解析幾何,呂林根,課后習(xí)題解答一到五

1、第一章 矢量與坐標(biāo)§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量終點各構(gòu)成什么圖形？ （1）把空間中一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點； （2）把平行于某一平面的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點； （3）把平行于某一直線的一切矢量歸結(jié)到共同的始點；（4）把平行于某一直線的一切單位矢量歸結(jié)到共同的始點. 解：2. 設(shè)點O是正六邊形ABCDEF的中心，在矢量、 、O、 、和中，哪些矢量是相等的？解： 圖1-13. 設(shè)在平面上給了一個四邊形ABCD，點K、L、M、N分別是邊、 的中點，求證：. 當(dāng)ABCD是空間四邊形時，這等式是否也成立？證明：. 4. 如圖1-3，設(shè)ABCD-EFGH是一個平行六面體，在

2、下列各對矢量中，找出相等的矢量和互為相反矢量的矢量：圖13(1) 、; (2) 、; (3) 、; (4) 、; (5) 、. 解： §1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量應(yīng)滿足什么條件？（1） （2）（3） （4）（5）解：§1.3 數(shù)量乘矢量1 試解下列各題 化簡 已知，求，和 從矢量方程組，解出矢量，解： 2 已知四邊形中，對角線、的中點分別為、，求 解： 3 設(shè)，證明：、三點共線 解： 4 在四邊形中，證明為梯形 解：6. 設(shè)L、M、N分別是ABC的三邊BC、CA、AB的中點，證明：三中線矢量, , 可 以構(gòu)成一個三角形. 7. 設(shè)L、M、N是ABC的三邊的

3、中點，O是任意一點，證明+=+. 解：8. 如圖1-5，設(shè)M是平行四邊形ABCD的中心，O是任意一點，證明+4.解：9 在平行六面體（參看第一節(jié)第4題圖）中，證明 證明： 10. 用矢量法證明梯形兩腰中點連續(xù)平行于上、下兩底邊且等于它們長度和的一半 解 11. 用矢量法證明，平行四邊行的對角線互相平分. 圖1-4解12. 設(shè)點O是平面上正多邊形A1A2An的中心，證明:+.解,13在12題的條件下，設(shè)P是任意點，證明證明： §1.4 矢量的線性關(guān)系與矢量的分解1在平行四邊形ABCD中，（1）設(shè)對角線求解（2）設(shè)邊BC和CD的中點M和N，且求。2在平行六面體ABCD-EFGH中，設(shè)三個

4、面上對角線矢量設(shè)為試把矢量寫成的線性組合。解：圖1-73. 設(shè)一直線上三點A, B, P滿足l(l¹1),O是空間任意一點，求證：解：4. 在中,設(shè).(1) 設(shè)是邊三等分點,將矢量分解為的線性組合;（2）設(shè)是角的平分線(它與交于點),將分解為的線性組合解： 5在四面體中，設(shè)點是的重心（三中線之交點），求矢量對于矢量的分解式。解 6用矢量法證明以下各題（1）三角形三中線共點證明： 7已知矢量不共線，問與是否線性相關(guān)？ 解：8. 證明三個矢量+3+2, 46+2，3+1211共面，其中能否用,線性表示？如能表示，寫出線性表示關(guān)系式.證明： 9證明三個矢量共面。證明： §1.5

5、標(biāo)架與坐標(biāo)3. 在空間直角坐標(biāo)系O;下，求P(2,3,1)，M(a, b, c)關(guān)于 (1) 坐標(biāo)平面；(2) 坐標(biāo)軸；(3) 坐標(biāo)原點的各個對稱點的坐標(biāo).解： 8. 已知矢量, , 的分量如下：(1) 0, 1, 2，0, 2, 4，1, 2, 1；(2) 1, 2, 3，2, 1, 0，0, 5, 6.試判別它們是否共面？能否將表成，的線性組合？若能表示，寫出表示式.解:7已知A,B,C三點坐標(biāo)如下：（1）在標(biāo)架下，（2）在標(biāo)架下，判別它們是否共線？若共線，寫出和的線形關(guān)系式.解： 9. 已知線段AB被點C(2,0,2)和D(5,-2,0)三等分,試求這個線段兩端點A與B的坐標(biāo).解：10.

