武漢理工大學(xué)研究生數(shù)值分析2012年試卷及答案

1、武漢理工大學(xué)研究生課程考試試題紙（A卷）課程名稱 數(shù)值計(jì)算 專業(yè)年級(jí) 全校2012級(jí) 備注: 半開卷（可帶一頁(yè)手寫A4紙，左上角寫姓名，不得帶復(fù)印件）, 不得在試題紙上答題一. 簡(jiǎn)答題，請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出答題過程（每小題5分，共30分）1.將和作為的近似值，它們各有幾位有效數(shù)字，絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別是多少？2.已知，求，.3.確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指出該求積公式所具有的代數(shù)精度。4.求矩陣的譜半徑。5. 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù).二.計(jì)算題，請(qǐng)寫出主要計(jì)算過程（每小題10分，共50分）1.求滿足條件的插值多項(xiàng)式 . 2.已知，求的Lagrange插值多項(xiàng)式。3.給出如下離散數(shù)據(jù)，試

2、對(duì)數(shù)據(jù)作出線性擬合012312454.用Jacobi迭代法求解方程組，取初值，計(jì)算迭代二次的值；（2分）問Jacobi迭代法是否收斂？為什么？（2分）若收斂，需要迭代多少次，才能保證各分量的誤差絕對(duì)值小于？（提示：）（5分）問Gauss-Seidel迭代法是否收斂？為什么？（1分） 5.用歐拉法求解初值問題在上的數(shù)值解，取，計(jì)算過程保留5位小數(shù)。（要求寫出迭代公式，不寫公式扣4分）三.分析題，請(qǐng)寫出主要分析與認(rèn)證過程（每小題5分，共10分）1.設(shè)，其中為非奇異矩陣，證明2.證明向量 的范數(shù)滿足不等式 四.證明（10分）對(duì)于給定的正數(shù),應(yīng)用牛頓法于方程，寫出牛頓迭代格式；證明當(dāng)初值滿足時(shí)，該迭代

3、法收斂。武漢理工大學(xué)研究生課程考試標(biāo)準(zhǔn)答案用紙課程名稱：數(shù)值計(jì)算（A） 任課教師 ：一. 簡(jiǎn)答題，請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出答題過程（每小題5分，共30分）1.將和作為的近似值，它們各有幾位有效數(shù)字， 絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差分別是多少？3分）2分）2.已知，求，.(5分）3.確定求積公式中的待定系數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明該求積公式所具有的代數(shù)精度。解：要使其代數(shù)精度盡可能的高，只需令使積分公式對(duì)盡可能大的正整數(shù)準(zhǔn)確成立。由于有三個(gè)待定系數(shù)，可以滿足三個(gè)方程，即。由數(shù)值積分準(zhǔn)確成立得：由數(shù)值積分準(zhǔn)確成立得：由數(shù)值積分準(zhǔn)確成立得：解得 (3分）此時(shí)，取積分準(zhǔn)確值為而數(shù)值積分為所以該求積公式的最高代數(shù)精度為次。

4、(2分）4.求矩陣的譜半徑。 解 矩陣A的特征值為 所以譜半徑 (5分） 5. 設(shè)計(jì)算A的條件數(shù).解： 矩陣A的較大特征值為198.00505035，較小的特征值為-0.00505035，則(2分） (3分）二.計(jì)算題，請(qǐng)寫出主要計(jì)算過程（每小題10分，共50分）1. 求作滿足條件的插值多項(xiàng)式 . 解：根據(jù)三次Hermite插值多項(xiàng)式：(5分）并依條件，得 (5分）2.已知，求的Lagrange插值多項(xiàng)式。解：注意到：3.3.給出如下離散數(shù)據(jù)，試對(duì)數(shù)據(jù)作出線性擬合01231245解: (5分）， (5分）4.用Jacobi迭代法求解方程組，取初值，計(jì)算迭代二次的值；（2分）問Jacobi迭代法

5、是否收斂？為什么？（2分）若收斂，需要迭代多少次，才能保證各分量的誤差絕對(duì)值小于？（提示：）（5分）問Gauss-Seidel迭代法是否收斂？為什么？（1分） 解：先將方程組化成便于迭代的形式，以分別除以三個(gè)方程兩邊得 ， 迭代矩陣由于或者因?yàn)樵匠探M系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故Jacobi迭代法收斂、且Gauss-Seidel迭代法收斂。由得公式 及可得所以迭代14次時(shí)，能保證各分量的誤差絕對(duì)值小于5.用歐拉法解初值問題在上的數(shù)值解，取，計(jì)算過程保留5位小數(shù)。（要求寫出迭代公式，不寫公式扣4分）解：歐拉法的公式為， （4分）已知， （6分）三.分析題，請(qǐng)寫出主要分析與認(rèn)證過程（每小題5分，共10分）1.設(shè)，其中為非奇異矩陣，證明證明： （5分）2.證明向量 的范數(shù)滿足不等式 證明：設(shè)是向量的分量，則，所以由向量范數(shù)的概念可知，結(jié)論成立. （5分）四.證明（10分）對(duì)于給定的正數(shù),應(yīng)用牛頓法于方程，寫出牛頓迭代格式；證明當(dāng)初值滿足時(shí)，該迭代法收斂。證：因?yàn)?，故牛頓迭代格式為 （5分）下證明其收斂性。記第步的誤差為和構(gòu)