含空間解析幾何簡(jiǎn)介實(shí)用教案

1、7(補(bǔ)充) 空間(kngjin)解析幾何簡(jiǎn)介1. 空間(kngjin)直角坐標(biāo)系通常(tngchng)規(guī)定x軸，y軸，z軸的正向要遵循右手法則.x橫軸y縱軸z豎軸 坐標(biāo)原點(diǎn)o上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第1頁(yè)/共132頁(yè)第一頁(yè)，共133頁(yè)。xyozxoy面yoz面zox面空間(kngjin)直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限.7(補(bǔ)充(bchng) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第2頁(yè)/共132頁(yè)第二頁(yè)，共133頁(yè)?？臻g(kngjin)的點(diǎn)有序數(shù)組),(zyx特殊(tsh)點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上

2、的點(diǎn),A,B,C7(補(bǔ)充) 空間(kngjin)解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第3頁(yè)/共132頁(yè)第三頁(yè)，共133頁(yè)。空間兩點(diǎn)的距離(jl)公式211212|,|,|.xxyyzz長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)的平方(pngfng)等于三條棱長(zhǎng)的平方(pngfng)和，則：22212121212|()()() .M Mxxyyzz所以(suy)點(diǎn)12MM和間的距離為222212212121|()()() .M Mxxyyzz由圖可知，該長(zhǎng)方體的各棱長(zhǎng)分別為：7(補(bǔ)充) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第4頁(yè)/共132頁(yè)第四頁(yè)，共133頁(yè)。2. 空間曲面(qmin)與方程如果曲面S上任意一點(diǎn)(y din)的坐標(biāo)都滿足方程

3、F(x,y,z)=0,7(補(bǔ)充) 空間解析幾何(ji x jh)簡(jiǎn)介定義不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足F(x,y,z)=0,則稱(chēng)方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程,而曲面S稱(chēng)為方程F(x,y,z)=0的圖形.上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第5頁(yè)/共132頁(yè)第五頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充) 空間(kngjin)解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例1 求與兩定點(diǎn)M(-1,0,2),N(3,1,1)距離(jl)相等的點(diǎn)的軌跡方程.解 設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(zubio)為P( x, y, z), .PMPN22222211321zyxzyx430.xyz空間平面的方程為： 0AxByCzD其中A、B、C、D都是常數(shù)，且A、B、C不全為0

4、. 第6頁(yè)/共132頁(yè)第六頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充(bchng) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例2 作z = d （d為常數(shù)(chngsh)）的圖形.解 0DCzByAx0,0,1.ABCxyzod第7頁(yè)/共132頁(yè)第七頁(yè)，共133頁(yè)。例3 求球心(qixn)在點(diǎn),半徑(bnjng)為R的球面方程.0000(,)Mxyz222000()()(),xxyyzzR2222000()()().xxyyzzR2222.xyzR解 設(shè)P(x,y,z)是球面上任意一點(diǎn)(y din)， 則根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得整理，得特別地，當(dāng)球心在原點(diǎn)O(0,0,0)時(shí)，球面方程為7(補(bǔ)充) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首

5、頁(yè)第8頁(yè)/共132頁(yè)第八頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充) 空間解析幾何(ji x jh)簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例4 222.xyR作的圖形oxzy222xyR解 第9頁(yè)/共132頁(yè)第九頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充(bchng) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)例522zxy作的圖形.xyzo22zxy解 22 0 xy22 , .zxyxoy在面的上方且與之僅有一個(gè)交點(diǎn)第10頁(yè)/共132頁(yè)第十頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充(bchng) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)如果方程 是三元二次方程，則它的圖形是曲面，稱(chēng)為二次曲面. ( , , )0F x y z （1）對(duì)稱(chēng)軸為z軸，底面半徑(bnjng)為R的圓柱的方程為22

6、2.xyR對(duì)稱(chēng)軸為y軸，底面半徑(bnjng)為R的圓柱的方程為222.xzR對(duì)稱(chēng)軸為x軸，底面半徑為R的圓柱的方程為222.yzR第11頁(yè)/共132頁(yè)第十一頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充) 空間(kngjin)解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)（2）球心(qixn)在原點(diǎn)，半徑為R的上半球面的方程為2222(0).xyzRz（3）圓錐(yunzhu)曲面222xyzoxzy第12頁(yè)/共132頁(yè)第十二頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充) 空間(kngjin)解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)（4）橢球面2222221 (0,0,0)xyzabcabcozyx第13頁(yè)/共132頁(yè)第十三頁(yè)，共133頁(yè)。7(補(bǔ)充) 空間解析幾何(ji

7、 x jh)簡(jiǎn)介(5) 拋物面 22(22xyz ppq、q同號(hào)）zxyoxyzo0, 0 qp0, 0 qp上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第14頁(yè)/共132頁(yè)第十四頁(yè)，共133頁(yè)。特殊(tsh)地：當(dāng) 時(shí)，方程變?yōu)閝p zpypx 2222旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)(xunzhun)拋拋物面物面)0( p（由 面上的拋物線 繞它的軸旋轉(zhuǎn)而成的）xozpzx22 11222zzpzyx與平面 的交線為圓.1zz )0(1 z當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓的中心中心都在 軸上.1zz7(補(bǔ)充(bchng) 空間解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第15頁(yè)/共132頁(yè)第十五頁(yè)，共133頁(yè)。zqypx 2222（ 與 同號(hào)）pq（6）雙曲拋物面（馬鞍）雙曲拋

