習題答案第二章

1、第二章 開放式光腔與高斯光束習題1試利用往返矩陣證明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證：設(shè)光線在球面鏡腔內(nèi)的往返情況如下圖所示：其往返矩陣為：由于是共焦腔，有往返矩陣變?yōu)槿艄饩€在腔內(nèi)往返兩次，有可以看出，光線在腔內(nèi)往返兩次的變換矩陣為單位陣，所以光線兩次往返即自行閉合。于是光線在腔內(nèi)往返任意多次均不會溢出腔外，所以共焦腔為穩(wěn)定腔。5激光器的諧振腔由一面曲率半徑為1m的凸面鏡和曲率半徑為2m的凹面鏡組成，工作物質(zhì)長0.5m，其折射率為1.52，求腔長L在什么范圍內(nèi)是穩(wěn)定腔。解：設(shè)兩腔鏡和的曲率半徑分別為和，工作物質(zhì)長，折射率根據(jù)穩(wěn)定條件判據(jù)：其中由(

2、1)解出 由(2)得所以得到：6圖2.1所示三鏡環(huán)形腔，已知，試畫出其等效透鏡序列圖，并求球面鏡的曲率半徑R在什么范圍內(nèi)該腔是穩(wěn)定腔。圖示環(huán)形腔為非共軸球面鏡腔。在這種情況下，對于在由光軸組成的平面內(nèi)傳輸?shù)淖游绻饩€，式(2.2.7)中的，對于在與此垂直的平面內(nèi)傳輸?shù)幕∈腹饩€，為光軸與球面鏡法線的夾角。圖2.1解：穩(wěn)定條件 左邊有 所以有對子午線：對弧失線：有：或所以同時還要滿足子午線與弧失線7有一方形孔徑的共焦腔氦氖激光器，L=30cm，鏡的反射率為，其他的損耗以每程0.003估計。此激光器能否作單模運轉(zhuǎn)？如果想在共焦鏡面附近加一個方形小孔闌來選擇模，小孔的邊長應(yīng)為多大？試根據(jù)圖2.5.5作一

3、個大略的估計。氦氖增益由公式計算。解：設(shè)模為第一高階模，并且假定和模的小信號增益系數(shù)相同，用表示。要實現(xiàn)單模運轉(zhuǎn)，必須同時滿足下面兩個關(guān)系式根據(jù)已知條件求出腔的菲涅耳數(shù)由圖2.5.5可查得和模的單程衍射損耗為氦氖增益由公式計算。代入已知條件有。將、和的值代入I、II式，兩式的左端均近似等于1.05，由此可見式II的條件不能滿足，因此該激光器不能作單模運轉(zhuǎn)。為了獲得基模振蕩，在共焦鏡面附近加一個方形小孔闌來增加衍射損耗。若滿足II式的條件，則要求根據(jù)圖2.5.5可以查出對應(yīng)于的腔菲涅耳數(shù)由菲涅耳數(shù)的定義可以算出相應(yīng)的小孔闌的邊長因此，只要選擇小孔闌的邊長略小于0.83mm即可實現(xiàn)模單模振蕩。8試

4、求出方形鏡共焦腔面上模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎？解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的模的場分布可以寫成令，則I式可以寫成式中為厄米多項式，其值為由于厄米多項式的零點就是場的節(jié)點位置，于是令，得考慮到，于是可以得到鏡面上的節(jié)點位置所以，模在腔面上有三條節(jié)線，其x坐標位置分別在0和處，節(jié)線之間位置是等間距分布的，其間距為；而沿y方向沒有節(jié)線分布。10今有一球面腔，。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價共焦腔的具體位置。解：該球面腔的g參數(shù)為由此，滿足諧振腔的穩(wěn)定性條件，因此，該腔為穩(wěn)定腔。兩反射鏡距離等效共焦腔中心O點的距離和等價共焦腔的焦距分別為根據(jù)計算得到的數(shù)據(jù)

5、，在下圖中畫出了等價共焦腔的具體位置。11.解： 平凹腔 L50cm，凹面鏡的 R2m， 2a1cm，10.6um，由公式可得由平凹腔和對應(yīng)共焦腔的關(guān)系可知，束腰位置在平面鏡處，平面鏡上的光斑半徑既是腰斑半徑，有進而可得計算等效菲涅耳數(shù)，有其中可得由可得，ûùéêë13.解： R1=， R21m，由公式可知，在滿足穩(wěn)定性條件 L<1m 范圍，當 L（ 1L）取極大值時0取極小值， 可求得在 L0.5m 時，0取極小值，根據(jù)上述公式可畫出光束發(fā)散角0與腔長 L 的關(guān)系曲線，如下所示14.解： R1=， R2>0，穩(wěn)定性條件為 R2&g

