2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修一學(xué)案：3.1.2第1課時指數(shù)函數(shù)及其圖象

1、 3. 1.2 指數(shù)函數(shù) 第 1 課時 指數(shù)函數(shù)及其圖象 學(xué)習(xí)目標 1.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義（難點）；2.能畫出指數(shù)函數(shù)的簡圖（重 點）；3初步掌握指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（重點）. I課前預(yù)習(xí) “耋ilif證噩I盲至瑩旨鑒鬆逹基畫 預(yù)習(xí)教材 P64 67,完成下面問題： 知識點一指數(shù)函數(shù)的概念 一般地，函數(shù) y= ax（a0, 且 a 1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義 域是 R. 【預(yù)習(xí)評價】 F 列函數(shù)中一定是指數(shù)函數(shù)的有 _ 填序號）. X； (1)y= (4)； (3)y= 2X 3X； 解析 y= （ 4）x的底數(shù)一 4V 0,不是指數(shù)函數(shù)；y= 2X 3X中 3X的系

2、數(shù)等于 2,不 是指數(shù)函數(shù)；y= X3中自變量 X 在底數(shù)的位置上，不是指數(shù)函數(shù)；由指數(shù)函數(shù)的 定義知，只有 y= 3X是指數(shù)函數(shù). 答案（2） 知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1 X (2)y=(3); (4)y=x3; 續(xù)表 定義域： R 值域：(0, + g) 性質(zhì) 過點(0,1)， 即 x = 衛(wèi)時” J 當 x 0 時，y 1; 當 x0 時，0y 1; 當 x 0 時，0 y 1 當 x 1 在 R 上是增函數(shù) 在 R 上是減函數(shù) 【預(yù)習(xí)評價】 指數(shù)函數(shù) f(x) = (a+ 1)X是(g, +9上的減函數(shù)，則 a 的取值范圍是 _ . 解析函數(shù) f(x) = (a+ 1)x是指數(shù)函

3、數(shù)，且 f(x)為減函數(shù)，/0 a+ 1v 1, A-K a V 0. 答案 (一 1,0) 知識點三比較幕的大小 一般地，比較幕大小的方法有： (1) 對于同底數(shù)不同指數(shù)的兩個幕的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷； 對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個幕的大小，利用指數(shù)函數(shù)的圖象的變化規(guī)律來 判斷； 對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的兩個幕的大小，則通過中間值來判斷. 【預(yù)習(xí)評價】 思考 若 xi0 且 a 1)大小關(guān)系如何？ 提示 當 a 1 時，y= ax在 R 上為單調(diào)增函數(shù). 所以 ax1 a,當 0aax2. 題型剖析.可動探究 題型一 指數(shù)函數(shù)的概念 【例 1】 給出下列函數(shù)： y= 2 3x:丫二

4、 3x+1y= 3x;y=x3;y= (2)x.其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是 解析 中，3x的系數(shù)是 2,故不是指數(shù)函數(shù)；中，y= 3x+1的指數(shù)是 x+ 1, 不是自變量 x,故不是指數(shù)函數(shù)；中，3x的系數(shù)是 1,幕的指數(shù)是自變量 x, 且只有 3x 一項，故是指數(shù)函數(shù)；中，y=x3的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故 不是指數(shù)函數(shù)；中，底數(shù)2V 0,不是指數(shù)函數(shù). 答案 1 規(guī)律方法(1)指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個特征：底數(shù) a 為大于 0 且不等 于 1 的常數(shù)；指數(shù)位置是自變量 x；ax的系數(shù)是 1. (2) 求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù) a,并注意 a 的限制條件. 【訓(xùn)練 11 函數(shù) y= (2a

5、2 3a + 2) ax是指數(shù)函數(shù)，求 a 的值. 2 2a 3a + 2= 1, I 1 解由題意得 a0, 解得 a=2. a 1, 1 a 的值為 2. 題型二 指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域 【例 21 求下列函數(shù)的定義域和值域： 2 y 1 X x 3 1 41 (1) y= 2x4； (2)y= .1 2x； (3)y=- x x+1 . A (4)y= 4 + 2 + 1. 解 (1)由 x 4 工 0,得XM4, 1 故 y= 2x4的定義域為x|x 取，且XM4. 1 . _ 又 M 0,即 M 1, x 4 故科= 的值域為y|y0,且 yM 1. 由 1 2x0,得 2x 1,

6、/x0, y= ：；1 2x 的定義域為(3 0. 由 0v2x 1,得一 1 2xv0,/0 4, 2 O 卽=16. t 1 JZ 2 ja 又 0, 2 / j 、乂 故函數(shù) y= 的值域為(0,16. (4) 定義域為 R. y=4x+ 2x+1 + 1 = (2x)2 + 2 2x+ 1 = (2x+ 1)2, 又 2x0,y1，故函數(shù)的值域為yy1. 規(guī)律方法 對于 y= af(x)(a0,且 a 1)這類函數(shù), (1) 定義域是使 f(x)有意義的 x 的取值范圍； (2) 求值域問題，有以下三種方法： 由定義域求出 u = f(x)的值域； 利用指數(shù)函數(shù) y= au的單調(diào)性求得