8、物面（馬鞍(m n)面）面）xyzo7(補(bǔ)充) 空間(kngjin)解析幾何簡(jiǎn)介上頁(yè)下頁(yè)首頁(yè)第16頁(yè)/共132頁(yè)第十六頁(yè)，共133頁(yè)。第七章 多元函數(shù)微積分7.1 多元函數(shù)7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)7.3 全微分7.4 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh)7.5 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)的幾何應(yīng)用7.6 多元函數(shù)的極值7.7 二重積分7.8 二重積分的應(yīng)用下頁(yè)第17頁(yè)/共132頁(yè)第十七頁(yè)，共133頁(yè)。7.1 多元(du yun)函數(shù)1. 多元(du yun)函數(shù)的概念2. 二元函數(shù)(hnsh)的極限3. 二元函數(shù)的連續(xù)性首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第18頁(yè)/共132頁(yè)第十八頁(yè)，共133頁(yè)。7.1 多元(du yun)

9、函數(shù)1. 多元函數(shù)(hnsh)的概念 圓錐的體積(tj)和它的底半徑R，高H之間具有關(guān)系 例1HRV231對(duì)于R、H在一定范圍內(nèi)取一對(duì)確定的值，V都有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng).例2設(shè)R是電阻R1,R2并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系2121RRRRR對(duì)于R1,R2在一定范圍內(nèi)取一對(duì)確定的值，R都有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng). 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第19頁(yè)/共132頁(yè)第十九頁(yè)，共133頁(yè)。定義(dngy)1設(shè)在某一變化(binhu)過(guò)程中有三個(gè)變量x，y，z，如果對(duì)于變量x，y在其變化范圍內(nèi)所取的每一對(duì)(y du)數(shù)值， 變量z按照某一法則f，都有惟一確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)z為x，y的二元函數(shù)，記作

10、z=f (x，y).自變量x，y的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，通常記為D. 二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為多元函數(shù).7.1 多元函數(shù)因變量自變量首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第20頁(yè)/共132頁(yè)第二十頁(yè)，共133頁(yè)。7.1 多元(du yun)函數(shù) 所謂平面區(qū)域，是指整個(gè)x , y 平面或x , y平面上由幾條曲線所圍成的部分. 圍成平面區(qū)域的曲線稱(chēng)為區(qū)域的邊界，包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱(chēng)為閉區(qū)域，不包含邊界在內(nèi)的區(qū)域稱(chēng)為開(kāi)區(qū)域. 如果一個(gè)區(qū)域可以包含在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心(yunxn)、半徑適當(dāng)大的圓內(nèi)，則稱(chēng)該區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱(chēng)為無(wú)界區(qū)域. 對(duì)于(duy)自變量x, y 的一組值，對(duì)應(yīng)著xoy面上的一點(diǎn)P（x , y）因

11、此，二元函數(shù)也可以看作是平面上點(diǎn)的函數(shù)，即Z = f（P）. 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第21頁(yè)/共132頁(yè)第二十一頁(yè)，共133頁(yè)。例3求下列函數(shù)(hnsh)的定義域并畫(huà)出圖形： 22(2) 1.zxy. 解（1）由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知(k zh)，該函數(shù)的定義域是： ( , )0Dx y xy7.1 多元(du yun)函數(shù)(1) ln().zxy首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第22頁(yè)/共132頁(yè)第二十二頁(yè)，共133頁(yè)。（2）要使Z有意義(yy)，必須2210 xy即 221.xy所以(suy)，所求函數(shù)的定義域是22( , )1 .Dx y xy7.1 多元(du yun)函數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第23頁(yè)/共132頁(yè)第二十三頁(yè)，共

12、133頁(yè)。7.1 多元(du yun)函數(shù)二元函數(shù)(hnsh)z = f (x , y )的圖形 Dyxyxfzzyx),(),(),(首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第24頁(yè)/共132頁(yè)第二十四頁(yè)，共133頁(yè)。例4作二元函數(shù)(hnsh)221yxz的圖形(txng). 解由 221yxz兩邊(lingbin)平方，得 2221.zxy 整理，得2221.xyz1),(22yxyxD7.1 多元函數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第25頁(yè)/共132頁(yè)第二十五頁(yè)，共133頁(yè)。2. 二元函數(shù)(hnsh)的極限定義(dngy)2設(shè)函數(shù)(hnsh)z =f(x , y)在點(diǎn) ),(000yxP的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義 (點(diǎn)P0可以除外),如果當(dāng)點(diǎn)

13、P(x, y)沿任意路經(jīng)趨于點(diǎn) ),(000yxPf（x, y）趨向于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱(chēng)A是函數(shù) ),(yxf當(dāng)P（x, y）趨于 ),(000yxP時(shí)的極限，記作 0000lim( , )( , )(,).xxyyf x yAf x yA xxyy或上述二元函數(shù)的極限又叫做二重極限. 7.1 多元函數(shù)20200)()(),(),(yyxxyxPU鄰域: 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第26頁(yè)/共132頁(yè)第二十六頁(yè)，共133頁(yè)。例5求極限(jxin) 20sin()lim.xyxyy解yxyyx)sin(lim0220sin()limxyxxyxy2200sin()limlimxxyyxyxxy2. 例6求

14、極限(jxin) 222200lim.22xyxyxy22lim222200yxyxyx解2222222200()( 22)lim( 2)( 2)xyxyxyxy2200lim( 22)2 2.xyxy7.1 多元(du yun)函數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第27頁(yè)/共132頁(yè)第二十七頁(yè)，共133頁(yè)。例7討論(toln)極限 2200limyxxyyx是否(sh fu)存在？ 解因?yàn)?yn wi)當(dāng)P（x , y ）沿直線y = 0趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，有 2200limyxxyyx 22000lim0 xyxx0 而當(dāng)點(diǎn)P（x , y）沿直線y = x 趨于點(diǎn)（0，0）時(shí)，有 220limyxxyxyx

