導(dǎo)數(shù).第1級(jí).導(dǎo)數(shù)

1、第1講導(dǎo)數(shù) 我們?cè)谝黄鸢僧?dāng)前形勢(shì)新課標(biāo)剖析導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用在近五年北京卷（理）中考查 1314 分內(nèi)容ABC具體要求導(dǎo)數(shù)的概念通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析， 經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知導(dǎo)數(shù)概念及 其幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)， 體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵意義通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)定根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù) y C ，y x ，y x2，y x導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算義求簡(jiǎn)單函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)y 1， y x 的導(dǎo)數(shù) x導(dǎo)數(shù)的四則能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)公式表會(huì)使用導(dǎo)數(shù)公式表要求層次3，高考 要求北京2009

2、年2010 年（新課標(biāo)）2011 年（新課標(biāo)）2012 年（新課標(biāo)）2013 年（新課標(biāo)）高考解讀第 18 題 14 分第 18 題 13 分第 18 題 13 分第 18 題 13 分第 18 題 13 分導(dǎo)數(shù)的引入我們?cè)诒匦抟坏臅r(shí)候?qū)W習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的知識(shí)，可以從變化趨勢(shì)來(lái)研究函數(shù)比如增函數(shù)就是越來(lái)越大的， 減函數(shù)就是越來(lái)越小的 我們知道了函數(shù)的增和減之后， 自然引出的問(wèn)題就是增和減的速度 就 好比我們還是嬰兒的時(shí)候，最開(kāi)始掌握的運(yùn)動(dòng)方式是爬，開(kāi)始是練習(xí)向前爬和向后爬，能掌握方向了 之后，就要開(kāi)始關(guān)注爬的速度有些社區(qū)還會(huì)組織嬰兒爬行比賽回到函數(shù)的角度，我們?cè)嫉暮瘮?shù) 定義解決的是 “在哪里

3、”的問(wèn)題（代入坐標(biāo)求解） ，必修一的函數(shù)單調(diào)性這一節(jié)中我們初步解決了“往哪走”的問(wèn)題現(xiàn)在我們要研究的就是在大概知道 “往哪走”的前提之下，解決具體 “怎么走”“走多快 ”的 問(wèn)題為了研究此類問(wèn)題，聰明的人類引入了導(dǎo)數(shù)的概念在介紹導(dǎo)數(shù)之前，我們先來(lái)了解一個(gè)簡(jiǎn)單概念：平均變化率1.1 導(dǎo)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)睛 函數(shù)的平均變化率 ：一般地，已知函數(shù) y f(x)， x0， x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn)，記x x1 x0，y y1 y0 f (x1) f(x0) f(x0 x) f(x0)，則當(dāng) x 0時(shí)，商 f(x0 x) f(x0) y稱作函數(shù) y f (x)在區(qū)間 x0,x0x (或 x0 x,x0)x

4、x上的平均變化率 【教師備案】講變化率的時(shí)候可以和速度結(jié)合到一起，比如小車問(wèn)題(課件中有圖) 有一個(gè)小車在忽忽悠悠的往前開(kāi)，我們每隔1 秒鐘拍一張照片，就可以得到如下的圖：t 1s 時(shí)：0m2m8m18m0s1s2s 3s這時(shí)計(jì)算平均速度就可以用位移差除以時(shí)間差，這其實(shí)也是速度的定義：速度就是位移的 變化率那么平均速度也就是位移的平均變化率我們也可以把時(shí)間間隔變成0.5 秒，就會(huì)變成下圖：t 0.5s 時(shí)：0m2m8m18m0s 0.5s 1s 1.5s 2s 2.5s 3s比如我們要計(jì)算 1 到1.5秒間的平均速度，也需要用位移差 s t 如果我們排除位移、速度這樣的具體物理概念，只研究 “