6、證明：四面體每一個頂點與對面重心所連的線段共點，且這點到頂點的距離是它到對面重心距離的三倍. 用四面體的頂點坐標(biāo)把交點坐標(biāo)表示出來.證明 , , §1.6 矢量在軸上的射影1已知矢量與單位矢量的夾角為，且，求射影矢量與射影，又如果，求射影矢量與射影. 解：2試證明：射影l(fā)(ll+ln)l1射影l(fā)+射影l(fā)+ln射影l(fā).證明 §1.7 兩矢量的數(shù)性積1證明：（1） 矢量垂直于矢量；（2）在平面上如 果，且× (i=1,2)，則有.證明： 2已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計算： 解： 計算下列各題 （1）已知等邊的邊長為且求； 已知兩兩垂直且 求的長和它與的夾角

7、 已知與垂直，求的夾角 已知 問系數(shù)取何值時與垂直？ 解 圖1-114. 用矢量法證明以下各題：(1) 三角形的余弦定理 a2b2c22bccosA;(2) 三角形各邊的垂直平分線共點且這點到各頂點等距.證明： 已知平行四邊形以1，2，-1，1，-2，1為兩邊 求它的邊長和內(nèi)角 求它的兩對角線的長和夾角 解： 已知的三頂點試求：三邊長 三內(nèi)角 三中線長 角的角平分線矢量（中點在邊上），并求的方向余弦和單位矢量解： §1.8 兩矢量的失性1.已知,試求: 解: 2. 證明：（1）(´)22×2，并說明在什么情形下等號成立.（2） 如果+，那么´´

8、´，并說明它的幾何意義.如果,.那么與共線. 如果 那么, 共面. 證明: 3. 如果非零矢量(i1,2,3)滿足，´，´，那么,是彼此垂直的單位矢量，并且按這次序構(gòu)成右手系.證明： 4.已知: ,求與,都垂直,且滿足下列條件的矢量: 為單位矢量 ,其中. 解: 5. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)已知三點,試求: 三角形的面積 三角形的三條高的長. 解: 6.已知: , 試求: 以為邊的平行四邊形的面積. 這平行四邊形的兩條高的長. 解: 7. 用矢量方法證明：（1）三角形的正弦定理.（2）三角形面積的海倫(Heron)公式，即三斜求積公式：D2p(pa)(pb)(pc).式中

9、p(a+b+c)是三角形的半周長，D為三角形的面積.證明： §1.9 三矢量的混合積1. 設(shè), , 為三個非零矢量，證明(3) (, , +l+m) =(, , );(4) (, , ) =2(, , ).證明： 2 設(shè)徑矢, , , 證明 ()()()垂直于ABC平面. 證明: 3=+,+, =+,試證明 ()=(,).證明 4.已知直角坐標(biāo)系內(nèi)矢量的分量,判別這些矢量是否共面?如果不共面,求出以它們?yōu)槿忂呑鞒傻钠叫辛骟w體積. , , . , , . 解: 5. 已知直角坐標(biāo)系內(nèi)四點坐標(biāo),判別它們是否共面?如果不共面,求以它們?yōu)轫旤c的四面體體積和從頂點所引出的高的長.;.解:

10、§1.10 三矢量的雙重矢性積1. 在直角坐標(biāo)系內(nèi),已知求和解2. 證明 對于任意矢量下式成立:證 3. 證明 =證4. 證明 =證 5. 證明 共面的充要條件是,共面. 證 6. 對于任意矢量,證明 證 第二章 軌跡與方程§2.1平面曲線的方程1.一動點到的距離恒等于它到點的距離一半，求此動點的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？ 解： 2. 有一長度為0）的線段，它的兩端點分別在軸正半軸與軸的正半軸上移動，是求此線段中點的軌跡。，為兩端點，為此線段的中點。 解：3. 一動點到兩定點的距離的乘積等于定值,求此動點的軌跡. 解: 4. 設(shè)是等軸雙曲線上任意三點,求證的重心必在