15、220limxxxxxyx 1.2所以，極限 2200limyxxyyx不存在. 7.1 多元函數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第28頁(yè)/共132頁(yè)第二十八頁(yè)，共133頁(yè)。3. 二元函數(shù)(hnsh)的連續(xù)性定義(dngy)3設(shè)函數(shù)(hnsh)f（x ,y）在 ),(000yxP的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果極限 ),(lim00yxfyyxx存在，且 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx則稱(chēng)二元函數(shù)f（x ,y）在點(diǎn) ),(000yxP處連續(xù). 如果函數(shù)f（x ,y）在區(qū)域D內(nèi) 的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱(chēng)f（x ,y）在區(qū)域D內(nèi)連續(xù). 7.1 多元函數(shù) 二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域（指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域）內(nèi)是連續(xù)的

16、. 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第29頁(yè)/共132頁(yè)第二十九頁(yè)，共133頁(yè)。例8求下列(xili)極限 解（1） 222123lim.xyxyxy（2） 00lim.1 1xyxyxy （1） 222213limyxyxyx2223 1 21.125 （2） 0000limlim(1 1)2.1 1xxyyxyxyxy 7.1 多元(du yun)函數(shù)函數(shù)f（x ,y）不連續(xù)(linx)的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的間斷點(diǎn). 0, 0, 0,),(222222yxyxyxxyyxf(0,0) 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第30頁(yè)/共132頁(yè)第三十頁(yè)，共133頁(yè)。1. 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)的概念7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)2. 高階偏導(dǎo)數(shù)(d

17、o sh)3. 偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第31頁(yè)/共132頁(yè)第三十一頁(yè)，共133頁(yè)。1. 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)的概念定義(dngy) 設(shè)函數(shù)(hnsh)Z=f（x，y）在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰域內(nèi)有定義， 當(dāng)自變量y保持定值y0 ，而自變量x在 0 x處有增量x時(shí)， 相應(yīng)的函數(shù)有增量 如果極限 xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，則稱(chēng)此極限值為函數(shù)Z=f（x，y）在點(diǎn) 處 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記作 0000,x xx xy yy yzfxx0000,(,).xx xxy yZfxy或0000(,)(,).f xx yf xy00(,)xy7.2 偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第32頁(yè)/共1

18、32頁(yè)第三十二頁(yè)，共133頁(yè)。即0000000(,)(,)(,)lim.xxf xx yf xyfxyx 類(lèi)似地,如果(rgu)極限 yyxfyyxfy),(),(lim00000存在(cnzi),那么稱(chēng)此極限值為函數(shù)(hnsh)Z=f（x，y）在點(diǎn) 處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記作 0000,x xx xy yy yzfyy0000,(,).x xyy yZyfxy或即0000000(,)(,)(,)lim.yyf xyyf xyfxyy 00,xy7.2 偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第33頁(yè)/共132頁(yè)第三十三頁(yè)，共133頁(yè)。7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)如果函數(shù)Z= f（x，y）在區(qū)域(qy)D內(nèi)每一點(diǎn)(x，y

19、)處對(duì)x的 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)都存在，這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)(do sh)仍是x，y的函數(shù)， 則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為Z= f（x，y）對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)，記作 ,( , ).xZfZxfx yxx或即),(yxfxxyxfyxxfx),(),(lim0類(lèi)似地，z = f（x ,y）對(duì)自變量y的偏導(dǎo)函數(shù)記作,( ,).yZfZyfx yyy或( , )yfx y 0( ,)( , )lim.yf x yyf x yy 即首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第34頁(yè)/共132頁(yè)第三十四頁(yè)，共133頁(yè)。例1求 在(1,2)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh). 解222( , )(3)23,xxfx yxxyxy2 (1,2)2 1 3 214.xf

20、22( , )(3)6,yyfx yxxyxy (1,2)6 1 212.yf 7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)22( , )3f x yxxy首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第35頁(yè)/共132頁(yè)第三十五頁(yè)，共133頁(yè)。例2設(shè) 求 ,yzx,.zzxy解1,yzyxxln .yzxxy例3 求三元(sn yun)函數(shù) u=2xy+3yz+5zx 的偏導(dǎo)數(shù). 解25 .uyzx23 .uxzy53 .uxyz7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第36頁(yè)/共132頁(yè)第三十六頁(yè)，共133頁(yè)。在點(diǎn)M 處的切線關(guān)于(guny)x軸和y軸的斜率. 根據(jù)(gnj)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，偏導(dǎo)數(shù) 和 在幾何上，分別(fnbi)

21、表示曲線7.2 偏導(dǎo)數(shù)00,xfxy00,yfxy000,xyz0),(yyyxfz0( , ),zf x yxx和首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第37頁(yè)/共132頁(yè)第三十七頁(yè)，共133頁(yè)。2. 高階偏導(dǎo)數(shù)(do sh)設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在區(qū)域(qy)D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)( , ),xzfx yx( , ),yzfx yy則它們?nèi)匀皇莤，y的函數(shù)(hnsh). 如果這兩個(gè)偏導(dǎo)函數(shù)(hnsh)對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)也存在， 則稱(chēng)它們的偏導(dǎo)數(shù)是f（x，y）的二階偏導(dǎo)數(shù). 7.2 偏導(dǎo)數(shù)（1）兩次都對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，即 ，記作)(xzx 2222,( , );xxxxzfzfx yxx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第38頁(yè)/共132頁(yè)第三十八頁(yè)

22、，共133頁(yè)。7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)（2）第一次對(duì)x，第二次對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，即 ，記作)(xzy 22,( , );xyxyzfzfx yx yx y （3）第一次對(duì)x，第二次對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)(do sh)，即 ，記作()zxy22,( , );yxyxzfzfx yy xy x （4）兩次都對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)，即 ，記作()zyy2222,( , );yyyyzfzfx yyy二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階偏導(dǎo)數(shù). 二階混合偏導(dǎo)數(shù) 二階混合偏導(dǎo)數(shù) 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第39頁(yè)/共132頁(yè)第三十九頁(yè)，共133頁(yè)。例4設(shè) 求 22,zx 2,zy x 2,zx y 22,zy33.zx解334

