九年級相似三角形知識點總結(jié)材料及例題講解

1、實用文檔知識點一：放縮與相似1 .圖形的放大或縮小，稱為 圖形的放縮運動。2 .把形狀相同的兩個圖形說成是 相似的圖形，或者就說是相似性。注意：相似圖形強調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無關(guān)。相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。我們可以這樣理解相似形：兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到的.若兩個圖形形狀與大小都相同，這時是相似圖形的一種特例一一全等形.3 .相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊 的長度成比例。注意：當兩個相似的多邊形是全等形時，他們的對應邊的長度的比值是1.知識點二：比例線段有關(guān)概念及

2、性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長度單位量得兩條線段。a、b的長度分別是mr n,那么就說這兩條線段的比是a： b=m：a mn （或 b n ）2、比的前項，比的后項：兩條線段的比a： b中。a叫做比的前項，b叫做比的后項。說明：求兩條線段的比時，對這兩條線段要用同一單位長度。a c3、比例：兩個比相等的式子叫做比例，如 b da c4、比例外項：在比例b d （或a： b=c： d）中a、d叫做比例外項。a c5、比例內(nèi)項：在比例b d （或a： b=c： d）中b、c叫做比例內(nèi)項。a c6、第四比例項：在比例b d （或a： b=c： d）中，d叫a、b、c的第四比例項。a p7、比例

3、中項：如果比例中兩個比例內(nèi)項相等，即比例為 b a （或a:b = b:c時，我們把b叫做a和d的比例中項。8.比例線段：對于四條線段a、b、c、d,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即a ca （或a： b=c： d）,那么，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。（注意：在求線段比時，線段單b d位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì)：ad bc（兩外項的積等于兩內(nèi)項積）acbd2.反比性質(zhì):bdac（把比的前項、后項交換）3.更比性質(zhì)（交換比例的內(nèi)項或外項）：a b,（交換內(nèi)項）c dd c，（交換外項）b ad b .（同時交換內(nèi)外項）c

4、a4 .合比性質(zhì)：a c ab cd （分子加（減）分母，分母不變） b d b d 注意：實際上，比例的合比性質(zhì)可擴展為：比例式中等號左右兩個比的前項，后項之間badc發(fā)生同樣和差變化比例仍成立.如:a cabcdabcd5 .等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.）ace mace ma如果 一 一 一 一（b d f n 0）,那么b d f nb d f n b注意：（1）此性質(zhì)的證明運用了 “設 k法”，這種方法是有關(guān)比例計算，變形中一種常用方法.（2） 應用等比性質(zhì)時，要考慮到分母是否為零.（3） 可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立.

5、知識點三：黃金分割AC BC 01）定義：在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC>BC）,如果 ，即AC2=ABX BC , AB AC那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比。5 1其中 AC AB =0.618 AB 。22）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點C使C是線段AB的黃金分割點作法：過點 B作BDL AB,使 2 連結(jié) AR 在 DA上截取 DE=DB在AB上截取AC=AE則點C就是所求作的線段 AB的黃金分割點.黃金分割的比值為:AC _6C 由7知達e2 .（只要求記?。3）矩形中，如果寬與長的比

6、是黃金比，這個矩形叫做黃金矩形。知識點四：平行線分線段成比例定理（一）平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線 例. 已知 l 1 / l 2 / l 3,所得的對應線段成比BC EF AC DF標準2 .推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例實用文檔標準(1)是“ A”字型(2)是“ 8”字型 經(jīng)常考，關(guān)鍵在于找 AD AE BD EC AD AE由DE：/ BC可得： 或 或 .此推論較原7E理應用更加廣泛 ，條件是平DB EC AD EA AB AC行.3 .推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得

7、的對應線段成比例.那么這 條直線平行于三角形的第三邊.(即利用比例式證平行線)4 .定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊 與原三角形三邊 對 應成比例.5 .平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線，如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另 一條直線上截得的線段也相等。三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對應成比例。幾何語言 4ABE中BD/ CEAB AD 上上. BC DE簡記：下下AB ADBC DE上上上上歸納：AC AE和AC AE推廣：類似地還可以得到全全和全全三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論平行于三角形一邊的直

8、線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例 標準三角形一邊的平行線的判定定理三角形一邊平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè)）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊平行線分線段成比例定理1 .平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例用符號語言表示：AD/ BE/ CF, AB DE-,-BC- 空，幽 匹.BC EF AC DF AC DF2 .平行線等分線段定理：兩條直

9、線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所 截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等用符號語言表示:ADPBEPCFDE DFAB BC.重心定義：三角形三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到對邊中點的距離的兩倍知識點三：相似三角形1、相似三角形1）定義：如果兩個三角形中，三角對應相等，三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個全等三角形一定相似。兩個等腰直角三角形一定相似。兩個等邊三角形一定相似。兩個直角三角形和兩個等腰三角形不一定相似。補充：對于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如

10、正四邊形、正五邊形等等）；2）性質(zhì)：兩個相似三角形中，對應角相等、對應邊成比例。3）相似比：兩個相似三角形的對應邊的比，叫做這兩個三角形的相似比。如 ABC與 DEF相似，記作 ABC DEF。相似比為 k。4）判定：定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。三角形相似的預備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似.（此定理用的最多）判定定理2：如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例，并且夾角相

