歐拉臨界應(yīng)力

1、一、穩(wěn)定與失穩(wěn)一、穩(wěn)定與失穩(wěn)1.壓桿壓桿穩(wěn)定性穩(wěn)定性：壓桿維持其自身平衡狀態(tài)的能力；：壓桿維持其自身平衡狀態(tài)的能力； 2.壓桿壓桿失穩(wěn)失穩(wěn)：壓桿喪失其自身平衡狀態(tài)，不能穩(wěn)定地工作。：壓桿喪失其自身平衡狀態(tài)，不能穩(wěn)定地工作。 3.壓桿失穩(wěn)原因：壓桿失穩(wěn)原因： 桿軸線本身不直桿軸線本身不直(初曲率初曲率)；加載偏心；加載偏心； 壓桿材質(zhì)不均勻；壓桿材質(zhì)不均勻；外界干擾力。外界干擾力。二、中心受壓直桿穩(wěn)定性分析二、中心受壓直桿穩(wěn)定性分析 1.臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)：由穩(wěn)定平衡向微彎平衡：由穩(wěn)定平衡向微彎平衡(不穩(wěn)平衡不穩(wěn)平衡)過渡的狀態(tài)；過渡的狀態(tài)； 2.臨界載荷臨界載荷Pcr：描述壓桿的穩(wěn)定能力，壓桿臨

2、界狀：描述壓桿的穩(wěn)定能力，壓桿臨界狀態(tài)所受到的軸向壓力。態(tài)所受到的軸向壓力。12-1 壓桿穩(wěn)定性的概念壓桿穩(wěn)定性的概念 QQQPPcrQ QQ QQ一、兩端鉸支壓桿的臨界力一、兩端鉸支壓桿的臨界力 1.思路思路：求：求Pcr臨界狀態(tài)臨界狀態(tài)(微彎微彎)彎曲變形彎曲變形撓曲線微分方程；撓曲線微分方程； 2.推導(dǎo)推導(dǎo)： 3.兩端鉸支壓桿的臨界力兩端鉸支壓桿的臨界力(歐拉公式歐拉公式)： 22crLEIP 4.注意注意： （1）彎矩以最終平衡位置）彎矩以最終平衡位置（2）I 應(yīng)為壓桿橫截面的最小慣性矩應(yīng)為壓桿橫截面的最小慣性矩12-2 細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式

3、PcrLxyxyxxyyPcrM(x)=PyPy)x(MEIy 撓撓曲曲線線微微分分方方程程：0ykyEIPk22 ，得：，得：引用記號：引用記號：kxcosBkxsinAy 該該微微分分方方程程的的通通解解為為：為為積積分分常常數(shù)數(shù)、式式中中BA 0yLx0y0 x桿的邊界條件：桿的邊界條件： 0kLsin0kLsinA0B代代入入通通解解得得：)210n(LEInP)210n(nLEIPkL222， 歐拉公式歐拉公式臨界力為最小壓力：臨界力為最小壓力：22crLEIP 失失穩(wěn)穩(wěn)模模式式如如圖圖11-3 不同桿端約束下細長壓桿臨界力的不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式歐拉公式. 壓桿的長

4、度系數(shù)壓桿的長度系數(shù)歐拉公式的統(tǒng)一形式歐拉公式的統(tǒng)一形式22cr)L(EIP L：相當(dāng)長度相當(dāng)長度 稱為稱為長度系數(shù)長度系數(shù)表表11 1 壓桿的長度系數(shù)壓桿的長度系數(shù) 壓桿約束條件壓桿約束條件長度系數(shù)長度系數(shù) 兩端鉸支兩端鉸支 =1一端固定，另一端自由一端固定，另一端自由 =2一端固定，另一端鉸支一端固定，另一端鉸支 =0.7兩端固定兩端固定 =0.5 例例12 1 一端固定，另一端一端固定，另一端自由的細長壓桿如圖所示。試導(dǎo)自由的細長壓桿如圖所示。試導(dǎo)出其臨界力的歐拉公式。出其臨界力的歐拉公式。APcrLBd d 例例12 2 導(dǎo)出一端固定、另導(dǎo)出一端固定、另一端鉸支壓桿臨界力的一端鉸支壓桿

