圓錐曲線的綜合問題一詳細(xì)解析版

1、圓錐曲線的綜合問題(一)最新考綱 1.掌握解決直線與橢圓、 拋物線的位置關(guān)系的思想方法；2. 了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用；3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線I與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線I的方程Ax+ By+ C- 0( A, B不同時(shí)為 0)代入圓錐曲線 C的方程F(x, y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量 x(或變量 y)的一元方程，Ax+ By+ C 0,2即消去y,得ax + bx+ c= 0.F (x, y)= 0(1)當(dāng)0時(shí)，設(shè)一元二次方程 ax2 + bx+ c= 0的判別式為A ,則A > 0?直線與圓錐曲線 C 相交；A

2、 = 0?直線與圓錐曲線 C相切;A v 0?直線與圓錐曲線 C相離. 當(dāng)a= 0, bz 0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程， 則直線I與圓錐曲線C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)， 此時(shí)，若C為雙曲線，則直線I與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若C為拋物線，則直線I與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合.2. 圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為k(k豐0)的直線I與圓錐曲線C相交于A, B兩點(diǎn)，A(xi, yi) , B(x2, yj，貝U| AB = , 1 + k | xi - X2|考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2 2x y【例1】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知橢圓C : -2 + 士 = 1(a>b>

3、;0)的左焦點(diǎn)為F(- 1,a b0)，且點(diǎn)R0 , 1)在C上(1)求橢圓C的方程；2 設(shè)直線I同時(shí)與橢圓C和拋物線G： y = 4x相切，求直線I的方程.解 橢圓C的左焦點(diǎn)為F1( - 1, 0) , c= 1,又點(diǎn)P(0 , 1)在曲線C上，0 1 2 2 2 云+ b= 1，得 b= 1，貝U a = b + c = 2,2x 2所以橢圓C的方程為-+ y(x 1) 2+ y2= | x| + 1,化簡得 y2 = 2(| x| + x), 4x ( x> 0),故軌跡C的方程為y =0 (x v 0).在點(diǎn) M的軌跡 C中，記 C： y2 = 4x( x> 0); C2:

4、 y= 0( x v 0).依題意，可設(shè)直線l的方程為y 1 = k(x+ 2).y 1 = k (x+ 2), 由方程組 2y = 4x,= 1.(2)由題意可知，直線I的斜率顯然存在且不等于0，設(shè)直線l的方程為y = kx + m,2x 2“+ y = 1,222由 2消去 y，得(1 + 2k)x+ 4kmx+ 2m 2= 0.y= kx + m因?yàn)橹本€l與橢圓C相切，所以 A 1= 16k2mi 4(1 + 2k2)(2 吊一2) = 0.2 2 整理得2k m +1 = 0.y = 4x ,2 22由消去 y，得 kx + (2km- 4)x+ m= 0.y = kx+ m因?yàn)橹本€l

5、與拋物線C2相切，所以 A 2= (2 km 4)2 4k2m= 0,整理得 km= 1.k=k一犬綜合,所以直線解得2，或2，m= 2m=2.l的方程為y= 2 + , 2或y= “2.規(guī)律方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)，消元后，應(yīng)注意討論含X2項(xiàng)的系數(shù)是否為零的情況，以及判別式的應(yīng)用但對于選擇、填空題要充分利用幾何條件，用數(shù)形結(jié)合的方法求解【訓(xùn)練1】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)M到點(diǎn)F(1，0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點(diǎn)P( 2, 1),若直線l與軌跡C

6、恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k 的取值范圍.解設(shè)點(diǎn)Mx, y)，依題意| MF = |x| + 1,可得 ky 4y+ 4(2 k+ 1)= 0.1 當(dāng)k= 0時(shí)，此時(shí)y = 1.把y= 1代入軌跡C的方程，得x=-.1 故此時(shí)直線I : y = 1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，1 .4 當(dāng)0時(shí)，方程的 A = 16(2 k 證明由已知可設(shè)直線I '的方程為y = x+0),+ k 1) = 16(2 k 1)( k + 1)，設(shè)直線I與x軸的交點(diǎn)為(xo, 0)，貝U2k + 1由 y 1 = k(x + 2)，令 y= 0,得 xo= Av 0,1(i )若由解得kv 1,或k>-.