5、變化 “這件事的話，我們就可以得 到更廣泛的平均變化率的概念建議老師可以換一個(gè)例子，比如從圓的面積隨半徑的變化率入手x x x2x我們很容易發(fā)現(xiàn)，在半徑均勻變化的時(shí)候，圓面積隨半徑的平均變化率并不是均勻的，而 是越變?cè)娇?這個(gè)現(xiàn)象在生活中有很實(shí)際的例子， 比如我們?nèi)ベI蛋糕的時(shí)候， 六寸、 九寸、 十二寸的蛋糕價(jià)格并不是均勻增長(zhǎng)的， 從九寸到十二寸的價(jià)格增長(zhǎng)一定比從六寸到九寸的 價(jià)格增長(zhǎng)大平均變化率有本身的缺陷， 比如小車問(wèn)題中， 我們看到從 0s到1s的平均速度是 2m/ s，但 是我們并不能說(shuō)這一段時(shí)間每一個(gè)時(shí)刻的速度都是2m/ s蛋糕問(wèn)題也是一樣的，比如我們有一個(gè)神奇的蛋糕，會(huì)越變?cè)酱?，?/p>

6、來(lái)是六寸的，一段時(shí)間后漲到了七寸，然后出現(xiàn)一 個(gè)神奇的小狗，把新出來(lái)的寬為一寸 “蛋糕環(huán) ”吃了，最后剩下的還是一個(gè)六寸的蛋糕那 么這段時(shí)間蛋糕大小的平均變化率應(yīng)該是0 ，從這個(gè)角度講蛋糕是沒(méi)變的，但實(shí)際過(guò)程中有很復(fù)雜的變化平均變化率在刻畫(huà)此類問(wèn)題的時(shí)候顯得不夠精確了還有很多的例子，比如有一個(gè)人投資股票，一開(kāi)始投入了10塊錢，一年之后收回 10 塊錢，那么這一年中的平均變化率就是 0 ，但是這一年中肯定有起伏的變化老師可以選取自己 比較擅長(zhǎng)的例子進(jìn)行講解產(chǎn)生這個(gè)問(wèn)題的重要原因是平均變化率只能刻畫(huà)一個(gè)x 上的平均情況，只考慮起點(diǎn)和終點(diǎn)兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)，而對(duì)于中間狀態(tài)沒(méi)有刻畫(huà)(這里的x 可以指時(shí)間，

7、也可以指剛才提過(guò)的半徑變化) 而當(dāng)我們精確處理每一個(gè)瞬間變化情況的時(shí)候，自然的想法就是讓x 無(wú)限的小此時(shí)得出的變化率就是瞬時(shí)變化率我們可以重新看剛才舉的例子，比如小車的問(wèn)題，當(dāng)時(shí)間間隔無(wú)限小的時(shí)候，得到的結(jié)果 就是瞬時(shí)速度 圓的例子也是一樣的， 圓的面積隨半徑的平均變化率是 2x x ，當(dāng) x趨 向于零的時(shí)候，瞬時(shí)變化率也就變成了2x 這樣我們就可以從平均變化率的問(wèn)題引入到瞬時(shí)變化率的問(wèn)題教師備案】教師可以由前兩個(gè)小車問(wèn)題講解平均變化率，在學(xué)生理解什么是平均變化率后，讓學(xué)生做例 1尖子班學(xué)案 1 也是平均變化率的問(wèn)題，老師也可以選擇性的讓學(xué)生做做 建議 老師在讓學(xué)生計(jì)算平均變化率之前多舉一些簡(jiǎn)

8、單的例子，可以參考鋪墊題中使用具體的 某個(gè)數(shù)來(lái)計(jì)算平均變化率，然后再讓學(xué)生去做用x0 解平均變化率的題對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，一個(gè)比較合理的學(xué)習(xí)順序是這樣的：最后我們加入的易錯(cuò)門診，強(qiáng)調(diào)的是導(dǎo)數(shù)的定義然后就可以進(jìn)入第二板塊：導(dǎo)數(shù)的運(yùn) 算了2 函數(shù)的瞬時(shí)變化率、函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ：設(shè)函數(shù) y f (x) 在 x0 附近有定義，當(dāng)自變量在x x0 附近改變量為 x 時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)的改變y f (x0 x) f (x0) 如果當(dāng) x 趨近于 0時(shí)，平均變化率yxf(x0 x) f(x0) 趨近于一個(gè)常數(shù) l ，那么常數(shù) l 稱為函數(shù) xf (x) 在點(diǎn) x0 的瞬時(shí)變化率當(dāng) x趨近于零時(shí)， f(x0x) f ( x