11、同一等軸雙曲線上. 證明: 5. 任何一圓交等軸雙曲線于四點,及.那么一定有. 證明: 8. 把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程.; ; .解:§2.2 曲面的方程1、 一動點移動時，與及平面等距離，求該動點的軌跡方程。解： 2、在空間，選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求下列點的軌跡方程：（1）到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡；（2）到兩定點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡；（3）到兩定點的距離之差為常數(shù)的點的軌跡；（4）到一定點和一定平面距離之比等于常數(shù)的點的軌跡。解： 3. 求下列各球面的方程：（1）中心，半徑為；（2）中心在原點，且經(jīng)過點；（3）一條直徑的兩端點是（4）通過原點與解： 

12、7;2.3 母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程1、畫出下列方程所表示的曲面的圖形。（1） 解： §2.4 空間曲線的方程1、平面與的公共點組成怎樣的軌跡。解： 2、指出下列曲面與三個坐標(biāo)面的交線分別是什么曲線？（1）； （2）；（3）； （4）解：3. 求下列空間曲線對三個坐標(biāo)面的射影柱面方程。（1）;（2）（3）（4）解： 6. 求空間曲線的參數(shù)方程. 解: 第三章 平面與空間直線§ 3.1平面的方程1.求下列各平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程和一般方程：（1）通過點和點且平行于矢量的平面（2）通過點和且垂直于坐標(biāo)面的平面；（3）已知四點，。求通過直線AB且平行于直線CD的平面，并求通過直線

13、AB且與平面垂直的平面。解： 2.化一般方程為截距式與參數(shù)式： .解： 3.證明矢量平行與平面的充要條件為：.證明： 4. 已知連接兩點的線段平行于平面，求點的坐標(biāo).解： 5. 求下列平面的一般方程.通過點和且分別平行于三坐標(biāo)軸的三個平面;過點且在軸和軸上截距分別為和的平面;與平面垂直且分別通過三個坐標(biāo)軸的三個平面;已知兩點,求通過且垂直于的平面;原點在所求平面上的正射影為;求過點和且垂直于平面的平面.解: 6將下列平面的一般方程化為法式方程。解： 7求自坐標(biāo)原點自以下各平面所引垂線的長和指向平面的單位法矢量的方向余弦。解 8已知三角形頂點求平行于所在的平面且與她相距為2各單位的平面方程。解：

14、 9求與原點距離為6個單位，且在三坐標(biāo)軸與上的截距之比為的平面。解： 10平面分別與三個坐標(biāo)軸交于點求的面積。解 11設(shè)從坐標(biāo)原點到平面的距離為。求證證明： § 3.2 平面與點的相關(guān)位置1.計算下列點和平面間的離差和距離：（1）， ；（2）， .解： 2.求下列各點的坐標(biāo)：（1）在軸上且到平面的距離等于4個單位的點；（2）在軸上且到點與到平面距離相等的點；（3）在x軸上且到平面和距離相等的點。解： 3.已知四面體的四個頂點為，計算從頂點向底面ABC所引的高。解： 4.求中心在且與平面相切的球面方程。解5求通過軸其與點相距8個單位的平面方程。解： 6. 求與下列各對平面距離相等的點的