7、此函數(shù)的值域. 求形如 y= Aa2x+ B ax+ C 類函數(shù)的值域一般用換元法，設(shè) ax= t(t0)再轉(zhuǎn)化為 二次函數(shù)求值域. 【訓(xùn)練 2 (1)函數(shù) f(x)=71 2x + A的定義域為 x+ 3 函數(shù) f(x)= 3)- 1, x 1,2的值域為 _ . ”1 2x 0, 解析（1）由題意，自變量 x 應(yīng)滿足 S :x+ 3 0, |x 0, 解得 3v x- 3, 1 1 8 _ 8 i (2)v-1 x 2,.亍 gjw 3,A9d 1, bvav 1. b0 時，y= 2x的圖象, 再作關(guān)于 y 軸的對稱圖形，即可得到 y= 2|x|的圖象. 【探究 3】 試畫出 y= 2|

8、x-11的圖象. 而 y= 2x-1可由 y=2x向右平移 1 個單位得到，y= ?)-1可由 y= 向右平移一 個單位得到. 圖象如下: 【探究 4】 直線 y = 2a 與函數(shù) y = |2x- 1|圖象有兩個公共點，求實數(shù) a 的取值范 圍.y= 2- J 2x-1, x 1, 21-x，xv 1 2x-1, x 1, 2x, xv0, 解 y= |2x 1|= 圖象如下: l2x 1, k 7 由圖可知， 要使直線 y= 2a與函數(shù) y= |2x- 1|圖象有兩個公共點. 1 1 需 Ov2av 1, 即 Ovav2,故 a6(0, 2) 規(guī)律方法 指數(shù)函數(shù) y= ax(a0 且 a

9、1)的圖象變換： (1)平移變換： 把函數(shù) y= ax的圖象向左平移(K(0)個單位， 則得到函數(shù) y= ax+ 的圖象；若向右平移(K 卩 0)個單位，則得到函數(shù) y= ax 的圖象；若向上平移衣護 0) 個單位，則得到 y= ax+的圖象；若向下平移(K 代 0)個單位，貝 U 得到 y= ax 的圖象即“左加右減，上加下減”. 對稱變換：函數(shù) y= ax的圖象與函數(shù) y= ax的圖象關(guān)于 y 軸對稱；函數(shù) y= ax的圖象與函數(shù) y= ax的圖象關(guān)于 x 軸對稱；函數(shù) y= a x的圖象與函數(shù) y= ax的圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù) y= a|x|的圖象關(guān)于 y 軸對稱；函數(shù) y= |ax

10、b|的圖象 就是 y= ax b 在 x 軸上方的圖象不動，把 x 軸下方的圖象翻折到 x 軸上方. 一般的情形：函數(shù) y= |f(x)|的圖象由 y= f(x)在 x 軸上方圖象與 x 軸下方的部 分沿 x 軸翻折到上方合并而成，簡記為 “下翻上，擦去下”；函數(shù) y= f(|x|)的 圖象由函數(shù) y=f(x)在 y 軸右方圖象與其關(guān)于 y 軸對稱的圖象合并而成，簡記為 “右翻左，擦去左”. 課堂反饋 自規(guī)亂罰瑟 課堂達標 1. _ 若函數(shù) y= (a2 5a + 7)(a 1)x是指數(shù)函數(shù)，則 a 的值為 _ . 解析 由指數(shù)函數(shù)的定義可得 a2 5a+ 7= 1, 解得 a = 3 或 a

11、= 2, 又因為 a 10 且 a 1 工 1, 故 a = 3. 答案 3 2. _ 已知函數(shù) f(x) = 4+ ax+1的圖象經(jīng)過定點 P,則點 P 的坐標是 _ . 解析 當 x+ 1 = 0,即 x= 1 時，ax+1= a0= 1,為常數(shù)，此時 f(x) = 4+ 1= 5, 即點 P 的坐標為(1,5). (丄) 解析-x2 1 1,/y= 又 y0,.函數(shù)值域為(0,2. 答案(0,2 4.已知 0vav 1, bv 1, J則函數(shù) y= ax+ b 的圖象必定不經(jīng)過第 _ 限. 1 (1 解析 取 a=2, b= 2,所以得函數(shù) y= 2 x2,由圖象平移的知識知，函數(shù) y =一 2 的圖象是由函數(shù) y= 1 x的圖象向下平移兩個單位得到的， 故其圖象一 定不過第一象限. 答案一 5.若函數(shù) f(x)= (a2 7a + 7)ax是指數(shù)函數(shù)，求實數(shù) a 的值. 解 -函數(shù) f(x)= (a2 7a + 7)ax是指數(shù)函數(shù)， a2 7a+ 7= 1, a= 1 或 a = 6, a0, a 1. a0, a 1. 答案 (1,5) 的值域是 a= 6,即實數(shù) a 的值為 6. 課堂小結(jié) 1. 判斷一個函數(shù)是不是指數(shù)函數(shù)，關(guān)鍵是看解析式是否符合 y= ax（a0 且 a 1） 這一結(jié)構(gòu)形式，即 ax的系數(shù)是 1,指數(shù)是 x 且