23、8,zxxyx2232128,zxyx2224;zxyx y 322412,zyx yy22221224,zyx yy2224;zxyy x 3324 .zxx7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)44234,zxyx y首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第40頁(yè)/共132頁(yè)第四十頁(yè)，共133頁(yè)。定理(dngl)如果(rgu)函數(shù)z=f（x，y）的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) xyz2及 yxz2在區(qū)域(qy)D內(nèi)連續(xù)，則在該區(qū)域(qy)內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等. 定理說(shuō)明，只要兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則它們與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān). 類(lèi)似地，對(duì)于二階以上的高階混合偏導(dǎo)數(shù)，在混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件下，也與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān). 7.2 偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)

24、第41頁(yè)/共132頁(yè)第四十一頁(yè)，共133頁(yè)。例5設(shè) )2cos( xyz 求 3322,.zzx yy x 解2 sin(2),zyxyx 22sin(2)4cos(2),zxyxyxyx y ).2sin(8)2cos(8)2sin(8)2cos(4)2cos(42223xyyxxyxxyyxxyxxyxyxz).2sin(8)2cos(8)2sin(8)2cos(4)2cos(423xyxyxyyxyxyxyyxyyxyz7.2 偏導(dǎo)數(shù)(do sh)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第42頁(yè)/共132頁(yè)第四十二頁(yè)，共133頁(yè)。例6驗(yàn)證(ynzhng)函數(shù) 22lnyxz滿足(mnz)方程： 22220.zzxy

25、證22221lnln(),2zxyxy22222,2()zxxxxyxy22,zyyxy22222222222222222()2,()()()zxyxxyxxyxxyxyxy 222222222222()2.2()()zxyyyxyyxyxy因此(ync) 22220.zzxy7.2 偏導(dǎo)數(shù)拉普拉斯方程 第43頁(yè)/共132頁(yè)第四十三頁(yè)，共133頁(yè)。3. 偏導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)(jngj)意義 當(dāng)價(jià)格P2不變而P1發(fā)生變化時(shí)，需求量Q1和Q2將隨P1變化而變化，需求量Q1和Q2對(duì)價(jià)格的彈性(tnxng)分別為111111,PQQP122121,PQQP11稱(chēng)為甲商品需求量Q1對(duì)自身價(jià)格P1的直接價(jià)格偏彈性

26、(tnxng)，21稱(chēng)為甲商品需求量Q2對(duì)自身價(jià)格P1的交叉價(jià)格偏彈性(tnxng). 類(lèi)似地，可定義并解釋211212,PQQP222222.PQQP7.2 偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第44頁(yè)/共132頁(yè)第四十四頁(yè)，共133頁(yè)。例7已知某商品(shngpn)需求量Q1是該商品(shngpn)價(jià)格P1與另一相關(guān)商品(shngpn)價(jià)格P2 的函數(shù)，且 Q1=120-2P1+15P2，求當(dāng) 10,1521PP時(shí)，需求的直接價(jià)格偏彈性(tnxng)11及交叉價(jià)格偏彈性(tnxng)12. 解當(dāng) 10,1521PP時(shí)， 24010151521201Q又 11122,15,QQPP 1111110.125,P

27、QQP 2112120.625.PQQP7.2 偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第45頁(yè)/共132頁(yè)第四十五頁(yè)，共133頁(yè)。7.3 全微分(wi fn)1. 全微分(wi fn)的概念2. 全微分(wi fn)在近似計(jì)算中的應(yīng)用首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第46頁(yè)/共132頁(yè)第四十六頁(yè)，共133頁(yè)。7.3 全微分(wi fn)1. 全微分(wi fn)的概念f（x+x）f（x）f （x）x. (, )( , )( , ),xf xx yf x yfx yx( ,)( ,)( ,).yfx yyfx yfx yy 對(duì)x的偏增量(zn lin)對(duì)x的偏微分對(duì)y的偏增量對(duì)y的偏微分首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第47頁(yè)/共132頁(yè)第四十七頁(yè)，共1

28、33頁(yè)。 設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有義，點(diǎn)（x+x，y+y）在該鄰域內(nèi)，如果(rgu)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）的全增量定義(dngy)z=f（x+x，y+y） f（x，y）可以(ky)表示為 z=Ax+By+ )(o其中A、B是x，y的函數(shù)，與x，y無(wú)關(guān)， 22()() .xy )(o是一個(gè)比 高階的無(wú)窮小，則稱(chēng)A x+B y是二元函數(shù)Z= f（x,y）在點(diǎn)（x , y）處的全微分，記作dz，即 7.3 全微分dz=Ax+By. 這時(shí)，也稱(chēng)二元函數(shù)Z= f（x,y）在點(diǎn)（x，y）處可微. 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第48頁(yè)/共132頁(yè)第四十八頁(yè)，共133頁(yè)。 如果函數(shù)(hn

29、sh)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）處可微分，則它在點(diǎn)（x，y）處連續(xù). 定理(dngl)17.3 全微分(wi fn)證 ),(),(yxfyyxxfz( ).A xB y 0)(limlim0000oyBxAzyxyx),(),(lim00yxfyyxxfyx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第49頁(yè)/共132頁(yè)第四十九頁(yè)，共133頁(yè)。定理(dngl)2（可微的必要條件(b yo tio jin)）如果函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)（x，y）可微， 則它在點(diǎn)（x，y）處的兩個(gè)(lin )偏導(dǎo)數(shù) yzxz,必存在，且 ,zAx.zBy7.3 全微分證 ),(),(yxfyyxxfz( ).A xB y 0y (, )(