9、0 )趨近于常數(shù) l ”可以用符號(hào)xf (x0x) f(x0)x當(dāng) x 0 時(shí)，”記作：l ”，或記作 “l(fā)im f (x0x)f (x0)x0l ”，符號(hào)”讀作 “趨近于”函數(shù)在 x0 的瞬時(shí)變化率，通常稱為 這時(shí)又稱 f(x)在 x x0處是可導(dǎo)的 “當(dāng) x 0時(shí)， f (x0 x) f (x0)f (x)在 x x0處的導(dǎo)數(shù)，并記作 f (x0) 于是上述變化過(guò)程，可以記作f (x0 x) f (x0)f (x0) ”或“l(fā)imx0f (x0) ”經(jīng)典精講xfx2x2 在區(qū)間 3，3f (3 x) f(3)總結(jié)】考點(diǎn) 1： 導(dǎo)數(shù)的定義【鋪墊】求下列函數(shù)在區(qū)間2，2x和 3，3x上的平均變

10、化率 f xx f(x) x2【解析】 f xx 在區(qū)間2，2x 上的平均變化率為yf (2x)f(2) 2x2xxxfxx 在區(qū)間3，3x 上的平均變化率為yf (3x)f(3) 3x3xxx f x2x2在區(qū)間2，2x 上的平均變化率為yf (2 x)f (2)222 x 221；1；xx上的平均變化率為22x 326 x ；x 可以讓學(xué)生感受一下函數(shù)變化快慢，比如從上題的結(jié)果來(lái)看，在相同的時(shí)間內(nèi)一次函數(shù)的變 化是一直不變的；二次函數(shù)的變化是越來(lái)越快的教師備案】教師可以先講鋪墊，根據(jù)鋪墊讓學(xué)生從具體的區(qū)間體會(huì)函數(shù)的平均變化率，再由具體的 區(qū)間引申出一般區(qū)間的平均變化率，然后講例1例 1】

11、平均變化率與瞬時(shí)變化率 求下列函數(shù)在區(qū)間 x0 ， x0 x 上的平均變化率 f (x) x f(x)2 x31 f (x) x3 f (x)x f(x)x 求下列函數(shù)分別在x 1 ，x2 和 x3處的瞬時(shí)變化率 f (x) x f(x)2 x31 f (x) x3 f(x) f (x)xx追問(wèn)】從瞬時(shí)變化率角度分析每個(gè)函數(shù)的整體變化趨勢(shì)，我們可以很明顯的看出對(duì)于一次函數(shù)，二次函數(shù)，三次函數(shù)來(lái)說(shuō)，次數(shù)越高，往后變化越快教師備案】求例 1 的瞬時(shí)變化率時(shí)，前三個(gè)是讓學(xué)生體會(huì)簡(jiǎn)單函數(shù)的瞬時(shí)變化率，老師可 以重點(diǎn)講前三個(gè)，然后讓學(xué)生自己體會(huì)后兩個(gè)；如果學(xué)生的程度特別特別好， 可以求下面兩個(gè)函數(shù)在 x

12、 1 處的瞬時(shí)變化率 f x sin x f x cosx解析】 yf (x0x)f(x0 )xxyf(x0x)f(x0)xxyf(x0x)f(x0)xxyf (x0x)f (x0)xxyf (x0x)f (x0)xxx0x x01；x22x0xx02x0x；x33x0xx0223x023x0 x ( x) ；x11x0x x01；2xx0 x0xx0xx01.xx0x x0 y x 同理在1， 在 x 1處的瞬時(shí)變化率為 f (1)2 處的瞬時(shí)變化率為 f (2) 1 ；在 xylim lim 1 1 ；x 0 x x 03 處的瞬時(shí)變化率為 f (3)1 y x 同理在 x2x0x ， 在

