函數(shù)求導(dǎo)法則實用教案

1、一、函數(shù)(hnsh)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 定理1 設(shè)函數(shù) u = u (x) 及 v = v (x) 都在點 x 處可導(dǎo), 那么(n me) 它們的和、差、積、商在x 處也可導(dǎo), u (x) v (x) 在點 x 處也具有導(dǎo)數(shù), 且 （2）u (x) v (x) = u (x) v (x) + u (x) v (x)（1）u (x) v (x) = u (x) v (x)； （3）【v (x) 0】第1頁/共31頁第一頁，共32頁。證（3）取得(qd)增量 u, v, 函數(shù) 也取得(qd)增量 除法(chf)求導(dǎo)法則可簡單地表示為 當(dāng) x 取增量 x 時, 函數(shù) u (x), v (x)

2、分別第2頁/共31頁第二頁，共32頁。乘積求導(dǎo)法則(fz)可簡單地表示為 (uv) = uv + uv. 推論(tuln)1 設(shè) u (x) 在點 x 處可導(dǎo), C 為常數(shù), 則 (Cu) = Cu. 推論(tuln)2 設(shè) u = u (x), v = v (x), w = w (x) 在點 x 處均可導(dǎo), 則 (uvw) = uvw + uvw + uvw. 第3頁/共31頁第三頁，共32頁。例1 y = x 4 + sinx ln3, 求 y .解 y = (x 4) + (sinx) + (ln3)= 4x 3 + cosx . = e x (sinx + cosx) + e x (c

3、osx - sinx) = 2e xcosx. 例2 y = e x(sinx + cosx), 求 y. 解 y = (e x)(sinx + cosx) + e x (sinx + cosx) 第4頁/共31頁第四頁，共32頁。例3 第5頁/共31頁第五頁，共32頁。例4 y = 2sinxcosxlnx, 求 y. 第6頁/共31頁第六頁，共32頁。例5 y = tanx, 求 y. 即 (tanx) = sec 2x. 這就是正切(zhngqi)函數(shù)的求導(dǎo)公式. 類似地可求余切(yqi)函數(shù)的求導(dǎo)公式 (cotx) = csc 2x.第7頁/共31頁第七頁，共32頁。例6 y = se

4、cx, 求 y. 即 (secx) = secxtanx. 這就是正割函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)公式. 類似地可求余割(yg)函數(shù)的求導(dǎo)公式 (cscx) = cscxcotx. 第8頁/共31頁第八頁，共32頁。二、反函數(shù)的求導(dǎo)公式(gngsh) 定理2 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 I y 上單調(diào)、可導(dǎo), 且 , 則它的反函數(shù) y = f (x) 在對應(yīng)區(qū)間 I x 上也單調(diào)、可導(dǎo), 且 )(yx 簡言之，即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于(dngy)直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)（不等于(dngy)零）的倒數(shù).第9頁/共31頁第九頁，共32頁。任取 x I x , 給 x 以增量(zn lin), 由 y = f (x) 的因為(yn w

5、i) y = f (x)連續(xù), 故，從而(cng r) 單調(diào)性可知 y = f (x + x) - f (x) 0, 于是證又第10頁/共31頁第十頁，共32頁。例7.解:則類似(li s)可求得, 則第11頁/共31頁第十一頁，共32頁。為函數(shù)(hnsh)類似(li s)可求得解：的反函數(shù)。例8.第12頁/共31頁第十二頁，共32頁。則特別當(dāng)ea時,例9., )1,0(logaaxya第13頁/共31頁第十三頁，共32頁。小結(jié)(xioji):xx1)ln(第14頁/共31頁第十四頁，共32頁。三、復(fù)合(fh)函數(shù)的求導(dǎo)法則 定理(dngl)3 設(shè)函數(shù) u = g (x) 在點 x 處可導(dǎo),

6、函數(shù) y = f (u) 在點 u = g (x) 處可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù) y = f (g(x)在點 x 處可導(dǎo), 且其導(dǎo)數(shù)為 第15頁/共31頁第十五頁，共32頁。設(shè) x 取增量(zn lin) x, 則 u 取得相應(yīng)的增量(zn lin) u, 因為 u = g (x) 可導(dǎo), 則必連續(xù)(linx), 所以 x 0 時, 當(dāng) u = 0時, 可以證明上述公式仍然(rngrn)成立. 從而 y 取得相應(yīng)的增量 y , 即 u = g(x + x) g(x), y = f (u + u) f (u). u 0, 因此 當(dāng) u 0時, 有證第16頁/共31頁第十六頁，共32頁。中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以

7、中間變量對自身(zshn)變量的導(dǎo)數(shù). 設(shè) y = f (u), u = g (v), v = h(x)都是可導(dǎo)函數(shù), 則復(fù)合函數(shù) y = f (g(h(x) 對 x 的導(dǎo)數(shù)為 公式(gngsh)表明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(do sh)等于復(fù)合函數(shù)對第17頁/共31頁第十七頁，共32頁。例10 y = lnsinx, 求 y. 解 設(shè) y = lnu, u = sinx, 則 例11 解 設(shè) 第18頁/共31頁第十八頁，共32頁。 熟練之后, 計算時可以不寫出中間變量, 而直接(zhji)寫出結(jié)果. 例12 例13 第19頁/共31頁第十九頁，共32頁。例14 y = lncos(e x), 求 y

8、. 第20頁/共31頁第二十頁，共32頁。例15 第21頁/共31頁第二十一頁，共32頁。 例16 設(shè) x 0, 證明(zhngmng)冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (x ) =x -1. 證第22頁/共31頁第二十二頁，共32頁。解：例17設(shè)第23頁/共31頁第二十三頁，共32頁。解： 設(shè)例18 設(shè)其中(qzhng)函數(shù)可導(dǎo)，求第24頁/共31頁第二十四頁，共32頁。四、初等(chdng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1. 基本(jbn)導(dǎo)數(shù)公式 (1) (C) = 0;(2) (x ) = x -1;(3) (sinx) = cosx;(4) (cosx) = sinx;(5) (tanx) = sec2x;(6) (

9、cotx) = - csc2x;(7) (secx) = secx tanx;(8) (cscx) = - cscxcotx;(9) (e x) = e x;(10) (a x) = a x lna; 第25頁/共31頁第二十五頁，共32頁。第26頁/共31頁第二十六頁，共32頁。2. 函數(shù)(hnsh)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 設(shè) u = u(x), v = v(x) 均可導(dǎo), 則(1) (u v) = u v;(2) (uv) = uv + uv;(3) (Cu) = Cu; 第27頁/共31頁第二十七頁，共32頁。3. 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)法則 設(shè) y = f (u), u = g (x), 且 f (u), g (x) 均可導(dǎo), 則復(fù)合函數(shù)(hnsh) y = f (g(x)的導(dǎo)數(shù)為 第28頁/共31頁第二十八頁，共32頁。例19 求函數(shù)解 的導(dǎo)數(shù)(do sh).第29頁/共31頁第二十九頁，共32頁。 例20 求函數(shù) 解 的導(dǎo)數(shù)(do sh).第30頁/共31頁第三十頁，共32頁。感謝您的觀看(gunkn)！第31頁/共31頁第三十一頁，共32頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則?！緑 (x