmin00210024681012100120100210060260 30260600012345