7、XoV 0 ,21所以當(dāng)kv 1或k>時(shí)，直線I與曲線C沒有公共點(diǎn)，與曲線C2有一個(gè)公共點(diǎn)，故此時(shí)直線I與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn).22k + k 1 = 0,A = 0, (ii )若即2k+ 1解集為?.xc> 0 ,V 0 ,1綜上可知，當(dāng)kv 1或k>空或k = 0時(shí)，直線I與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn).考點(diǎn)二弦長問題2 2x y【例2 (2016 四川卷)已知橢圓E：二+ 2= 1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直a b角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，直線 I : y = x + 3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn) T.(1) 求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；(2) 設(shè)O

8、是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線I '平行于OT與橢圓E交于不同的兩點(diǎn) A, B,且與直線I交于 點(diǎn)P證明：存在常數(shù) 入，使得| PT 2=入I PA I PB，并求入的值2 2(1)解 由已知，a= .2b，則橢圓E的方程為 命+ p= 1.2 2x y2+ 2= 1由方程組 2b b '得 3x2 12x + (18 2b2) = 0.y = x + 3,2 2方程的判別式為 A = 24( b 3)，由A= 0，得b = 3,2 2此時(shí)方程的解為 x= 2，所以橢圓E的方程為x +卷=1點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2 , 1).由方程組y=qx+ m可得2mx= 2-y，2my =- x + 3,y

9、= 1 + .2m2m2 8 2所以p點(diǎn)坐標(biāo)為2-可,i+空.| pti2=§m.設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(X1,yi),B(X2,y2).由方程組2 2x y + -= 1,6322可得 3x + 4mx+ (4 m 12) = 0.方程的判別式為 A = 16(9 2m), 由 A >0,解得一322<n<322.2由得X1+ X2 =4m4m12X1X2 =3 '3所以| PA =m2 X132m1 + 3 y12m2X1同理|PB =¥2m2 T X252m2m所以|PA |pB =42 X132 - 7 - X252m22m=42 亍-2

10、 T(X1+ X2)+ X1X252m 22m4m4R1 122 2 一 +43333210 2=列4 2故存在常數(shù) 入=5，使得| PT 2=入I PA IPB.規(guī)律方法 有關(guān)圓錐曲線弦長問題的求解方法： 涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時(shí)也 往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解.【訓(xùn)練2】2 2x y已知橢圓+ 2= 1( a> b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0 ,a bA.3)，離心率為？，左、右焦點(diǎn)分別為F( c, 0) , Fa(c, 0).(1)求橢圓的方程; 若直線I : y=- 2x

11、 + m與橢圓交于 A B兩點(diǎn)，與以F1F2為直徑的圓交于C, D兩點(diǎn)，且滿足CDw旦空，求直線l的方程解(1)由題設(shè)知b= 3c 1a= 2，.2 2 2 b a c ,解得 a= 2, b= '3, c = 1,橢圓的方程為2X J T= 1.43(2)由(1)知，以F1F2為直徑的圓的方程為 x2+ y2= 1,圓心到直線I的距離d=弔”，由d< 1，得im <羋.(*)x2 mx 吊一3 = 0,由根與系數(shù)關(guān)系可得IAB5,3,得由I CD5二m=x解得心守，滿足(*).直線的方程為y= 2x +考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題 | CD 2寸 1 d2 1 5 4ni.設(shè) A(x

12、i, yi),巳 X2, y2),1y =尹+ m 由22得x y + _ 14 十 31，2X1 + X2= m, X1X2 = m 3.【例3】2x(1)已知橢圓E：2+a2占=1( a> b> 0)的右焦點(diǎn)為F(3 , 0),過點(diǎn)F的直線交E于A,B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , 1)，貝U E的方程為()2 2 2 2x yx y代45+ 36=1B36+27=12 2x yC.27+ 18= 1y= x+ m對稱，且 MN的中點(diǎn)在拋物線(2)已知雙曲線x2 y3 = 1上存在兩點(diǎn)M N關(guān)于直線y2= 18x上，則實(shí)數(shù) m的值為.2 2£= 1 消去 y,得 a

13、 + b2 x23a2x + 9a：解析 (1)因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3 , 0)和點(diǎn)(1 , - 1),所以直線AB的方程為y = 2(x 3),代入橢圓方程 篤+2a2、2a b = 0,3 22a所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2= 1，即a2= 2b2,a 22+ b4又 a = b + C，所以 b= c= 3, a= 3J2,選 D.(2)設(shè) MX1,屮),N(X2, y2), MN的中點(diǎn) P(X0, y°),22 y1彳X1 3 = 12 小2y2d則X2 3 = 1,X1 + X2= 2X0, y + y2= 2y0, 由一得(X2 1X1)( X2 + X1) = (y2 y

14、1)( y2+ y",y2如 y2+ y1y°_Q顯然 x1 工 X2. - - 3, 即卩 kMN 3,X2 X1 X2+ X1X0M N關(guān)于直線 y = x+ m對稱，二 kMN= 1,m 3m yo= 3x0.又t yo= xo+ m 二 P 4,才,9 2m代入拋物線方程得16吊=18 4 ,解得n= 0或8,經(jīng)檢驗(yàn)都符合.答案(1)D(2)0 或8規(guī)律方法處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有X1 +y 1 y2X2, y1+ y2, 一 三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)公式

