34基本不等式課件(人教A版必修5)

1、 這是這是2002年在北京召開的第年在北京召開的第24屆國際數(shù)屆國際數(shù)學家大會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽學家大會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個的弦圖設(shè)計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。風車，代表中國人民熱情好客。思考：這會標中含有思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？怎樣的幾何圖形？思考：你能否在這個思考：你能否在這個圖案中找出一些相等圖案中找出一些相等關(guān)系或不等關(guān)系？關(guān)系或不等關(guān)系？ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面積面積S=、四個直角三角形的、四個直角三角形的面積和面積和S = =ab2、S與與S有什么

2、有什么樣的不等關(guān)系？樣的不等關(guān)系？ 探究：探究：SS即即問：那么它們有相等的情況嗎？問：那么它們有相等的情況嗎？22ba ab2(ab)ADBCEFGHba22ab猜想：猜想： 一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有，我們有當且僅當當且僅當a=b時，等號成立。時，等號成立。222ababABCDE(FGH)ab22ba ab222ba ab2(ab)(ab)思考：思考：你能給出不等式你能給出不等式 的證明嗎？的證明嗎？abba2220)(2ba0)(2ba2()0ab所以222.abab所以時當ba 時當ba 222abab證明：（作差法）證明：（作差法） 2)(ba重要不等式

3、：重要不等式：一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù)a、b，總有，總有 當且僅當當且僅當a=b時，等號成立時，等號成立222abab文字敘述為文字敘述為: : 兩數(shù)的平方和兩數(shù)的平方和不小于不小于它們積的它們積的2 2倍倍. . 適用范圍：適用范圍： a,bR0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？0,0, ,ababa b如果我們用分別代替可得到什么結(jié)論？22()()2abab2abab替換后得到：替換后得到： 即：即：) 0, 0(ba2abab 即：即：你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個不等式嗎？你能用不等式的性質(zhì)直接推導(dǎo)這個不等式嗎？2abab證明：要證證明：要證 只

4、要證只要證_ab 要證，只要證要證，只要證_0ab要證，只要證要證，只要證2(_)0顯然顯然, 是成立的是成立的.當且僅當當且僅當a=b時時, 中的等號成立中的等號成立. 分析法分析法22(0,0,() ,() )abaabb2abab)0, 0(ba證明不等式：證明不等式：2 ab2 abba特別地，若特別地，若a0，b0，則，則_2abab通常我們把上式寫作：通常我們把上式寫作：(0,0)2ababab當且僅當當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式基本不等式在數(shù)學中，我們把在數(shù)學中，我們把 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算

5、術(shù)平均數(shù)， 叫做正數(shù)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；的幾何平均數(shù)；2abab文字敘述為：文字敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).適用范圍：適用范圍： a0,b0你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?RtACDRtDCB，BCDC所以DCAC2DCBC ACab所以ABCDEabO如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點點C是是AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.如何用如何用a, b表示表示CD? CD

6、=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2abab你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎? ?如何用如何用a, b表示表示CD? CD=_如何用如何用a, b表示表示OD? OD=_2ababOD與與CD的大小關(guān)系怎樣的大小關(guān)系怎樣? OD_CD如圖如圖, AB是圓的直徑是圓的直徑, O為圓心，為圓心，點點C是是AB上一點上一點, AC=a, BC=b. 過點過點C作垂直于作垂直于AB的弦的弦DE,連接連接AD、BD、OD.2abab幾何意義：半徑不小于弦長的一半幾何意義：半徑不小于弦長的一半ADBEOCab適用范圍適用范圍文字敘述文字敘述“=”成

7、立條件成立條件222abab2ababa=ba=b兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)小于它們的幾何平均數(shù)兩數(shù)的平方和不兩數(shù)的平方和不小于它們積的小于它們積的2 2倍倍 a,bRa0,b0填表比較：填表比較：注意從不同角度認識基本不等式注意從不同角度認識基本不等式=(x +1)+ - -11x+1 f(x)=x + 1x+1 =1, 2 (x+1) - -11x+1 當且僅當當且僅當 取取“=”號號.當當 x=0 時時, 函數(shù)函數(shù) f(x) 的最小值是的最小值是 1.x+1= , 即即 x=0 時時, 1x+1 解解: x-1, x+10.例例1. 求函數(shù)求函數(shù) f

8、(x)=x + (x -1) 的最小值的最小值.1x+1 配湊系數(shù)配湊系數(shù)分析分析: x+(1- -2x) 不是不是 常數(shù)常數(shù).2=1為為 解解: 0 x0.12y=x(1- -2x)= 2x(1- -2x) 12 22x+(1- -2x) 21218= . 當且僅當當且僅當 時時, 取取“=”號號.2x=(1- -2x), 即即 x= 14當當 x = 時時, 函數(shù)函數(shù) y=x(1- -2x) 的最大值是的最大值是 .1418例例2. 若若 0 x0, 0)2abababab，當且僅當時，等號成立。小結(jié)：小結(jié)：求最值時注意把握求最值時注意把握 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”已知已知 x, y 都是正數(shù)都是正數(shù), P, S 是常數(shù)是常數(shù).(1) xy=P x+y2 P( (當且僅當當且僅當 x=y 時時, 取取“=”號號) ).(2) x+y=S xy S2( (當且僅當當且僅當 x=y 時時, 取取“=”號號) ).142. 利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值1. 兩個重要的不等式兩個重要的不等式 1.已知已知x0, y0, xy=24, 求求4x+6y的最小值，的最小值，并說明此時并說明此時x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值yxu112 已知