30、 , ).f xx yf x yA x 00(, )( , )(|)limlim(),xxf xx yf x yoxAAxx ,0 xx 同除以并令.zAxdzzzxyxy d.zzzdxdyxy首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第50頁(yè)/共132頁(yè)第五十頁(yè)，共133頁(yè)。（可微的充分條件(chn fn tio jin)） 如果函數(shù) ),(yxfz 在點(diǎn) ),(yx處的兩個(gè)(lin )偏導(dǎo)數(shù) yzxz和都連續(xù)(linx)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微. 例1求函數(shù) 的全微分. 解2,zxyx2,zxy所以 dz=2xydx+x2dy. 定理 37.3 全微分( , , ).uuuuf x y zdudxdydzxyz2zx y首

31、頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第51頁(yè)/共132頁(yè)第五十一頁(yè)，共133頁(yè)。例2求函數(shù) 的全微分(wi fn). 解2 2sec (),zxyxyx22sec (),zxxyy222 2sec ()sec ().dzxyxy dxxxy dy7.3 全微分(wi fn)2tan()zx yxy首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第52頁(yè)/共132頁(yè)第五十二頁(yè)，共133頁(yè)。例3 求函數(shù) 在點(diǎn)(2,1)處的全微分(wi fn). 解 ,xyzyex,xyzxey221,xyzex2212,xyzey2221 2.xydze dxe dy7.3 全微分(wi fn)xyze首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第53頁(yè)/共132頁(yè)第五十三頁(yè)，共133頁(yè)。2. 全微分(w

32、i fn)在近似計(jì)算中的應(yīng)用7.3 全微分(wi fn)( , )( , ),xydzfx yxfx yy ( , )( , ),xyzdzfx yxfx yy ( , )( , ),xyzfx yxfx yy (,)( , )( , )( , ),xyf xx yyf x yfx yxfx yy 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第54頁(yè)/共132頁(yè)第五十四頁(yè)，共133頁(yè)。例4當(dāng)正圓錐體變形時(shí)，它的底面半徑由30cm增大到30.1cm，高由60cm減少到59.5cm，求正圓錐體體積(tj)變化的近似值. 解hrV231hrrrhhhVrrVdV23132hrrrhV23132將r=30，r=0.1，h=60，h=

33、0.5代入上式，得 2321 30 60 0.1 30( 0.5)30()33Vcm 7.3 全微分(wi fn)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第55頁(yè)/共132頁(yè)第五十五頁(yè)，共133頁(yè)。例5 計(jì)算(j sun)（0.99）2.02的近似值 .解設(shè) f (x, y)=xy,取 1,x x=0.01,y=2,y=0.02,則 f（1，2）=1, 112(1,2)2,yxxyfyx12(1,2)ln0,yyxyfxx7.3 全微分(wi fn)2.02 0.991 20.010 0.010.98. 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第56頁(yè)/共132頁(yè)第五十六頁(yè)，共133頁(yè)。7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)1. 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏

34、導(dǎo)數(shù)2. 隱函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第57頁(yè)/共132頁(yè)第五十七頁(yè)，共133頁(yè)。7.4 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)1. 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)(hnsh) ),(vufz 是變量u、v的函數(shù),而 ),(),(yxvvyxuu又是x,y的函數(shù)，則 ),(),(yxvyxufz 是x,y的復(fù)合函數(shù). 中間變量zuvxy函數(shù)結(jié)構(gòu)圖 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第58頁(yè)/共132頁(yè)第五十八頁(yè)，共133頁(yè)。7.4 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)定理(dngl)如果函數(shù)z=f(u，v)關(guān)于u，v有連續(xù)(linx)的一階偏導(dǎo)數(shù)， 又函數(shù)u=u(x，y),v=v(x，y)在點(diǎn)(x，y)有偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù) z

35、=f(u(x，y)，v(x，y) 在點(diǎn)(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)存在，且zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy鏈?zhǔn)椒▌t 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第59頁(yè)/共132頁(yè)第五十九頁(yè)，共133頁(yè)。例1,zx.zy解vevzveuzuusin,cos1,2,2 ,2 ,uuvvxyxyxy zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy設(shè)z=eucosv，而u=x+2y，v=x2-y2，求 7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)cossin2uuevevx222222cos2sin,xyxyexyxexy2cossin2uuevevy2222222cos2sin.xyxyexyyexy首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第60頁(yè)/共132頁(yè)第六十頁(yè)，共

36、133頁(yè)。7.4 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 二元復(fù)合(fh)函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t對(duì)三元及三元以上的復(fù)合(fh)函數(shù)也是成立的. ( , , ),zf u v w( , ),ux y),(),(yxwyxvzuvwxy,zzuzvzwxuxv xwx .zzuzvzwyuyv ywy 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第61頁(yè)/共132頁(yè)第六十一頁(yè)，共133頁(yè)。下面(xi mian)看鏈?zhǔn)椒▌t的兩種特殊情況. （1） ( , , ),zf u v y( , ),( , ).ux y vx y.zzuzvzyuyv yy （2） ( , , ),zf u v w)(),(),(xwxvxudxdwwzdxdvvzdxdu

37、uzdxdz全導(dǎo)數(shù)(do sh) 7.4 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)zuvyxy,zzuzvxuxv x zuvwx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第62頁(yè)/共132頁(yè)第六十二頁(yè)，共133頁(yè)。例2.dzdx設(shè)z=ln(3u+2v)，u=x2，v=cosx，求 7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)解dzzduzdvdxudxvdx322( sin )3232xxuvuv262sin.32cosxxxx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第63頁(yè)/共132頁(yè)第六十三頁(yè)，共133頁(yè)。例3設(shè)函數(shù)z=f(u，v)對(duì)u，v具有連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)，求z=f(xy，x2+y2)的偏導(dǎo)數(shù)(do sh) 及 .zy解22,uxy vxy,;2 ,2 .u

