二重積分的引入

1、二重積分的引入一冰山體積的計(jì)算?、問(wèn)題提出?由于全球氣候變暖，冰川融化等原因，導(dǎo)致海 平面上升，對(duì)沿海城市和島嶼城市的生存都產(chǎn) 生嚴(yán)重的威脅。為此各國(guó)科學(xué)家都依靠氣候資 料和衛(wèi)星探測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)各種冰JI融化狀況進(jìn)行研 究，以預(yù)測(cè)海平面未來(lái)變化情況。?、問(wèn)題提出?冰111融化是海水上升的主要原因，冰川融化的第一階段是冰川表面融化，當(dāng)冰川融化到一定程度，冰川的邊緣變薄，會(huì)發(fā)生斷裂，形成漂浮在海洋中的冰山，冰山會(huì)較快的完全融化。我們想通過(guò)衛(wèi)星觀測(cè)知道冰川融化的情況，由衛(wèi) 星探測(cè) 可測(cè)得某一區(qū)域冰川的各指定點(diǎn)處高度數(shù)據(jù)，擺在我們面前 的問(wèn)題是如何設(shè)計(jì)觀測(cè)點(diǎn)并通過(guò)觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算出冰山的體積。如果計(jì)算出某一時(shí)間

2、冰山的體積，通過(guò)一段時(shí)期的觀測(cè)并通過(guò)前后冰川體積的變化， 可知冰川融化掉 的體積和融化 速度。?、問(wèn)題提出?為研究方便，我們不妨假設(shè)冰山的底部在一水平面上.在某一具體實(shí)例中，通過(guò)適當(dāng)建立坐標(biāo)系，我們把冰山投影到其底部所在的坐標(biāo)面xOy上，衛(wèi)星沿兩 個(gè)坐標(biāo)軸方向各自間隔 0.1個(gè)單位長(zhǎng)度測(cè)量一個(gè)冰山高 度（相對(duì)于所建立的坐標(biāo) 面），得到如下數(shù)據(jù)：實(shí)例數(shù)據(jù)8080.180.280.380.480.580.680.780.88312131722302619181583.1404547881233546401983.23880134189234881201302783.3357117929034524

3、3801202883.418662304103802801701503083.5246158400360250130461883.673898330300208111331583.7835652201501096810383.801430150806523110ACT二建立模型確定研究區(qū)域D為冰山在坐標(biāo)面上的投影區(qū)域：兀坐標(biāo)由 a變化到b）坐標(biāo)由c變化到d度，冰山表面可以用區(qū)域 D: a<x<b,c < y <d 上的個(gè)二元函數(shù)Z = v）來(lái)表示。求某一時(shí)刻冰山的體積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求如圖所示的曲頂柱體的體積問(wèn)題工模型求解將冰山用垂直于底面的平行平 面分割，這樣研究區(qū)域內(nèi)的

4、冰川被分 成一些曲頂柱體，每個(gè)曲頂柱體的體 積用匕表示, 而冰山體積V可以看 作是這些曲頂柱體體積之和，即工模型求解我們用表示第氐個(gè)曲頂柱體的底，用表示其面積，用Xik,yjk分別表示在上任意取定的一點(diǎn)，則第氐個(gè)曲頂柱體的體積可近似表示為：從而v=1人匕？（日勺，比曲 當(dāng)取初無(wú)限細(xì)分的極限時(shí),V=lim八AV,將初始問(wèn)題中的數(shù)據(jù)帶入模型求解，其中：x. = 83, x. = 83 上兀？ = 83.2, x. = 833 '。9 fx. = 83.4, x. = 83.5, x. = 83.6, x. = 83.7, x. = 83. & z 丐構(gòu) f %y j 0=8。

5、77;JL 2 =* 2A =80.3,yj4 =80.4，兒 § =80.5，兒 z =80.6，兒=80.7，兒：=80.8由計(jì)算可得：V =XA匕俎工/仇必Z = 99960008080.0580.180.1580.280.2580.380.3580.480.4580.580.5580.680.6580.780.7580.88312131722302619181583.05404547881233546401983.13880134189234881201302783.1583.283.2583.3? 8080.0580.180.1580.280.2580.380.3580.4

6、80.4580.580.5580.680.6580.78(780.883.35!83.483.4583.583.5583.683.6583.783.7583.8求曲頂柱體的體積采用 限”的方法，如下演示分割、求和、取極四、二重積分的概念定義設(shè)y (x,j)是有界閉區(qū)域)上的有界函 數(shù),將閉區(qū)域D任意分成 個(gè)小閉區(qū)域XT, A6, , AcrM,其中Act,?表示第個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積， 在每個(gè)ACT.上任取一點(diǎn)(I =l,2<>n),作乘積并作和£/ $, %) 6,1=1如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值 2趨近于零 時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)/&）在甸 區(qū)域D上的二重積分，記為產(chǎn)（兀如DDT積分區(qū)域被積函數(shù)對(duì)二重積分定義的說(shuō)明：