15、即可求X1 X2得斜率根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后，由根與系數(shù)的關(guān)系求解【訓(xùn)練3】 設(shè)拋物線過定點(diǎn) A 1, 0)，且以直線x= 1為準(zhǔn)線(1) 求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程；1(2) 若直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) M N,且線段MN恰被直線x= 2平分，設(shè)弦MN勺垂直平分線的方程為 y= kx + m試求m的取值范圍解 設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 P(x, y)，則焦點(diǎn)F(2x 1, y).2 2再根據(jù)拋物線的定義得| AF| = 2，即(2x) + y = 4,2所以軌跡C的方程為X2 + y = 1.4 設(shè)弦MN勺中點(diǎn)為P 2, yo , Mxm, yM)

16、, N(xn, y”)，則由點(diǎn)M N為橢圓C上的點(diǎn),4xM+ yM= 4,可知 224xn+ yN= 4.兩式相減，得4( Xm xn)( xm+ xn) + (yM yN)( y“+ y”)= 0,1將 xm+ xn= 2X 2 = 1, yM+ yN= 2yo,yM vn1yoyM；=匚代入上式得k=-.又點(diǎn)p 1, yo在弦MN勺垂直平分線上,所以1yo = 一 2*+ m所以13m= yo+ 尹=4yo.由點(diǎn)P 舟，yo在線段BB上(B', B為直線x = 1與橢圓的交點(diǎn),圖所示)，所以yB，v yov yB，也即一：3v yov 3所以字v m寥，且m# o.44基礎(chǔ)過關(guān)21

17、.過拋物線y= 2x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2,則這樣的直線()C.有且只有三條D.有且只有四條解析 通徑2p= 2,又|AB = xi + X2+ p,. |AE| = 3 > 2p,故這樣的直線有且只有兩條 答案 B2直線y = bx + 3與雙曲線=1(a> 0,b> 0）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（A.1B.2C.1 或 2D.0解析因?yàn)橹本€尸J+ 3與雙曲線的漸近線y=bx平行，所以它與雙曲線只有i個(gè)交點(diǎn).答案 A2x o3. 經(jīng)過橢圓-+ y2= 1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45°的直線I，交橢圓于A, B兩點(diǎn)，設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝y 0A

18、-于（)A. 31B. 31C. 3 或31D. ± 3解析依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)（1 , 0）時(shí)，其方程為y 0= tan 45 ° （x 1）,x 224即y= x 1,代入橢圓方程+ y = 1并整理得3x -4x= 0,解得x= 0或x= 3,所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0， 1） , 3, 7 2I x = §時(shí)，dmin =蘆.答案 B5. （2017 石家莊調(diào)研）橢圓ax2+ by2= 1與直線y = 1 x交于A, B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段 AB0A- OB= 1 ，同理，直線I經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得 0A- ob= 3.3答案 B4. 拋物

19、線y= x到直線x y 2 = 0的最短距離為（）A. 2b.7821 27x 2 -4 一2 ,C.2 2一| x y 2| x + x 2|解析設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x ,y），則d = 中點(diǎn)的直線的斜率為邁3則a的值為()A冷B孚 C.Fd%323227解析 設(shè) A(xi, yi) , B(X2, y2)，線段 AB中點(diǎn) Mxo, yo),由題設(shè)kog-.xo22.2由 axi+ by 2 1,得(y2+ yi)( y2 yi)aax拋物線方程為y = ix，焦點(diǎn)為F(0 , 1)，準(zhǔn)線為y 一1.+ by2= 1,得(X2+ xi)( X2-xi) b.又 y? yi1 y2+ yi

20、 2yo 擊X2 xix2+ xi 2xo2所以a=£.b 2答案 A2 2x yl6. 已知橢圓C： g+含=1(a> b> 0), F(.2, 0)為其右焦點(diǎn)，過 F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長為2.則橢圓C的方程為.C =2,b2a= 2,、x2 y2解析由題意得 一=1, 解得橢圓C的方程為+ = 1.ab/2,42a2= b2 + c2,2 2答案x+魯=17. 已知拋物線y = ax2(a>0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則直線y = x+ 1截拋物線所得的弦長等于.11解析由題設(shè)知p= 2,. a=.聯(lián)立消去x ,2a4y = x +1,F,整理