38、uvvyxxyxyxyuvzzuz vyfu,v2xfu,v ,xuxv x uvzzuzvxfu,v2yfu,v .yuyv y 7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第64頁(yè)/共132頁(yè)第六十四頁(yè)，共133頁(yè)。例4設(shè) x y z=xyf,y x,求 ,zx.zy解xyyxxyfxxz,xyyxfxxyxyyxyf,221,1,xyxyyxfyxyyxfxyxyyxyfxyyxfxyxyyxxfxyyxyf,2217.4 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第65頁(yè)/共132頁(yè)第六十五頁(yè)，共133頁(yè)。xyyxfyxyxyyxxfxyyxxyfyyz,xxyyxfyxxyyxfxyx

39、yyxxf1,221xyyxyfxyyxfyxxyyxxf,2127.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù),x yxfy xy對(duì)求偏導(dǎo),x yyfy xx對(duì)求偏導(dǎo)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第66頁(yè)/共132頁(yè)第六十六頁(yè)，共133頁(yè)。2. 隱函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)7.4 復(fù)合(fh)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)0),(yxF( )f x0)(,(xfxFFxyx0dxdyyFxF,yFxFdxdy.xyFdydxF 或0yF首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第67頁(yè)/共132頁(yè)第六十七頁(yè)，共133頁(yè)。例5求由方程(fngchng) 016542322yxxyx所確定(qudng)的隱函數(shù) )(xfy 的導(dǎo)數(shù)(do sh) .dydx解 設(shè) 22(

40、, )324516,F x yxxyxy2624,45.xyFxyFxy2624.45dyxydxxy 于是 7.4 復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第68頁(yè)/共132頁(yè)第六十八頁(yè)，共133頁(yè)。7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)0),(zyxF( , )z x y0),(,(yxzyxFzxyzxy( , )( , )0,xzzFx y zFx y zx( , , )( , , )0.yzzF x y zF x y zy( , , ),( , , )xxzzF x y zFzxF x y zF ( , , ).( , , )yyzzF x y zFzyF x y zF 0首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第69頁(yè)/共

41、132頁(yè)第六十九頁(yè)，共133頁(yè)。例6設(shè) x3+y3+z3=3xyz. 求 ,zx.zy解設(shè) F(x,y,z)= x3+y3+z3-3xyz, 則 2xF =3x -3yz,2yF =3y -3xz,2zF =3z -3xy.于是(ysh)22xyzzxzxy, 22yxzzyzxy . 7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù)首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第70頁(yè)/共132頁(yè)第七十頁(yè)，共133頁(yè)。例7求 ,zx.zy解設(shè) 7.4 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的偏導(dǎo)數(shù) .xyzxyze設(shè)( , , )= .xyzF x y zxyze = 1,xyzxFyze1,1xyzxyzzyzexxye = 1.xyzzFxye= 1

42、,xyzyFxze1.1xyzxyzzxzeyxye 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第71頁(yè)/共132頁(yè)第七十一頁(yè)，共133頁(yè)。7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(yngyng)1. 空間(kngjin)曲線的切線及法平面2. 曲面的切平面(pngmin)與法線首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第72頁(yè)/共132頁(yè)第七十二頁(yè)，共133頁(yè)。7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(yngyng)1. 空間(kngjin)曲線的切線及法平面 空間(kngjin)曲線在一點(diǎn)處的割線的極限位置定義為曲線在該點(diǎn)處的切線. 在空間，過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的法線所構(gòu)成的平面，稱(chēng)為空間曲線的法平面. 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第73頁(yè)/共132頁(yè)第七十三頁(yè)，共133頁(yè)。7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)

43、用(yngyng): ( ),( ),( ).xtytzt00000(,), Mxyzt0000(,), M xx yy zztt),(0zyxMM0000: xxyyzzM Mxyz000 xxyyzzxyzttt0,0MMt 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第74頁(yè)/共132頁(yè)第七十四頁(yè)，共133頁(yè)。曲線(qxin) 在點(diǎn) ),(0000zyxM處的切線(qixin)方程為 )()()(000000tzztyytxx)(),(),(000ttts切向量(xingling) 在點(diǎn) ),(0000zyxM處的法平面方程為 000000( )()( )()( )()0.txxtyytzz7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用首頁(yè)

44、上頁(yè)下頁(yè)第75頁(yè)/共132頁(yè)第七十五頁(yè)，共133頁(yè)。例1求曲線(qxin) tztytx2,2在點(diǎn) )2 , 1 , 1 (M處的切線(qixin)方程和法平面方程(fngchng). 解因?yàn)辄c(diǎn) )2 , 1 , 1 (M對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為 1t，所以 11,tdxdt所求切線方程為 112.122xyz法平面方程為(1)2(1)2(2)0.xyz即2270.xyz7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用11 22, ttdytdt1 2.tdzdt首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第76頁(yè)/共132頁(yè)第七十六頁(yè)，共133頁(yè)。例2求曲線(qxin) 在點(diǎn) (2,4,3)M處的切線(qixin)方程和法平面方程(fngchng). 7.

45、5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用12,2xzxy解2,21.xx yxzx(2,4,3)2.Mx 對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為21,xdxdx2224,xxdyxdx22.xdzdx所求切線方程為 法平面方程為即243,142xyz(2)4(4)2(3)0,xyz42240.xyz首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第77頁(yè)/共132頁(yè)第七十七頁(yè)，共133頁(yè)。2. 曲面的切平面(pngmin)與法線7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(yngyng): ( , , )0,SF x y z ),(0000zyxM: ( ),( ),( )xtytzt00000(,), Mxyzt0)(),(),(tttFFxyzt0)(),()(),()(),(tzyxF