6、t;L，可得 g 參數(shù)：g1=1, g2=1-L/R2>0.由公式可得：（ 1）由上述公式，畫出 R2=100cm 時，s1、s2隨 L 變化的曲線如下：（ 2）由上述公式，畫出 L=100cm 時，s1、s2隨 R2 變化的曲線如下：15.解：因腔是半共焦腔，可知基模高斯光束的共焦參數(shù) fR/2=L=1m，遠場發(fā)散角光束束腰半徑：束腰在腔的平面鏡鏡面位置。注： 對半共焦腔， 在平面鏡上的光斑半徑即是束腰半徑， 凹面鏡上的光斑半徑ws2 = 2w016某高斯光束腰斑大小為=1.14mm，。求與束腰相距30cm、10m、1000m遠處的光斑半徑及波前曲率半徑R。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)根

7、據(jù)z30cm10m1000m1.45mm2.97cm2.96m0.79m10.0m1000m求得：17若已知某高斯光束之=0.3mm，。求束腰處的參數(shù)值，與束腰相距30cm處的參數(shù)值，以及在與束腰相距無限遠處的值。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)根據(jù)，可得束腰處的q參數(shù)為：與束腰相距30cm處的q參數(shù)為：與束腰相距無窮遠處的q參數(shù)為：18.解：平凹腔腔長， g11， g20.25，假設(shè)腔內(nèi)介質(zhì)折射率為，對 TEM00模可得諧振頻率注：也可由高斯光束在腔內(nèi)傳輸?shù)南辔蛔兓瘉泶_定，從平面鏡到凹面鏡相位變化為kL-arctg(L/f)，f 可計算得到由諧振條件計算諧振頻率可得到和上面相同的結(jié)果。19.解：（

8、 1） 在穩(wěn)定諧振腔內(nèi)存在自再現(xiàn)的高斯光束，自再現(xiàn)高斯光束在球面鏡鏡面處的等相位面曲率半徑就等于鏡面的曲率半徑 100cm。（ 2） 對 TEMmnq 模， 高斯光束在腔內(nèi)一次往返相移為由諧振條件往返相移應(yīng)為 2的整數(shù)倍，可得由此可得諧振頻率20. 21某高斯光束=1.2mm，。今用F=2cm的鍺透鏡來聚焦，當束腰與透鏡的距離為10m、1m、10cm、0時，求焦斑的大小和位置，并分析所得的結(jié)果。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)又已知，根據(jù)得10m1m10cm02.00cm2.08cm2.01cm2.00cm2.4022.555.356.2從上面的結(jié)果可以看出，由于f遠大于F，所以此時透鏡一定具有一定

9、的聚焦作用，并且不論入射光束的束腰在何處，出射光束的束腰都在透鏡的焦平面上。22.激光器輸出光，=3mm，用一F=2cm的凸透鏡距角，求欲得到及時透鏡應(yīng)放在什么位置。解：入射高斯光束的共焦參數(shù)已知，根據(jù)得時，即將透鏡放在距束腰1.39m處；時，即將透鏡放在距束腰23.87m處。23.2.6統(tǒng)，入射光，求及。圖2.2解：先求經(jīng)過一個透鏡的作用之后的束腰半徑及位置由于，所以=2cm所以對第二個透鏡，有已知，根據(jù)得，24某高斯光束=1.2mm，。今用一望遠鏡將其準直。主鏡用鍍金反射鏡R=1m，口徑為20cm；副鏡為一鍺透鏡，=2.5cm，口徑為1.5cm；高斯束腰與透鏡相距=1m，如圖2.3所示。求

10、該望遠系統(tǒng)對高斯光束的準直倍率。圖2.3解：入射高斯光束的共焦參數(shù)為由于遠遠的小于，所以高斯光束經(jīng)過鍺透鏡后將聚焦于前焦面上，得到光斑的束腰半徑為這樣可以得到在主鏡上面的光斑半徑為即光斑尺寸并沒有超過主鏡的尺寸，不需要考慮主鏡孔徑的衍射效應(yīng)。這個時候該望遠系統(tǒng)對高斯光束的準直倍率為25激光器的諧振腔有兩個相同的凹面鏡組成，它出射波長為的基模高斯光束，今給定功率計，卷尺以及半徑為a的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束共焦參數(shù)f的實驗原理及步驟。解：一、實驗原理通過放在離光腰的距離為z的小孔(半徑為a)的基模光功率為(I)式中，為總的光功率，為通過小孔的光功率。記，則有(II)注意到對基模高斯光束有在(II)式的兩端同時乘以，則有令(III)則解此關(guān)于f的二次方程，得因為、都可以通過實驗測得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦參數(shù)f。二、實驗步驟1如上圖所示