13、 x 1處的瞬時(shí)變化率為2 處的瞬時(shí)變化率為 f (2) 4 ；在 xyf (1) lim lim 2x 0 x x 0 3處的瞬時(shí)變化率為f (3)6223x03x0 x ( x) ， 在 x 1處的瞬時(shí)變化率為同理在 xf (1) lim y limx 0 x x 02 處的瞬時(shí)變化率為 f (2) 12 ；在 x 3處的瞬時(shí)變化率為12x0 x0，在 x 1處的瞬時(shí)變化率為 xy f (1) lixm0 yxf (3)lixm027 1；同理在 x2 處的瞬時(shí)變化率為 f (2)1；4在 x 3 處的瞬時(shí)變化率為f (3) yx 在 x 1處的瞬時(shí)變化率為 f (1)lixm0 yx1

14、lim x 0 1 x 124；1；212213 2 3 6 總結(jié)】由例 1 看出一次函數(shù)的增長(zhǎng)速度不變，二次函數(shù)三次函數(shù)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快， 增長(zhǎng)的，只不過(guò)增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢 教師備案】 只求在 x 1處的瞬時(shí)變化率，解析為： sin x0 x sinx0同理在 x 2 處的瞬時(shí)變化率為 f (2)在 x 3 處的瞬時(shí)變化率為 f (3)x 也是在 y f (x0x) f (x0)xx2x sin x0 2sin2 xsinx0 cos x 1 cosx0 sincosx0 sin xsin x0xsin2xsinx22cosx0sin x ，x在 x 1 處的瞬時(shí)變化率為 f 1lim yx

15、 0 xlixm0xsin sin1 2 xxsin2sincos1xxcos1 y f (x0x) f (x0)xcos x0xcosx0cosx0sin2x2xsinsin xsinx0，x在x1處的瞬時(shí)變化率為y lim lim cos1 x 0 x xxsin2x2xsin2sin1sin xsin1 教師備案】 的解析用到了lxim0 sin xx 0 x1的結(jié)論：證明： lxim解析】0 sinx sinx1x sinx lim x 0 xsin x10xsin x 為偶函數(shù)，只考慮xx tanx ， 從 圖 sin x tan xcosx ；容易證明1x 0 的情形，上直接讀出l

16、imcos x 1；于是由夾逼定理 1 lim sinx x 0 x 0 x這個(gè)證明過(guò)程是不嚴(yán)格的，只從對(duì)極限的直觀上作個(gè)說(shuō)明)1 ，于是x 上的平均變化率，在 x 1 處的瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)提高班學(xué)案 1解析】 函數(shù) f(x) 在 1，1 x 上的平均變化率為32x) (1 2) ( x)3 3( x)2xy3f (1 x) f(1) (1 x)32(1xxxx在x1處的瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)相等，為f(1) lim y lim f(1 x)x 0 x x 0 xf(1)lixm0(2x)2 3 x 1) 1 拓 1】 求函數(shù) f (x) x3 2x 在 1，12( x)2 3 x 1，尖子班學(xué)案

17、1【拓 2】已知 f x kx 4 k 0 ，且 f x 在區(qū)間 1，2 上的平均變化率是 4 ，則 k 【解析】 4f 2 2k 4 ， f 1 k 4 ， f 2 f 1 2k 4 k 4 3k所以 f x 在區(qū)間 1，2 上的平均變化率為 3k k 4 2 1 2 1 3總結(jié)】一次函數(shù)的平均變化率就是斜率目標(biāo)班學(xué)案 1【拓3】 質(zhì)點(diǎn) M按規(guī)律 s t at2 1作直線運(yùn)動(dòng)， 若質(zhì)點(diǎn) M在t 2s時(shí)的瞬時(shí)速度為 8m/s，求 a的值解析】 質(zhì) 點(diǎn) 在 2s 時(shí) 的 瞬 時(shí) 速 度 為 s 2litm0 s litm0 s(2t) s(2)t 0 t t 0litm0 4a a t 4a 8

18、 ， a 2x0處可導(dǎo)，則limx0x03xx)正理解，原來(lái)的建議板書(shū)：x是 x x x ，跟 x2 x1是一回事，所以這里用 x2 x1給學(xué)生講更直觀，1A f x0B 3f x0C f x0D 03分析】 此 題很容易出錯(cuò)教師可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)求解，從而加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)定義的真函數(shù)值的差f x2f x1x2 x1x2 x1自變量趨近相等自變量的差B因?yàn)?fx 在 xx0處可導(dǎo)，所以fx0 t f x0fx0 3 x f x0 ，f x0lim0 0 limt0t x 03x解析】lim x2 x1所以 lim3f x0f x0 3 x f x0x 0 x 教師備案】在講完易錯(cuò)門診后