46、tzyxFtzyxFzyx000000000000(,)( )(,)( ) (,)( )0 xyzF xyztF xyztF xyzt0tt 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第78頁(yè)/共132頁(yè)第七十八頁(yè)，共133頁(yè)。稱(chēng)為(chn wi)曲面S在點(diǎn) 處的切平面. 7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(yngyng)0)(),()(),()(),(000000000000tzyxFtzyxFtzyxFzyx)(),(),(000ttts),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFzyxn0sn.ns),(0000zyxM切平面(pngmin)的法向量為n，切平面(pngmin)的方程為 過(guò) ),(0000zyx

47、M點(diǎn)的所有切線都在同一平面上，這個(gè)平面0)(,()(,()(,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx過(guò)點(diǎn) 0M且垂直于切平面的直線稱(chēng)為曲面在該點(diǎn)的法線. 法線方程為 0),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第79頁(yè)/共132頁(yè)第七十九頁(yè)，共133頁(yè)。例1求球面(qimin) 6222zyx在點(diǎn) )2 , 1, 1 ( 處的切平面(pngmin)方程及法線(f xin)方程. 解設(shè) 6),(222zyxzyxF，則 所求切平面的方程為 0)2(4) 1(2) 1(2zyx即012422zyx法線方程為4221

48、21zyx112112xyz7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用(1, 1,2)(1, 1,2)22,xFx(1, 1,2)(1, 1,2)22,yFy (1, 1,2)(1, 1,2)24,zFz首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第80頁(yè)/共132頁(yè)第八十頁(yè)，共133頁(yè)。例2求旋轉(zhuǎn)(xunzhun)拋物面 在點(diǎn) 處的切平面(pngmin)方程(fngchng)及法線方程(fngchng). 解7.5 偏導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用12222zyxz)9 , 2 , 1 (22 ( , , )221F x y zxyz設(shè)，(1,2,9)(1,2,9)48,yFy(1,2,9)(1,2,9)44,xFx(1,2,9)(1,2,9)11,zF

49、所求切平面的方程為 即法線方程為0)9()2(8) 1(4zyx01184zyx198241zyx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第81頁(yè)/共132頁(yè)第八十一頁(yè)，共133頁(yè)。7.6 多元函數(shù)(hnsh)的極值1. 極值(j zh)及其求法2. 最大值與最小值3. 條件極值,拉格朗日乘數(shù)(chn sh)法首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第82頁(yè)/共132頁(yè)第八十二頁(yè)，共133頁(yè)。7.6 多元函數(shù)(hnsh)的極值1. 極值(j zh)及其求法定義(dngy)設(shè)函數(shù)數(shù)z=f (x，y)在點(diǎn)P0(x0，y0)的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義. 如果對(duì)該鄰域內(nèi)任一異于P0的點(diǎn)P (x，y),都有 f (x，y)f (x0，y0) 則稱(chēng)函數(shù)z=f (x，y

50、)在點(diǎn)P0(x0，y0)處有極大值 f (x0，y0)；如果都有 f (x，y)f(x0，y0) 則稱(chēng)函數(shù)z= f (x,y)在點(diǎn)P0(x0，y0)處有極小值 f (x0，y0). 函數(shù)的極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值，使得函數(shù)取極值的點(diǎn) 稱(chēng)為極值點(diǎn). 000(,)P xy首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第83頁(yè)/共132頁(yè)第八十三頁(yè)，共133頁(yè)。7.6 多元(du yun)函數(shù)的極值221),(yxyxfz在點(diǎn)(0,0)處函數(shù)(hnsh)取得極大值1. 2242),(yxyxfz在點(diǎn)(0,0)處取得(qd)極小值0 .首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第84頁(yè)/共132頁(yè)第八十四頁(yè)，共133頁(yè)。定理(dngl)1(極值的必要條件(b yo

51、 tio jin) 設(shè)函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)),(),(0000yxfyxfyx都存在(cnzi)，則必有 fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0. 滿足方程組 0),(, 0),(yxfyxfyx的點(diǎn)(x0, y0)，稱(chēng)為函數(shù)z=f (x, y)的駐點(diǎn). P0(x0, y0)7.6 多元函數(shù)的極值處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第85頁(yè)/共132頁(yè)第八十五頁(yè)，共133頁(yè)。點(diǎn)(0,0)是函數(shù)(hnsh) 的駐點(diǎn),不是函數(shù)(hnsh)的極值點(diǎn). 7.6 多元函數(shù)(hnsh)的極值 只要函數(shù)z=f (x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在(cnzi)，那么，它的極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn). 但是函數(shù)的駐點(diǎn)不一

52、定是極值點(diǎn). 22yxz00(0,0)20,yxyfy00(0,0)20,xxyfx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第86頁(yè)/共132頁(yè)第八十六頁(yè)，共133頁(yè)。定理(dngl)2 (極值的充分條件(chn fn tio jin) 設(shè)函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn) ),(000yxP的某一領(lǐng)域(ln y)內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且 ),(000yxP即f x(x0，y0)=0，f y(x0，y0)=0. 記 是函數(shù)的駐點(diǎn)，f xx(x0，y0)=A，f xy(x0，y0)=B， f yy(x0，y0)=C，（1） 時(shí)，函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn) ),(000yxP處有 極值,且當(dāng)A0時(shí),有極大值;當(dāng)A0時(shí),有極小值；

53、（2） 時(shí),函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn) ),(000yxP處沒(méi)有極值; （3） 時(shí),函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn) ),(000yxP處可能 有極值,也可能沒(méi)有極值. 7.6 多元函數(shù)的極值20BAC 20BAC 20BAC 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第87頁(yè)/共132頁(yè)第八十七頁(yè)，共133頁(yè)。7.6 多元函數(shù)(hnsh)的極值求具有二階連續(xù)(linx)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f (x, y)極值的一般方法： （1）求導(dǎo)數(shù)(do sh)： ( , ),( , ),( , ),( , ),( , );xyxxxyyyfx yfx yfx yfx yfx y（2）找駐點(diǎn)：, 0),(, 0),(yxfyxfyx（3）判