11、等，那么這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理3:如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似.簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似.直角三角形相似判定定理：.斜邊與一條直角邊對應成比例的兩直角三角形相似。.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個直角三角形也相似。射影定理：補充一：直角三角形中的相似問題:CC2=AD BD,AC2=AD AB,BC2=BD BA（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用） 補充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相似。推論二：腰

12、和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似。推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。推論五：如果一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應角相等、對應邊成比例.相似三角形對應高、對應角平分線、對應中線、周長的比都等于相似比（對應邊的比）.相似三角形對應面積的比等于相似比的 平方.2、相似的應用：位似1）定義：如果兩個多邊形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種

13、具有位置關(guān)系的相似，所以兩個圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不標準實用文檔一定是位似圖形。兩個位似圖形的位似中心只有一個。兩個位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。2）性質(zhì)：位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對對應點到位似 中心的距離等于位似比（相似比）。每對位似對應點與位似中心共線，不經(jīng)過位似中心的對應線段平行。、如何證明三角形相似1、如圖：點G在平行四邊形O2、已知 ABC中，AB=AC ,ABCD的邊DC的延長線上，AG 交BC、BD 于點 E、F,則 A

14、GDsB/A=36° , BD是角平分線，求證：ABCA BCD標準例3:已知，如圖， D為 ABC內(nèi)一點連結(jié) EQ AQ以BC為邊在 ABC外作/ CBE=Z ABD / BCE= BAD求證： DB ABCAE、AF、AC,問圖中是否存在非全例4、矩形ABCD中，BC=3AB , E、F,是BC邊的三等分點，連結(jié) 等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。二、如何應用相似三角形證明比例式和乘積式例5、 ABC中，在AC上截取 AD ,在CB延長線上截取 BE,使AD=BE ,求證：DF?AC=BC ?FE例6:已知：如圖，在 ABC中，/ BAC=90, M是BC的中點,DML BC于點E

15、,交BA的延長線于點 D求證：(1) mA=MD?ME (2) -AEAD2MEMD例7:如圖 ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E,交AB于F,求證：AE:ED=2AFFB。、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。實用文檔例8:已知：如圖E、 EBF分別是正萬形 ABCD勺邊AB和AD上的點，且-EB ABAFAD1，。求證：/ AEF=/ FBD39、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線,求證:SQ / AB , RP / BC10、已知 A、C、E和B、F、D分別是/ O的兩邊上的點，且 AB/ED, BC/FE,求證：AF / CD

16、求證:11、直角三角形 ABC中，/ ACB=90 ° , BCDE是正方形，AE交BC于F, FG /AC交AB于GFC=FG標準例12、RtAABC銳角C的平分線交 AB于E,交斜邊上的高 AD于O,過。弓I BC的平行線交 AB于F, 求證：AE=BF、選擇題1. （2009年濱州）如圖所示，給出下列條件：AC B ACD ; ADC ACB ; AC-CD其中單獨能夠判定 ABCACD的個數(shù)為（AB ; AC2 ADgAB .BC)C. 3D. 4)ADAF2. （2009年上海市）如圖，已知 AB / CD / EF ,那么下列結(jié)論正確的是（c CD BC 口 CD EF

17、BE. EF3.（2009 成都）已知AB6ADEf且 AB: DE=1: 2,則 ABC的面積與 DEF的面積之比為(A)1: 2(B)1: 4(C)2: 1(D)4: 14.（2009年安順）如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2, DE是它的中位線，則下面四個結(jié)論:標準實用文檔（1） DE=1 , （2） CDEscab,（3） CDE的面積與 CAB的面積之比為 1: 4.其中正確的有:A. 0個 B. 1個 C. 2個D. 3個5. （2009重慶某江）若為（）ABC s、DEF, ABC與 DEF的相似比為12,則4 ABC與 DEF的周長比標準A.1：4 B.1：2 C.2：16.

18、 （2009年杭州市）如果一個直角三角形的兩條邊長分別是6和8,另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x,那么x的值（）A.只有1個B.可以有2個C.有2個以上但有限D(zhuǎn).有無數(shù)個7.2009年寧波市）如圖，菱形 ABCD中，對角線 AC、BD相交于點O, M、N分別是邊AB、AD的中點, 連接OM、ON、MN,則下列敘述正確的是（）A . AOM和 AON都是等邊三角形B.四邊形MBON和四邊形MODN都是菱形C.四邊形AMON與四邊形ABCD是位似圖形D.四邊形MBCO和四邊形NDCO都是等腰梯形8. （2009年江蘇?。┤鐖D，在 5 5方格紙中，將圖中的三角形甲平移到圖中所示的位置，

19、與三角形乙拼成一個矩形，那么，下面的平移方法中，正確的是（）A.先向下平移3格，再向右平移1格9. 先向下平移2格，再向右平移1格10. 2009年義烏）在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明同學發(fā)現(xiàn)自己的一本書的寬與長之比為黃金比。已知這本書的長為20cm,則它的寬約為A. 12.36cmB.13.6cmC.32.36cm D764cm11. （2009年婁底）小明在一次軍事夏令營活動中，進行打靶訓練，在用槍瞄準目標點 B時，要使眼睛O、準星A、目標B在同一條直線上，如圖4所示，在射擊時，小明有輕微的抖動，致使準星A偏離到A ',若OA=0.2米，OB=40米，AA ' =0.0015米，則小明射擊到的點B'偏離目標點 B的長度 BB '為（）A. 3 米 B. 0.3 米 C. 0.03 米 D.