21、得y2 6y+ 1 = 0, yi + y2= 6,v直線過焦點(diǎn)所得弦 | AE| = | AF| + | BF| = yi + 1 + y2+ 1 = 8.答案 82 28. 過橢圓 糸+ y = 1內(nèi)一點(diǎn)R3 , 1)，且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是 164解析 設(shè)直線與橢圓交于 A(xi, yi) , B(X2, y2)兩點(diǎn),由于A, B兩點(diǎn)均在橢圓上,2 2 ,X1 y1 故一十一=1故16十4'，2 2X2 y2+ = 116 十 4，兩式相減得(X1 + X2)( X1 X2)(1+ y2)( y1 y2)16又 P是A B的中點(diǎn)，xi + X2= 6, yi+ y2=

22、2,=0.屮y23kAB=X12 = 4.直線AB的方程為y 13=4(x 3).即 3x + 4y 13= 0.答案 3x + 4y 13 = 0三、解答題2 2x y9.設(shè)F1, F2分別是橢圓E： g +器=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過 F1且斜率為1的直線l與E相交于A B兩點(diǎn)，且| A冋,|AB|BF|成等差數(shù)列.(1)求E的離心率;設(shè)點(diǎn)R01)滿足| PA = I PB，求E的方程.解(1)由橢圓定義知| A冋+ | BF| + | AB = 4a,又 2|AB =|AR| + |BR|，得 |AB = |a,l的方程為y = x+ c,其中 c= a2- b2.設(shè)

23、A(X1, y” , 0X2, y2)，貝U代B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組y= x 十 c,x2 y2消去y,化簡得(a?十2+ 2= 1 ,a b2 222222耳 Cb ) x + 2a cx + a (c b ) = 0,貝U X1 + X2 = 2_71 a + b2aX1X2=2a + b(C2 b2)因?yàn)橹本€AB的斜率為1，所以| AB = . 2| X2 X1| =2 (乂1十X2)2 4X1X2，即£a=彳十心3 a十b故 a2 = 2b2,所以E的離心率e=；= =彳.2cc2= , yo = xo+c= 3.(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為2X1 + X2 a cX0= -= 2

24、a + bN(xo, yo)，由(1)知由I PA = | PB|，得 kPN= 1，即 y0B =- 1,Xo得 c= 3，從而 a= 3 ；2, b= 3.2 2 故橢圓E的方程為幕+ y = 1.1892 2x y10.已知橢圓C：孑+話=1( a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2 ,0),離心率為直線y= k(x 1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn) M N(1)求橢圓C的方程；當(dāng)厶AMN勺面積為冷0時(shí)，求k的值3a= 2,解由題意得 C=¥，a 22 . 2 2a = b + c .2 2 解得b= '2，所以橢圓c的方程為x+y=1.y= k( x 1 )，(2)由

25、X2 y2得(1 + 2k2)X2 4k2x+ 2k2 4= 0.才 + 2 = 1，設(shè)點(diǎn)M N的坐標(biāo)分別為(X1，y1)， (X2，y2)，則 y1 = k( X1 1)， y2= k(X2 1)，2 24k2k 4X1 + X2=2，X1X2=2，1 + 2k1 + 2k所以 | MN =、： (X2 X1) +( y2 y1)2 2=(1 + k ) (X1 + X2) 4X1X22(1 + k2)( 4 + 6k21 + 2k所以 AMN勺面積為S= 2| MN d= 1鼻專冰，由又因?yàn)辄c(diǎn)A(2 , 0)到直線y = k(X 1)的距離d = Jk2,| k| 4+ 6k210-32=

26、解得 k=± 11 + 2k23，解得 k 能力提高2 2F1，F(xiàn)2,過F1的直線I交橢圓于A BX y11.已知橢圓匚+ 2 = 1(0 v bv 2)的左、右焦點(diǎn)分別為4 bA.1B. ：'2C. 2D. .'3解析 由橢圓的方程，可知長半軸長為a= 2,由橢圓的定義，可知|AF2| +1 BF2| + | AEB = 4a所以 | AB = 8 - (| AF2| + | BF2|) > 3.由橢圓的性質(zhì)，可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中,通徑最短，即2b = 3,可求得 b2 = 3,即 b= .-3.答案 D12.(2016 四川卷)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),是線段PF上的

27、點(diǎn)，且 I PM = 2| Mff ,P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 y2 = 2px(p>0)上任意一點(diǎn)，M 則直線OM勺斜率的最大值是(解析D.12B.32 如圖所示，設(shè) F(X0, y0)( y0>0)，貝U y。= 2px。,2即 X0 = 2-P.2P設(shè) Mx', y')，由 PM= 2MFfx得y'- x°= 2 2一x',-yo= 2 (0-y'),解之得直線OM勺斜率k= Zxy。2p,A為垂足.如果直線5且 IQF = 4I PQ(1)求C的方程；過F的直線I與C相交于A B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線I '與C相交于M N兩點(diǎn)，且A M B, N四點(diǎn)在同一圓上，求 I的方程.2 8解設(shè)Q