圓壓軸八大模型題

1、圓壓軸題八大模型題(二)瀘州市七中佳德學校易建洪引言：與圓有關的證明與計算的綜合解答題，往往位于許多省市中考題中的倒數(shù)第二題的位置上，是試卷中綜合性與難度都比較大的習題。一般都會在固定習題模型的基礎上變化與括展，本文結合近年來各省市中考題，整理了這些習題的常見的結論，破題的要點，常用技巧。把握了這些方法與技巧，就能臺階性地幫助考生解決問題。類型2 切割線互垂在RtAABC中，點E是斜邊AB上一點，以EB為直徑的O O與AC相切于點D,與BC相交 于點F.圖圖圖(5) DB2=BC BE;(6) AD2=AE AB.AD=20,AE=10，求 r;(2) AB=40,BC=24求 r.(3) A

2、C=32, AE=10,求 r.(4) / ABD=Z CBD.【分析】(1)在 RtAADO 中,(10+r)2=r2+202，得 r=15.由DO/ BC得竺 A0,：- 遼丄得：r=15.BC AB 2440在 RtAADO 中，AD=、(10 r)2 r2 , DO=r, AO=10+r,由 DO/ BC, AD A° 得，r=15.AC AB(4)連結 DO,DO=BOZ ODB=Z OBD由 DO / BC得/ CBD=Z ODB,：Z ABD=Z CBD.(5) 由 RtA BCM RtA BDE 得 BD2=BC BE.(6) 由厶 ADEA ABD得 AD2=AE

3、AB.圖BB DCFA DGE;(8) DF2=CF BE;(9) AG:AC=1:2,BD=10求 r.(10)DC=12,CF=6,求r和BF.(11)DC=12,CF=6求 CO 上任意線段的長.【分析】(7) 由/ EBD=/ FBD 得 DE=DFDE=DF又/ DFC=Z DEG/ C=Z DGE=90得厶 DCFA DGE.(8)由厶 CDFA DBE得CFDFDEBE,且 DE=DFDF2=CF BE.(9)由厶 AD3A ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:2設 DG=k,貝 U DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10, / k=2 5, BG=BC=2k=4

4、5 ,由 Rt DBG s Rt EBD 得 DB2=GB EB, a 102=4 ,5 EB, /. EB=5 5尸蘭.2(10)/ C=/ CFG=Z CDG=90得矩形 DGFCDG=CF=6,DC=GF=GE=12,在 RtA GEO中，GO2+E=EO2,a (r-6)2+122=r2. r=15-6=9，由中位線定理得 BF=2GO=18.(11)如圖，在 RtA DCO 中，CO= 122 1 52 = 341 , GO=15-6=9, 由 DO/ CB得, CI CP 6 ?, po=3CO=±M.GO OP 9355B圖a同理可得圖中co上其它線段的長度【典例】(2

5、018 四川成都)如圖，在 RtA ABC中，/ C= 90°, AD平分/ BAC交BC于點D, 0為AB 上一點，經過點 A, D的O 0分別交AB, AC于點E, F,連接OF交AD于點G.(1)求證：BC是O 0的切線；(2) 設AB= x, AF= y,試用含x,y的代數(shù)式表示線段5(3) 若 BE= 8, sinB=，求 DG 的長.13【分析】(1 )連接0D,由AD為角平分線得到一 對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等， 等量 代換得到內錯角相等，進而得到0D與AC平行，得到0D與BC垂直，即可得證；F(2)連接DF,由(1)得到BC為圓0的切線，由弦切角等于夾弧所

6、對的圓周角，進而得到三角形ABD與三角形ADF相似，由相似得比例，即可表示出AD;(3)連接EF,設圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出r的值，由直徑所對的圓周角為直角，得到EF與BC平行，得到sin/AEF= sinB,進而求出 DG的長即可.解：(1)證明：如圖，連接 0D, AD為/ BAC的角平分線, / BAD= / CAD,/ 0A= 0D, / 0DA= / 0AD, / 0DA= / CAD, 0D / AC,/ C= 90° / ODO 90；.OD丄 BC, BC為圓O的切線；(2)連接DF,由(1)知BC為O O的切線,/ FDC=Z DAF,

