2018版高中數(shù)學(xué)蘇教版必修四學(xué)案：章末復(fù)習(xí)課1

1、 學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解任意角的三角函數(shù)的概念 2 掌握同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式 3 能 畫出 y= sin x, y= cos x, y= tan x 的圖象 4 理解三角函數(shù) y= sin x, y= cos x, y= tan x 的性質(zhì).5. 了解函數(shù) y= Asin( +妨的實際意義，掌握函數(shù) y= Asin(3x+$)圖象的變換. n知識梳理 - i .任意角三角函數(shù)的定義 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè) a是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 P(x, y),那么： (1) y 叫做a的 _ ，記作 _ ，即 _ ； (2) x 叫做a的 _ ，記作 _ ，即 _ ； (3) 叫做a的

2、_ ，記作 _ ，即 _ . x 2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 (1)平方關(guān)系： _ . 商數(shù)關(guān)系：tan a= COM (工 kn+ 2, Z 3 .誘導(dǎo)公式 n 六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“ k a(k Z)”的誘導(dǎo)公式.當(dāng) k 為偶數(shù)時，函數(shù)名不改變； 當(dāng) k 為奇數(shù)時，函數(shù)名改變，然后前面加一個把 a視為銳角時原函數(shù)值的符號.記憶口訣為 “奇變偶不變，符號看象限”. 1 章三角函數(shù) 定義域 R R , n x|x R 且 xM kn+ 2, k Z 值域 對稱性 n 對稱軸：x= kn+ 2(k Z); 對稱中心：(k n, 0)(k Z) 對稱軸：x= knk Z); 對稱中心：k

3、n+ n， 0 f (k Z) 對稱中心： fkn，0 (k Z)，無對稱軸 奇偶性 周期性 最小正周期： 最小正周期： 最小正周期： 單調(diào)性 在 (k 在 (k 扌+ 2k n, n+ 2k Z)上是單調(diào)增函數(shù)； n 3 n 1 + 2k n _+ 2k n 1 2 2 J Z)上是單調(diào)減函數(shù) 在n+ 2k n, 2kn Z)上是單調(diào)增 函數(shù)；在2kn, n+ 2kn Z)上是單調(diào)減 函數(shù) 在開區(qū)間(k n 2 , k n+ (k Z)上是單調(diào)增函數(shù) 最值 在 x= (k Z)時， ymax= 1 ；在 x= 2+ 2kn(k Z)時，ymin= 1 在 x = 2kg Z)時， ymax=

4、 1 ；在 x= n+ 2knk Z)時，ymin = 1 無最值 題型探究 - 類型一 三角函數(shù)的概念 例 1 已知角B的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為 x軸的正半軸.若 P(4, y)是角B終邊上一點，且 sin 0=-兮，貝V y= _ . 反思與感悟 (1)已知角a的終邊在直線上時，常用的解題方法有以下兩種： 先利用直線與單位圓相交，求出交點坐標(biāo)，然后再利用正弦、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三 角函數(shù)值. 在a的終邊上任選一點 P(X, y), P 到原點的距離為 r(r 0).則 sin a= :, cos a=:.已知a 的終邊求a的三角函數(shù)值時，用這幾個公式更方便. 當(dāng)角a的終邊上點的坐標(biāo)以參

5、數(shù)形式給出時， 要根據(jù)問題的實際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論. 跟蹤訓(xùn)練 1 已知角a的終邊經(jīng)過點 P(3,4t)，且 sin(2kn+a = -；(k Z)，則 t = _ . 類型二同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用 例 2 已知關(guān)于 x的方程 2x2(寸 3 + 1)x + m= 0 的兩根為 sin 0, cos 0, (0,2 n .求: cos2 字-0 sin 扌+ 0 (1) - p - cos 牙-0 p cos( 0 1 + tan( n 0) m 的值； (3)方程的兩根及此時 0的值. 反思與感悟 (1)牢記兩個基本關(guān)系式 sin2 a+ cos2 a= 1 及 tan

6、 a并能應(yīng)用兩個關(guān)系式進(jìn) cos a 行三角函數(shù)的求值、化簡、證明.在應(yīng)用中，要注意掌握解題的技巧.比如：已知 sin a 3OS a 的值，可求 cos asin a注意應(yīng)用(cos asin1 2sin acos a n (2)誘導(dǎo)公式可概括為 k土ak Z)的各三角函數(shù)值的化簡公式.記憶規(guī)律是：奇變偶不變， 符號看象限. 2 跟蹤訓(xùn)練 2 已知 f( a)= sin(n a)cos(2 n a)tan( n+a) si n( n+ a tan a+ 3 n (1) 化簡 f( a ； (2) 若 f( a= 士且玄 an，求 cos a Sin a的值； 8 4 2 若a= 4，求f(

7、a的值. 類型三 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 例 3 將函數(shù) y= f(x)的圖象向左平移 1 個單位長度，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的 然后向上平移 1 個單位長度，得到函數(shù) y= . 3sin x的圖象. (1)求 f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間； (2)若函數(shù) y= g(x)與 y= f(x)的圖象關(guān)于直線 x= 2 對稱，求當(dāng) x 0,1時，函數(shù) y= g(x)的最小 值和最大值. 反思與感悟 研究 y= Asinx+妨的單調(diào)性、最值問題，把 跟蹤訓(xùn)練 3 函數(shù) f(x) = 3sin 2x+才的部分圖象如圖所示. (1)寫出 f(x)的最小正周期及圖中 xo, yo的值； 求 f(x)