54、極值：將駐點(diǎn)代入二階導(dǎo)數(shù)中,依次求出A,B,C,并計(jì)算出 ,判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn),如果是極值點(diǎn),則代入原函數(shù)中,求出極值. 2BAC 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第88頁(yè)/共132頁(yè)第八十八頁(yè)，共133頁(yè)。例1求函數(shù) 的極值(j zh). 解x0,y0,x2,y2.因此，函數(shù)(hnsh)有兩個(gè)駐點(diǎn)(0,0)及(2,2). 在點(diǎn)(0,0)處代入原函數(shù)，算得極大值為f (0,0)=3 .7.6 多元函數(shù)(hnsh)的極值322( , )423f x yxxxyyyxxyxfx283),(2yxyxfy22),( , )68,xxfx yx( , )2,xyfx y ( , )2.yyfx y 00(0,0)8,x

55、xAf (0,0)2,xyBf(0,0)2,yyCf 012)2()8(222ACB首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第89頁(yè)/共132頁(yè)第八十九頁(yè)，共133頁(yè)。在(2,2)處, 所以(suy),函數(shù)在點(diǎn)(2,2)處沒(méi)有極值. 7.6 多元函數(shù)(hnsh)的極值(2,2)4,xxAf(2,2)2,xyBf(2,2)2,yyCf 2224 ( 2)120,BAC 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第90頁(yè)/共132頁(yè)第九十頁(yè)，共133頁(yè)。2. 最大值與最小值例2 要做一個(gè)容積(rngj)為32 的無(wú)蓋長(zhǎng)方體箱子,問(wèn)長(zhǎng)、寬、 高各為多少時(shí),才能使所用材料最??？ 解設(shè)長(zhǎng)方體箱子(xing zi)的長(zhǎng)、寬、高分別為x (cm)，y (cm)，Z

56、 (cm)，表面積為A .由上述(shngsh)兩式消去z，得 7.6 多元函數(shù)的極值3cmyzxzxyA2232 xyzVxyxyxyyxyxxyA6464322322首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第91頁(yè)/共132頁(yè)第九十一頁(yè)，共133頁(yè)。解之,得駐點(diǎn)(zh din)為(4,4). 由問(wèn)題的實(shí)際意義知,面積(min j)A在區(qū)域 內(nèi)一定(ydng)取得最小值, 此時(shí),箱子的高為2. 7.6 多元函數(shù)的極值264xyAx264yxAy000, 0),(yxyxD首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第92頁(yè)/共132頁(yè)第九十二頁(yè)，共133頁(yè)。例3 設(shè)某企業(yè)(qy)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷(xiāo)售單價(jià)分別為10元和13元，生產(chǎn)x萬(wàn)件甲產(chǎn)品與y

57、萬(wàn)件乙產(chǎn)品的總成本是 問(wèn)當(dāng)兩種產(chǎn)品(chnpn)的產(chǎn)量各為多少時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少? 解求得函數(shù)(hnsh)的駐點(diǎn)為(1,6). L(1,6)=44 (萬(wàn)件). 7.6 多元函數(shù)的極值22( ,)2C x yxxyy2222( , )1013(2)10132.L x yxyxxyyxyxxyy. 0213),(, 0410),(yxyxLyxyxLyx最大利潤(rùn)為 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第93頁(yè)/共132頁(yè)第九十三頁(yè)，共133頁(yè)。3. 條件極值,拉格朗日乘數(shù)(chn sh)法對(duì)函數(shù)的自變量附加約束條件的極值問(wèn)題(wnt),稱(chēng)為條件極值. 求函數(shù)z= f (x, y)在約束條件(x, y)=0下的極值

58、(j zh).（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù) 7.6 多元函數(shù)的極值用拉格朗日乘數(shù)法求解的步驟如下:( ,)( ,)( ,)L x yfx yx y拉格朗日乘數(shù) 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第94頁(yè)/共132頁(yè)第九十四頁(yè)，共133頁(yè)。（2）求駐點(diǎn)(zh din)解之，即得原函數(shù)f (x, y)滿足(mnz)約束條件的駐點(diǎn)(x0, y0) 和乘數(shù)(chn sh)的值. 7.6 多元函數(shù)的極值（3）判極值一般可根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，判定 是否為極值點(diǎn). 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxLyxyxfyLyxyxfxLyyxx),(00yx首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第95頁(yè)/共132頁(yè)第九十五頁(yè)，共133頁(yè)。7.

59、6 多元(du yun)函數(shù)的極值上述方法(fngf)還可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形. = ( ,)ufx y求函數(shù)在約束條件例如(lr)( , , )0,( , , )0 x y zx y z下的極值.),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第96頁(yè)/共132頁(yè)第九十六頁(yè)，共133頁(yè)。例4 求表面積為2a2(a0)而體積(tj)為最大的長(zhǎng)方體的體積(tj). 解 設(shè)此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別(fnbi)為x, y, z,則問(wèn)題化為在條件 下,求函數(shù)u=xyz的最大值. 7.6 多元(du yun)函數(shù)的極值2xy+yz+xz=a2( ,)().L x yxyz

60、xyyzxza. 0, 0)(, 0)(, 0)(2axzyzxyyxxyzxxzzyyz33xyza最大體積為 33.9a首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第97頁(yè)/共132頁(yè)第九十七頁(yè)，共133頁(yè)。例5某工廠(gngchng)生產(chǎn)兩種商品的日產(chǎn)量分別為x和y(單位:件),總成本函數(shù)(hnsh)(單位:元) 如果(rgu)商品的限額為 ，試求最小成本. 解7.6 多元函數(shù)的極值22616),(yxyxyxC842 yx)842(616),(22yxyxyxyxL. 0842, 012, 0232yxyxyx25,34.xy22(25,34)16 2525 346 3416086().C 元最小成本首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)第9