5、臨界力的 歐拉公歐拉公式。式。22cr)L7 . 0(EIP ABPcrL3.例題：例題： 例例12 3 試導(dǎo)出兩端固定壓桿試導(dǎo)出兩端固定壓桿的歐拉公式。的歐拉公式。 PcrLPcrLABd dPcrMA=Pcrd dyxPcrBALLC失失穩(wěn)穩(wěn)模模式式如如圖圖 d d d d d d 0EI)L(MyyLxkEIPEIMy0y0y0 x2crA，：，：邊界條件：邊界條件：0CCCC000kLcoskkLsink11LkLcoskLsink00k00010k0101043212222 d d 分方程的通解得：分方程的通解得：將邊界條件代入統(tǒng)一微將邊界條件代入統(tǒng)一微0kLcos 為為：解解得得壓

6、壓桿桿失失穩(wěn)穩(wěn)特特征征方方程程：系系數(shù)數(shù)行行列列式式值值為為零零；有有非非零零解解的的充充要要條條件件為為)210n(2nLEIPkLcr， 22cr)L2(EIP1n 為：為：壓桿臨界力的歐拉公式壓桿臨界力的歐拉公式，得一端固定一端自由，得一端固定一端自由取取相當(dāng)于相當(dāng)于2L長兩端鉸支壓桿的臨界力長兩端鉸支壓桿的臨界力失失穩(wěn)穩(wěn)模模式式如如圖圖 0EI)L(My0yLx0y0y0 x，：，：邊界條件：邊界條件：0CCCC00kLcoskkLsink1LkLcoskLsin010k1010432122 分方程的通解得：分方程的通解得：將邊界條件代入統(tǒng)一微將邊界條件代入統(tǒng)一微kLtgkL ，解解得

7、得：利利用用系系數(shù)數(shù)行行列列式式值值為為零零7 . 0P4 . 4LEIPkLcr 22cr)L7 . 0(EIP 臨界力的歐拉公式為：臨界力的歐拉公式為：一端固定一端鉸支壓桿一端固定一端鉸支壓桿相當(dāng)于相當(dāng)于0.7L長兩端鉸支壓桿的臨界力長兩端鉸支壓桿的臨界力yx0.7LyxPcrLABQBPcrMAQAA端端QA、MA及及B端端QB不為零。不為零。失失穩(wěn)穩(wěn)模模式式如如圖圖 0y0yLx0y0y0 x，：，：邊邊界界條條件件：0CCCC01kLsinkkLcosk1LkLcoskLsin010k10104321 分方程的通解得：分方程的通解得：將邊界條件代入統(tǒng)一微將邊界條件代入統(tǒng)一微 0kLs

8、in0kLcos1，解解得得：利利用用系系數(shù)數(shù)行行列列式式值值為為零零 2LEIPkLcr22cr)L5 . 0(EIP 歐拉公式為：歐拉公式為：兩端固定壓桿臨界力的兩端固定壓桿臨界力的相當(dāng)于相當(dāng)于0.5L長兩端鉸支壓桿的臨界力長兩端鉸支壓桿的臨界力LPcrMMPcr0.5Lyx兩端兩端M均不為零。均不為零。 柔度柔度(細長比細長比)： iL一、歐拉臨界應(yīng)力公式及使用范圍一、歐拉臨界應(yīng)力公式及使用范圍 1.臨界應(yīng)力臨界應(yīng)力：臨界力除以壓桿橫截面面積得到的壓應(yīng)力，：臨界力除以壓桿橫截面面積得到的壓應(yīng)力，用用s scr表示；表示；2222)/()(iLEALEIAPcrcrs 橫截面對微彎中性軸的