15、軌跡.;.解: . 9 判別點M（2 -1 1）和N （1 2 -3）在由下列相交平面所構(gòu)成的同一個二面角內(nèi)，還是在相鄰二面角內(nèi)，或是在對頂?shù)亩娼莾?nèi)？（1）與（2）與 解： 10 試求由平面：與：所成的二面角的角平分方程，在此二面角內(nèi)有點（1， 2， -3）解： 3.3 兩平面的相關(guān)位置1.判別下列各對直線的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）與。解： 2.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示二平行平面；（3）使與表示二互相垂直的平面。解：3.求下列兩平行平面間的距離：（1），；（2），。解：4.求下列各組平面所成的角：（1），；（2），。解：5. 求下列平面的方

16、程:(1) 通過點和且與坐標(biāo)面成角的平面;(2) 過軸且與平面成角的平面.解 § 3.4空間直線的方程1.求下列各直線的方程：（1）通過點和點的直線；（2）通過點且平行于兩相交平面：的直線；（3）通過點且與三軸分別成的直線；（4）通過點且與兩直線和垂直的直線；（5）通過點且與平面垂直的直線。解： .求以下各點的坐標(biāo)：（）在直線上與原點相距個單位的點；（）關(guān)于直線與點對稱的點。解： .求下列各平面的方程：（）通過點，且又通過直線的平面；（）通過直線且與直線平行的平面；（）通過直線且與平面垂直的平面；（）通過直線向三坐標(biāo)面所引的三個射影平面。解：4.化下列直線的一般方程為射影式方程與標(biāo)準(zhǔn)

17、方程，并求出直線的方向余弦：（1） （2）（3）解：5. 一線與三坐標(biāo)軸間的角分別為.證明 證 § 3.5直線與平面的相關(guān)位置1.判別下列直線與平面的相關(guān)位置：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與。解： 2.試驗證直線：與平面：相交，并求出它的交點和交角。解： 3.確定的值，使：（1）直線與平面平行；（2）直線與平面垂直。解： 4.決定直線和平面的相互位置。解： 5.設(shè)直線與三坐標(biāo)平面的交角分別為證明證明 6.求下列球面的方程(1)與平面x+2y+3=0相切于點且半徑r=3的球面;(2) 與兩平行平面6x-3y-2z-35=0和6x-3y-2z+63=0都相切且于其中之一相切于點的

18、球面.解: 3.7空間直線的相關(guān)位置1.直線方程的系數(shù)滿足什么條件才能使：（1）直線與軸相交； （2）直線與軸平行； （3）直線與軸重合。解：2.確定值使下列兩直線相交：（1）與軸；（2）與。解：3.判別下列各對直線的相互位置，如果是相交的或平行的直線求出它們所在的平面；如果是異面直線，求出它們之間的距離。（1）與；（2）與；（3）與。解： 4.給定兩異面直線：與，試求它們的公垂線方程。解：5.求下列各對直線間的角(1) (2)解 6. 設(shè)和分別是坐標(biāo)原點到點和的距離,證明當(dāng)時,直線通過原點. 證 7.求通過點且與平面平行,又與直線相交的直線方程.解 8. 求通過點且與兩直線都相交的直線方程.

19、解 9. 求與直線平行且和下列兩直線相交的直線.解 10. .求過點且與直線相交的直線方程.解 § 3.6空間直線與點的相關(guān)位置1.直線通過原點的條件是什么？解： 2.求點到直線的距離。解§ 3.8 平面束1.求通過平面和的交線且滿足下列條件之一的平面：（1）通過原點； （2）與軸平行；（3）與平面垂直。解： 2.求平面束，在兩軸上截距相等的平面。解： 3.求通過直線且與平面成角的平面。解： 4.求通過直線且與點的距離等于3的平面。解： 5. 求與平面平行且滿足下列條件之一的平面.通過點;軸上截距為;與原點距離為.解: .6.設(shè)一平面與平面x+3y+2z=0平行,且與三坐標(biāo)