8、在區(qū)間n 上的最大值和最小值. 類型四三角函數(shù)的最值和值域 命題角度 1 可化為 y = Asin(x+ $汁 k 型 例 4 求函數(shù) y= 2si n(x + y + 3, x 0 , n的最大值和最小值. 反思與感悟 利用 y= Asin( 3汁妨+ k 求值域時要注意角的取值范圍對函數(shù)式取值的影響. 跟蹤訓(xùn)練 4 已知函數(shù) y= asin(2x+石)+ b 在x 0 ,上的值域為5,1，求 a, b 的值. 命題角度 2 可化為 sin x或 cos x的二次函數(shù)型 3X+ $看作一個整體來解決. 例 5 已知|x|w才，求函數(shù) f(x) = cos2x+ sin x 的最小值. 反思與

9、感悟 在換元時要立刻寫出新元的范圍，否則極易出錯. 跟蹤訓(xùn)練 5 已知函數(shù) f(x)= sin2x asin x+ b+ 1 的最大值為 0,最小值為4,若實數(shù) a0, 求 a, b 的值. 類型五 數(shù)形結(jié)合思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例 6 已知方程 sin(x+于=譽在0, n上有兩個解，求實數(shù) m 的取值范圍. 3 2反思與感悟 數(shù)形結(jié)合思想貫穿了三角函數(shù)的始終，對于與方程解有關(guān)的問題以及在研究 y =Asin( 3X+$)(A0, 30)的性質(zhì)和由性質(zhì)研究圖象時，常利用數(shù)形結(jié)合思想. 跟蹤訓(xùn)練 6 設(shè)函數(shù) f(x)= Asin( 3x+ )(A, w, $是常數(shù)，A 0, w 0).若 f

10、(x)在區(qū)間年，刁 n 2 n n 上是單調(diào)函數(shù)，且 峪)=f(yo =呢)，則 f(x)的最小正周期為 _ . 1 .若一個角 a的終邊上有一點 P( 4 , a)，且 sin a COS a=-43，貝 y a 的值為 17 5 .已知函數(shù) f(x)= sinx+ sin x+ a，若 1 0, K2 的部分圖象如圖所示，則 w, $的值分別是 用圖象的直觀性得到函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓中三角函數(shù)線表示的三角函數(shù)值來 獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時也能利用函數(shù)的性質(zhì)來描述函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖 象與性質(zhì)，又能熟練運用數(shù)形結(jié)合的思想方法.答案精析 知識梳理 亠 亠 y 1. 正弦 sin

11、a sin a= y (2)余弦 cos a cos a= x (3)正切 tan a tan a= x (XM 0) 2 2 2. (1)sin a+ cos a= 1 4. - 1,1 1,1 R 奇函數(shù) 偶函數(shù)奇函數(shù) 2 n 2 n n扌+ 2k n 題型探究 例 1 8 9 跟蹤訓(xùn)練 1 三 例 2 解由根與系數(shù)的關(guān)系，得 V3+1 sin 0+ cos 0= 2 , m sin 0cos 0= . sin2 0 cos2 0 3+ 1 =sin 0+ cos 0= sin 0 cos sin 0 cos 0 2 V3+1 (2)由 sin 0+ cos 0= 2 兩邊平方可得 m=

12、(3) 由 m=可解方程 2X2 ( .3+ 1)x+=0,(1)原式= 2 sin 0 cos 0 + = + : sin 0 cos 0 1 tan 0 sin 0 cos 0 1 sin 0 cos 0 sin2 0 cos 0 1 + 2sin 0cos 0= 4 + 2、3 1 + 2X +于， 張(o,2 n, J n - 0= 6 或 3 跟蹤訓(xùn)練 2 sin a cos a tan a sin a cos a sin a tan a 1 由 f( a= Sin a cos a=；可知， 8 2 2 2 (cos a sin a = cos a 2sin a cos a+ sin

13、 a 1 3 =1 2sin a cos a= 1 2 即 cos a sin , cos a sin a=弩 2 - (3) - a= 44n= 6 x 2n+ 4, =cos 6X 2 n+ 訂 sin 6X 2 n+ =cos； si 門亍=于 x：22= 2 例 3 解(1)函數(shù) y= .3 sin x 的圖象向下平移 1 個單位長度得 y = . 3sin x 1，再將得到的 3倍，得到 y=乜 sinc 1圖象上的點的橫坐標(biāo)伸長為原來的的圖象，然后向右平移 1 個單位 n 3 長度，得到 y= 3sin(nxn 1 的圖象，函數(shù) y= f(x)的最小正周期為 T = 紅 6由 2k

14、n詐才 33 n 2 3 sin 0=1, _3 sin 0= 2， I cos 0= 2 cos 0= 1. 解(i)f( a= X 8 = 4. n n 又4 a2，二 cos o 0 時，a = 4, 解得 b =- 3; 、一 -1 + b= 1， 當(dāng) av 0 時， a + b=- 5, a =- 4, 解得 b =- 1. a, b 的取值分別是 4， 3 或4, 1. 例 5 解 y= f(x) = cos2x+ sin x =- sin2x+ sin x+ 1. n 令 t = sin x, / |x| -, - -2 sin xw 則 y=-t2+1+ 1 = - (t-2)2 + 4(-22t2 時， ymax = g 1 = a+ b= 0, I ymin = g 1 = 一 a + b = 一 4 , a = 2, 解得 b =- 2. 當(dāng)一 1 -20 ,即 0a2 時，1- *2 2 ymin = g 1 = a + b = 4 , a = 2, a= 6, 解得 (舍)或 (舍), b = 2 b= 10 綜上所述，a= 2, b=