9、橫截面對微彎中性軸的慣性半徑慣性半徑； AIi 歐拉臨界應(yīng)力公式：歐拉臨界應(yīng)力公式： 22crE s s2.歐拉公式應(yīng)用范圍：歐拉公式應(yīng)用范圍： 線彈性狀態(tài)：線彈性狀態(tài)：s scrs sp，即，即 p22Es s p2pp2EEs s s s ，則則 p細長桿細長桿(大柔度桿大柔度桿)，歐拉公式的適用范圍；，歐拉公式的適用范圍； 對于對于A3鋼，鋼，E=200GPa，s sp=200MPa： 1001020010200692p 用柔度表示的臨界壓力：用柔度表示的臨界壓力：AEP22cr 二、中柔度桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式二、中柔度桿臨界應(yīng)力的經(jīng)驗公式1.s1.sss scrs sp時采用經(jīng)驗公式：

10、時采用經(jīng)驗公式： 直線公式：直線公式： s sbacr1)s scrn。一、安全系數(shù)法作穩(wěn)定校核一、安全系數(shù)法作穩(wěn)定校核 2、穩(wěn)定條件可寫成：、穩(wěn)定條件可寫成：ssssss即ststcrn s sst穩(wěn)定許用應(yīng)力穩(wěn)定許用應(yīng)力； s s許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力； 1折減系數(shù)折減系數(shù)，與柔度和材料有關(guān)，可查規(guī)范。，與柔度和材料有關(guān)，可查規(guī)范。 例例12 4 確定圖示確定圖示連桿的許用壓力連桿的許用壓力Pcr。已知連桿橫截面面。已知連桿橫截面面積積A=720mm2，慣性，慣性矩矩Iz=6.5104mm4，Iy=3.8104mm4，s sp= 2 4 0 M P a ，E=2.1105MPa。連。連桿用硅

11、鋼制成，穩(wěn)定桿用硅鋼制成，穩(wěn)定安全系數(shù)安全系數(shù)nst=2.5。xx580700yzPPz580PPLy 若在若在x y面內(nèi)失穩(wěn)，面內(nèi)失穩(wěn)， =1，柔度為：柔度為：解：解：(1)失穩(wěn)形式判斷失穩(wěn)形式判斷：7 .73720/105 . 67001A/ILiL4zz 若在若在x- -z平面內(nèi)失穩(wěn)，平面內(nèi)失穩(wěn)， =0.5，柔度為：，柔度為：所以連桿將在所以連桿將在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，其許用壓力應(yīng)由平面內(nèi)失穩(wěn)，其許用壓力應(yīng)由 z決定。決定。9 .39720/108 . 35805 . 0A/ILiL4yy (2)確定許用壓力確定許用壓力： 由表由表11-211-2查得硅鋼：查得硅鋼：a=578MPa，b=3

12、.744MPa，s ss=353MPa，計算有關(guān)的，計算有關(guān)的 p和和 0為：為： s s s s 60744. 3353578ba93240101 . 2Es052p2p可見連桿為中柔度桿。其臨界載荷為：可見連桿為中柔度桿。其臨界載荷為：由此得連桿的許用壓力為：由此得連桿的許用壓力為： (3)討論：在此連桿中：討論：在此連桿中： z=73.7， y=39.9，兩者相差較大，兩者相差較大。最理想的設(shè)計是。最理想的設(shè)計是 y= z，以達到材盡其用的目的。，以達到材盡其用的目的。kNbaAPcr218)(kN3 .875 . 2218nPPwcrcr 1.細長壓桿：細長壓桿：提高彈性模量提高彈性模量E2.中粗壓桿和粗短壓桿：中粗壓桿和粗短壓桿：提高屈服強度提高屈服強度s ss二、提高穩(wěn)定性的措施二、提高穩(wěn)定性的措施1.采用合理的截面形狀：采用合理的截面形狀： 各方向約束相同時：各方向約束相同時： 1)各方向慣性矩各方向慣性矩I相等相等采用正方形、圓形截面；采用正方形、圓形截面； 2)增大慣性矩增大慣性矩I采用空心截面；采用空心截面； 壓桿兩方向約束不同時：壓桿兩方向約束不同時：使兩方向柔度接近相等使兩方向柔度接近相等，可，可采用兩個主慣性矩不同的截面，如矩形、工字形等。采用兩個主慣性矩不同的截