20、平面圍成的四面體體積為6,求這平面的方程。解 8.直線的系數(shù)滿足什么條件才能使直線在坐標(biāo)平面XOZ內(nèi)?解 第四章 柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面與二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的準(zhǔn)線為：且（1）母線平行于軸；（2）母線平行于直線，試求這些柱面的方程。解： 2、設(shè)柱面的準(zhǔn)線為，母線垂直于準(zhǔn)線所在的平面，求這柱面的方程。解 3、求過三條平行直線的圓柱面方程。解： 4、已知柱面的準(zhǔn)線為，母線的方向平行于矢量，試證明柱面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：與式中的為參數(shù)。證明： § 4.2錐面1、求頂點在原點，準(zhǔn)線為的錐面方程。解： 2、已知錐面的頂點為，準(zhǔn)線為，試求它的方程。解：

21、4、求以三坐標(biāo)軸為母線的圓錐面的方程。解 5、求頂點為，軸與平面垂直，且經(jīng)過點的圓錐面的方程。解： 6、已知錐面的準(zhǔn)線為，頂點決定的徑矢為，試證明錐面的矢量式參數(shù)方程與坐標(biāo)式參數(shù)方程分別為：與式中，為參數(shù)。證明： § 4.3旋轉(zhuǎn)曲面1、求下列旋轉(zhuǎn)曲面的方程：（1）；繞旋轉(zhuǎn)（2）；繞旋轉(zhuǎn)（3）繞軸旋轉(zhuǎn)；（4）空間曲線繞軸旋轉(zhuǎn)。解2、將直線繞軸旋轉(zhuǎn)，求這旋轉(zhuǎn)面的方程，并就可能的值討論這是什么曲面？解： 3、已知曲線的參數(shù)方程為，將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程。解：如圖， 。 §4.4橢球面1、做出平面與橢球面的交線的圖形。解：2、設(shè)動點與點的距離等于從這點到平面的距離的一

22、半，試求此動點的軌跡。解： 3、由橢球面的中心（即原點），沿某一定方向到曲面上的一點的距離為，設(shè)定方向的方向余弦分別為，試證：證明： 4、由橢球面的中心，引三條兩兩相互垂直的射線，分別交曲面，設(shè)，試證：證明： 5、一直線分別交坐標(biāo)面于三點，當(dāng)直線變動時，直線上的三定點也分別在三個坐標(biāo)面上變動，另外，直線上有第四點，它與三點的距離分別為，當(dāng)直線按照這樣的規(guī)定（即保持分別在三坐標(biāo)面上）變動，試求點的軌跡。解： 6、已知橢球面，試求過軸并與曲面的交線是圓的平面。解： § 4.5雙曲面1、畫出以下雙曲面的圖形：（1）； （2）解：圖形如下：2、給定方程試問當(dāng)取異于的各種數(shù)值時，它表示怎樣的曲

23、面？解： 3、已知單葉雙曲面，試求平面的方程，使這平面平行于面（或面）且與曲面的交線是一對相交直線。解： 4、設(shè)動點與的距離等于這點到平面的距離的兩倍，試求這動點的軌跡。解： 5、試求單葉雙曲面與平面的交線對平面的射影柱面。解： 6、設(shè)直線與為互不垂直的兩條異面直線，是與的公垂線的中點，兩點分別在直線，上滑動，且，試證直線的軌跡是一個單葉雙曲面。證明： 7、試驗證單葉雙曲面與雙葉雙曲面的參數(shù)方程分別為： 與 解： § 4.6拋物面1、已知橢圓拋物面的頂點在原點，對稱面為面與面，且過點和，求這個橢圓拋物面的方程。解： 2、適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求下列軌跡的方程：（1）到一定點和一定平面距離之

24、比為定常數(shù)的點的軌跡；（2）與兩給定的異面直線等距離的點的軌跡，已知兩異面直線間的距離為，夾角為。解： 3、畫出下列方程所代表的圖形：（1）；（2）；（3）4、畫出下列各組曲面所圍成的立體的圖形：（1）（2）（3）（4）解：5、試驗證橢圓拋物面與雙曲拋物面的參數(shù)方程可分別寫成： 與 式中的為參數(shù)。解： § 4.7單葉雙曲面與雙葉雙曲面的直母線1、 求下列直紋面的直母線族方程：（1） （2）解：2、 求下列直線族所成的曲面（式中的為參數(shù)）（1）； （2）解： 3、在雙曲拋物面上，求平行于平面的直母線。解： 4、試證單葉雙曲面的任意一條直母線在面上的射影，一定是其腰圓的切線。證明： 5、