19、，學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的定義可能還有一些模糊，這時(shí)老師可以選擇下面的 道小題讓學(xué)生做做，讓學(xué)生把導(dǎo)數(shù)的定義理解透徹 若函數(shù) yf (x) 在區(qū)間 (a ，b) 內(nèi)可導(dǎo)且 x0(a ，b) ，則 lim f(x0 h) f (x0 ) 的值為()A f (x0 )設(shè)f (3)A若1f(x0 lim x0B 2f (x0 )Cf (3 h) f (3) 0 2hC則 lhimB2 x)3x2f (x0)f (x0 )D0D11 ，則 f (x0) 等于A23B設(shè) f(x)在 x0可導(dǎo)，A 2f x0解析】 CB因?yàn)?f(x) 在 x0可導(dǎo)，所以f x0x fx03 x 等于()0xC3fx0D 4fx0f

20、x0hf x0fx0 hf x0f x0limlimC 32D則xhh f (x0 2 x) f(x0) limx 0 3 x2f(x0 2 x) f (x0)lim23 f x0 1 ，3x02xDx0f x0x f x0 3 xlimx0f x0x f x0 3 x4lim 0 0x 0 4 x4f x0知識(shí)點(diǎn)睛f (x0 h) f (x0)f x0 h f x0lhim0lhim0hh 0 hBf (3limh) f(3)1lim f(3 h) f (3)1 f 32h02h2 h 0 h2B現(xiàn)在我們要做的是從某一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)向一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)過(guò)渡 延續(xù)我們剛才的學(xué)習(xí)順序：關(guān)于求導(dǎo)公式：常

21、見(jiàn)的求導(dǎo)公式我們可能并不會(huì)推導(dǎo)，但是建議和學(xué)生提及一下推導(dǎo)的要點(diǎn)，并說(shuō)明 這個(gè)推導(dǎo)并不是高中知識(shí)范疇之內(nèi)的這樣可以讓學(xué)生比較信服，也可以和學(xué)生強(qiáng)調(diào)公式是前人推導(dǎo) 出來(lái)給我們做題用的1可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)：如果 f (x)在開(kāi)區(qū)間 (a , b)內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的， 則稱 f (x)在區(qū)間 ( a , b)可導(dǎo)這樣，對(duì)開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每個(gè)值 x ，都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù) f (x) 于是，在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)， f ( x)構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)，我1x，xx x 的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)們把這個(gè)函數(shù)稱為函數(shù) y f (x)的導(dǎo)函數(shù)記為 f(x)或y(或 yx) 導(dǎo)函數(shù)通常簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)如果不特別指明求某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，那

22、么求導(dǎo)數(shù)指的就是求導(dǎo)函數(shù)2常用函數(shù) f x C，f x x，f x x2 ，【教師備案】常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)過(guò)程如下：lixm0xxlixm0 C Cx 0 x0；limxlimxxx1；lixm0xxlixm0x2xxx2lixm0 2xx 2x ；limx0111 limx0x 0 x x x xlixm0 x x12；xlixm0x12x3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式若 f x C ( C為常數(shù))，則 f x 0；若 f x x ( Q ) ，則 f x x 1 ；若 f x ax，則 f x axln a ；特別地， 若 f x ex，則 f x ex ； 11若 f x loga x，則 f

23、 x 1 ；特別地，若 f x lnx ，則 f x 1 ；xlna x若 f x sinx ，則 f x cosx ；若 f x cosx ，則 f x sinx 【教師備案】基本初等函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程不要求學(xué)生掌握，學(xué)生只需把導(dǎo)數(shù)公式記住就行， 老師在講完 導(dǎo)數(shù)公式后可以讓學(xué)生做例 2 ，本題可以老師帶領(lǐng)學(xué)生一起做4導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：其中f(x)，g(x)都是可導(dǎo)函數(shù)， C為常數(shù)：(f(x) g(x) f (x) g(x)；f(x)g(x) f (x)g(x) f(x)g (x)；Cf(x) Cf (x)； f(x)f(x)g(x)2 f(x)g(x)(g(x) 0)g(x) g (x)教師