7、./ CDA=Z CFD,/ AFD=Z ADB , vZ BAD=Z DAF, ABDs ADF,ABADADAF，ODOB設圓的半徑為r，可得513即，AD2= AB AF= xy,貝U AD= . xy(3)連接 EF,在 RtA BOD 中，sinB=解得：r= 5, AE= 10, AB= 18, / AE 是直徑， Z AFE= Z C= 90 ； EF/ BC, / AEF= Z B,sin Z AEF= AE 13,550 AF = AE?sinZ AEF= 10 1 131350AG AF 1310/ AF / OD, 13DG OD 51313，即 DG= 一AD,23/

8、AD= - ABgAF30.1313132330.131330.1323【點撥】利用直角三角形、 相似三角形的邊與邊之間的和差倍分關系，勾股定理的關系，比例線段的關系等設元建方程求線段的長度；因此善于分解圖形，由線與角之間關系，構建基本圖形模型，如母子型相似， 共邊角相似，8字型相似，A字型相似等。當出現(xiàn)求線段的一部分， 還要考慮用局部占總體的比例來求解。【變式運用】1. （2018 瀘州）如圖，已知AB, CD是O O的直徑，過點C作O O的切線交AB的延長線于點 P, O O的弦DE交AB于點F,且DF= EF.(1) 求證：CO2= OF?OP;(2) 連接EB交CD于點G,過點G作GH

9、丄AB于點H,若PC= 4. '：, PB= 4,求GH的長.解：(i)證明：/ PC是O O的切線，0C丄 PC, / PCO= 90 °/ AB 是直徑，EF= FD, AB 丄 ED, / OFD= Z OCP= 90 °/ FOD= Z COPOFMAOCP,= ,/ OD= OC,OP oc(圖 2-2)/. OC2= OF?OP.(2)解：如圖作CM丄OP于M,連接ECEO.設 OC= OB= r.OC-PC-4OP3/ CM =在 RtA POC中，/ PC2+ OCF= PO2, ( 4D 2+ r2=( r+ 4) 2, r = 2,/ DC是直徑

10、, Z CEF= Z EFM= Z CMF= 90 °四邊形EFMC是矩形,在 RtAOEF中，OF=-'EC= 2OF=ECCGGO|3/ GH / CM,GHOG3 GH-：CMOC5-/ EC/ OB,2. (2018 云南昆明)如圖， AB是O O的直徑，ED切O O于點C, AD交O O于點F,Z AC平分Z BAD,連接BF.(1)求證：AD丄ED;(2 )若 CD= 4 , AF= 2，求O O 的半徑.解：(1)證明：連接 OC,如圖，T AC平分Z BAD, Z 1 = Z 2, OA= OC, / 1 = Z 3,(圖 2-3) Z 2=Z 3, OC/

11、AD,/ ED 切O O 于點 C,. OC丄 DE, AD丄 ED;(2)解：OC交BF于H,如圖,/ AB 為直徑，/ AFB= 90° 易得四邊形CDFH為矩形，F(xiàn)H= CD= 4,Z CHF= 90° OH 丄 BF,. BH= FH= 4,圖d BF= 8,在 RtA ABF 中，=屈喬=2阿, O O的半徑為 L.3. (2018 江蘇蘇州)如圖， AB是O O的直徑，點C在O O 上, AD垂直于過點C的切線， 垂足為D, CE垂直AB,垂足為E.延長DA交O O于點F,連接FC, FC與AB相交于點G,連接OC.(1) 求證：CD= CE(2) 若AE= G

12、E,求證： CEO是等腰直角三角形.證明：(1)連接AC,v CD是O O的切線， OC 丄 CD,V AD 丄 CD,./ DCO=Z D= 90° AD / OC, / DAC=/ ACO,v OC= OA,CAO=/ ACO, / DAC=/ CAO,CE丄AB, / CEA= 90°在厶CDA和厶CEA中，丄皿0乂詠，山 CDAA CEA(AAS) , CD= CE;AC-AC(2)證法一：連接BC,/ CDAA CEA / DCA=/ ECACE 丄 AG , AE= EG CA= CG, / ECA=/ ECGAB 是O O 的直徑， / ACB= 90° , / CE丄 AB , / ACE=/ B, v/ B=/ F, / F=/ ACE=/ DCA=/ ECGv/ D= 90° ° / DCF+/ F= 90° °/ F=Z DCA=Z ACEZ ECG= °/ AOC= 2Z F= 45° CEO是等腰直角三角形；證法二：設Z F= x,則Z AOC= 2Z F= 2x,/ AD / OC, / OAF=Z AOC= 2x, Z CGA=Z OAF+Z F=