25、求與兩直線與相交，而且與平面平行的直線的軌跡。解： 6、求與下列三條直線， 與都共面的直線所構(gòu)成的曲面。解： 7、試證明經(jīng)過單葉雙曲面的一 直母線的每個平面一定經(jīng)過屬于另一族直母線的一條直母線，并舉一反例，說明這個命題與雙曲拋物面的情況下不一定成立。證明： 8、試求單葉雙曲面上互相垂直的兩條直母線交點的軌跡方程。解： 9、試證明雙曲拋物面上的一兩條直母線直交時，其交點必在一雙曲線上。證明： 10、已知空間兩異面直線間的距離為，夾角為，過這兩條直線分別作平面，并使這兩平面相互垂直，求這樣兩平面交線的軌跡。解： 第五章 二次曲線一般的理論§5.1二次曲線與直線的相關(guān)位置1. 寫出下列二次

26、曲線的矩陣A以及，及.（1）；（2）；（3）；（4）（5）.解： 2. 求二次曲線與下列直線的交點.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：提示：把直線方程代入曲線方程解 3. 求直線與二次曲線的交點. 4 .試確定k的值，使得（1）直線與二次曲線交于兩不同的實點；（2）直線與二次曲線交于一點；（3）與二次曲線交于兩個相互重合的點；（4）與二次曲線交于兩個共軛虛交點.解 ：§5.2二次曲線的漸進(jìn)方向、中心、漸進(jìn)線1. 求下列二次曲線的漸進(jìn)方向并指出曲線屬于何種類型的.（1）；（2）；（3）.解： 2. 判斷下列曲線是中心曲線，無心曲線還是線心曲線.（1）；（2）；（3）；（4）.

27、解： 3. 求下列二次曲線的中心.（1）；（2）；（3）.解： 4. 當(dāng)滿足什么條件時，二次曲線（1）有唯一中心；（2）沒有中心；（3）有一條中心直線.解： 5. 試證如果二次曲線有漸進(jìn)線，那么它的兩個漸進(jìn)線方程是=式中為二次曲線的中心.證明： 6. 求下列二次曲線的漸進(jìn)線.（1）；（2）；（3）.解： 7. 試證二次曲線是線心曲線的充要條件是，成為無心曲線的充要條件是.證明： 8. 證明以直線為漸進(jìn)線的二次曲線方程總能寫成.證明： 9.求下列二次曲線的方程.（1）以點（0，1）為中心，且通過（2，3），（4，2）與（-1，-3）；（2）通過點（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直線為漸

28、進(jìn)線.解：利用習(xí)題8的結(jié)論 §5.3二次曲線的切線1. 求以下二次曲線在所給點或經(jīng)過所給點的切線方程.（1）曲線在點（2，1）；（2）曲線曲線在點在原點；（3）曲線經(jīng)過點（-2，-1）；（4）曲線經(jīng)過點；（5）曲線經(jīng)過點（0，2）.解2. 求下列二次曲線的切線方程并求出切點的坐標(biāo).（1）曲線的切線平行于直線；（2）曲線的切線平行于兩坐標(biāo)軸.解： 3. 求下列二次曲線的奇異點.（1）；（2）；（3）.解：4.試求經(jīng)過原點且切直線于點（1，-2）及切直線于點（0，-1）的二次曲線方程.解： 5.設(shè)有共焦點的曲線族，這里是一個變動的參數(shù)，作平行于已知直線的曲線的切線，求這些切線切點的軌跡方程.解： §5.4二