數(shù)列求和7種方法方法全,例子多

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯(cuò)位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯(cuò)位相減 法，三、逆序相加法、錯(cuò)位相減法是數(shù)列求和的二個(gè)基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競(jìng)賽中都占有重要的地位 數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定 的技巧.下面，就幾個(gè)歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題來(lái)談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和

2、21、等差數(shù)列求和公式：Snn(a1 an)2na12、等比數(shù)列求和公式：Sna1(1 qn)1 qn1 ,1)3、Snkn(n4k 125、Snnk31二 n(n1)2k 12例1已知log1求X x23 Xlog2 3利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法n(n na121)d(q 1)a1a.q(q1)1 q、Snnk2k 111n(n 1)(2n1)63nxx的前n項(xiàng)和.解：由log3 x1log 2 3log 3 xlog 32由等比數(shù)列求和公式得2Sn X X（利用常用公式）例 2設(shè) S= 1+2+3+n, n N,求 f (n)解：由等差數(shù)列求和公式得SnSnf(

3、門(mén))(n 32) Sn 11""64n 34 -nx(1 xn)1 x2(i丄)卍=1 -丄1 1 2n2Sn(n 32)Sn 12n（n 1），nn2 34n 6450的最大值.Sn501-(n 1)( n 2)2（利用常用公式） 8二當(dāng)n ，即n= 8時(shí)，f (n)V8max150解：原式 =答案2223.2題 2.右 1 +2 + +(n-1) =an+bn+cn,貝U a=,b=,c=二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列項(xiàng)和，其中 a n 、 b n 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列 例 3求和：Sn 1 3x 5x2

4、 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知， (2n 1)xn1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 xn設(shè) xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn2xn 1(2n1)xna n bn的前 n的通項(xiàng)之積(設(shè)制錯(cuò)位)(錯(cuò)位相減)一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4(2n1)xn再利用等比數(shù)列的求和公式得:n 11 x(1 x)Sn 1 2x -1 xSn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)2解:由題可知,設(shè)Sn2Sn2 1 23 1曰 2n4224一得（1練習(xí)題1 已知答案:2n2前n項(xiàng)的和.1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列厶的通項(xiàng)之積

5、2n1)Sn2_6_236尹22Sn2歹12 n 1n 22n孑2n盯2 2T3 T42 22n2* 12 2nnn 12 2，求數(shù)列 an的前（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相減）n項(xiàng)和S.練習(xí)題 2的前 n 項(xiàng)和為 答案：、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n 個(gè)(a1an).例5 求證： Cn03Cn15Cn2(2n 1)Cnn(n 1)2n證明： 設(shè) SnCn03C1n5Cn2(2ni)cn .把式右邊倒轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)得Sn(2n1)Cnn (2n1)Cnn 13Cn1c0 cn又由m CnnmCn可得Sn(2n1)

6、Cn0 (2n1)Cn13cnn1cnCn .反序）+得 2Sn01(2n2)(Cn0C1nCnn 1CnCnn )2(nn1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n22例 6求 sin 1 sin 22sin 32sin 882sin 89的值解：設(shè) S sin 21sin 2 2sin 23sin 288sin 89 . 將式右邊反序得S sin289sin 2882sin3sin 2 2sin21 . （反序）又因?yàn)?sinxcos(90x),sin 2 x2cos x 1 +得（反序相加）2S (sin21cos21 ) (sin2 2cos2 2 ) (sin289cos2 89 )

7、= 89S =題 1 已知函數(shù)1）證明：的值.=右邊（2）求解：（ 1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左邊（ 2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得:所以練習(xí)、求值：四、分組法求和有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類(lèi)數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和:111-14, 27,7L 3n2 :>aaa解：設(shè)Sn(1 1)(14)1(27)(；13n2)aaa將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得Sn(1 112h) (1473n2)（分組）aaa當(dāng)a=1時(shí)，Snn(3n1)n(3n1)n（分組求和）22當(dāng)

8、a 1時(shí)，Sn(3n 1)n_2(3n 1)n2例8求數(shù)列n（n+1）（2n+1）的前n項(xiàng)和.解：設(shè) akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 kn Snk(k 1)(2k1)k 1n=(k 12k3將其每項(xiàng)拆開(kāi)冉重新組合得nnns= 2k3 3 k2kk 1k 1k 1=2(1323n3)3(1222n2(n 1)2 n(n1)(2n1)2223k k)（分組）n2) (1 2n)n(n 1)（分組求和）2五、裂項(xiàng)法求和2n(n 1) (n 2)2這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分

9、解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n1)2n 1)(5)ann(n 1)( n 2)2 n(n 1)(nann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n 1)12n(7)an(8)an1n 1nn 2 (n 1)2'則 $1 (n 1)2"(An B)(An C) C B、An B An C)- .n 1. n.n n 11111111 1例9 求數(shù)列, 的前n項(xiàng)和.1邁忑43蘇R解：設(shè)an.n（裂項(xiàng)）例 10例 11解:則Sn=

10、C.2,1)在數(shù)列an中,解:an（裂項(xiàng)求和）(.3,2)七，又bnan2，求數(shù)列b n的前n項(xiàng)的和.1n 12n n 12（裂項(xiàng)）數(shù)列b n的前n項(xiàng)和Sn8(1=8(11 12)(2)=n 113)8nn 11(314)（裂項(xiàng)求和）111cos1cosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89.2 .sin 1111cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89si n1tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos891(ta n 1tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3tan 2 )s

11、in 11丄c、1cos1(tan 89tan 0 )=cot1 = . 2dsin 1sin 1sin21設(shè)S- S求證tan 89原等式成立（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）tan 88 答案：練習(xí)題1.練習(xí)題2。答案：六、分段求和法(合并法求和)針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這 些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cosl ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.解：設(shè) S= cosl ° + cos2 ° +

12、cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° cosn cos(180 n )(找特殊性質(zhì)項(xiàng)) S=(cos1 ° + cos179 ) + ( cos2 ° + cos178 ) +( cos3 ° + cos177 ) + +( cos89 ° + cos91 °) + cos90 °(合并求和)=0例 13數(shù)列an: a1 1,a23,a3 2, an 2 an 1 an，求 S2002.解：設(shè) S2oo2= a1 a2 a3a2002由 a11, a23,a32, an 2 an

13、1 an 可得a41, a53, a62,a71,a83,a92, a101, a113, a122,a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 60找特殊性質(zhì)項(xiàng)）a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41, a6k 53, a6k 62Soo2= aia2a3a2002合并求和）例 14=(a1a 2a3a6)(a7a8a12)(a6k 1a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998 )a1999a2000a 2001 a2002=ai999a 2000a2001a2002=a6k 1a 6k 2a6k 3a6k4=5在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)

14、列中，若a5a69,求 log3 a1log 3a2log 3 aio 的值.解：設(shè) Snlog 3 a1log 3 a2log 3a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m n pqa m a na paq（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)logaMlogaNloga M N得Sn(log 3 a1log3 a10 ) (log 3 a2log3 a9 )(log 3 a5log 3 a6）（合并求和）= (log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6)=log 3 9 log 3 9 呱9=10練習(xí)、求和：D .2答案： 2 .練習(xí)題 2 .若 S=1-2+3-4+ +(-1

15、) n-1 n,貝U 817+833+ S 50等于()答案:解：對(duì)前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決，即： S=A練習(xí)題 31002-99 2+982-97 2+F-12 的值是解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái) 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例 15求 1 11 1111111 之和.n個(gè) 1解：由于111119999丄(忖1)(找通項(xiàng)及特征)k個(gè) 19k個(gè) 19 1 11 111111 1n個(gè)11 1=-(101 1)

16、91 2(102 1)913(103 1)9(10n 1)9(分組求和)1 1 2=-(101 10210310n)丄(1 111)99n個(gè)11 10(10n 1) n910 191n 1=(1010 9n)8(n 1)(n1)(an81解：(n 1)(an an 1)8(n1)-(n11)(n1 3) (n 2)( n 4)（找通項(xiàng)及特征）=8 11 （設(shè)制分組）(n 2)(n4)(n 3)(n 4)=4 (-1 1 1)8( 一）（裂項(xiàng)）例16已知數(shù)列an: an3?求 m(nan 1 )的值.n2n4n 3 n41(n 1)(an an 1)4(丄）1 18 ( )（分組、裂項(xiàng)求和）n 1 n 2n 4n 1 n 3 n 4111=4 ()8344=133提高練習(xí)：1.已知數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn1 4% 2（n 12川）,務(wù)1 ,設(shè)數(shù)列bn an 1 2an （n 1,2,），求證：數(shù)列bn是等比數(shù)