24、備案】這里只證一個(gè)加法的四則運(yùn)算xgxxf x g x設(shè) y f xg x ，則 y f xfxxfxgxx g x fg y fg ， lim y limfglimflim g ，即 yfgfgxxx x 0 x x 0xxx0xx 0 x我們也可以換一種方式來(lái)解釋這個(gè)公式基本上所有學(xué)生都學(xué)過(guò) “水上行舟 ”問(wèn)題，我們可以把 x 看做是時(shí)間， f x 看做是船的位移，gx 看做是水的位移，那么 f x和g x分別指的就是船和水的瞬時(shí)變化率，也就是速度這樣我們的公式也就很好理解了 f x g x 總的位移， f x g x 就是總的速 度，自然等于右邊 f x g x ，也就是船速加水速四則運(yùn)

25、算記憶法則： 加法的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的加法； 常數(shù)與函數(shù)之積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 乘法的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)第二個(gè)導(dǎo)數(shù)乘以第一個(gè)；除法的導(dǎo)數(shù)等于分母不動(dòng)乘以分子導(dǎo)數(shù)減去分子不動(dòng)乘以分母導(dǎo) 數(shù)，再除以分母平方關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)知識(shí)點(diǎn)，老師們可以根據(jù)學(xué)生情況進(jìn)行選擇我們例題中沒(méi)有相關(guān)試 題具體將在同步講解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù) y f (u)，u u(x) ， fx df df du fu ux dx du dx教師備案】 講完導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，可以讓學(xué)生做例2 ；例 2屬于簡(jiǎn)單函數(shù)的四則運(yùn)算，例 2屬于需要先把函數(shù)化簡(jiǎn)，再用四則運(yùn)算 ；對(duì)于目標(biāo)班的學(xué)生，因?yàn)槌潭缺容^好，所以可以

26、讓學(xué)生做做目標(biāo)班學(xué)案 2；在例 2 的后邊還有一個(gè)【挑戰(zhàn)十分鐘】 ，【挑戰(zhàn)十分鐘】的主要 目的是讓學(xué)生熟練導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算，可以讓學(xué)生在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)做做經(jīng)典精講考點(diǎn) 2： 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例 2】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2012 xy x y 2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) y x3cosx yxy e y lnxx2 3x 1 ex y exsin xyxln xftanx 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 1 1 f x x x22 yxx解析】 y 2012x 2011 ； y 2xln 2；y 3x2 sin x ； y 2x 3 exx11x1 f x xxsin2x cos2yxe；y1x2 x3x 1 ex

27、2 xx 2 ex ； y ex sin x ex cosx ex sinx cosx ； yln x 1ln2xsinx cosx22 cos x sin x122cos xcos x(sin x) cosx sin x(cos x)2 cos xx 先化簡(jiǎn) ， y x 1x11xxf xx3 1 1， f x 3x2 先使用三角公式進(jìn)行化簡(jiǎn) f x12；x1113221212xxyx2x222xx1x sincosxsinx222111xx sin xx (sin x)1 cosx222挑戰(zhàn)十分鐘】 讓學(xué)生熟練的掌握求導(dǎo)公式以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yyyysin xcosx； y

28、 x 1 ；y1x；yxex ；y2xsin x ； y x ln xxxxcosxsin1x ； y 1； yx；2；yx11 ；ysin x 2； y 2x2x 11 x2x1xx22； y 2x2 33x 1； yx12 xx11 314 2x3； y2 ； y x4 3x2 5x 6 ； y3 x22x cosx ； yx2 sinx ；5 ； y 2 sinx ； y2x cosx ；223x2 ；y3； y 4x 6xxcosxsinx； y11 2 ； yx2xln xx；yxsinx ； y解析】 yyy12 x12x； y1 x ex ； yyxcosx sinx2；xy28

29、2x ； y2；2；2x 1yx2 2ysinx xcosx ；2；2；x12x；y218x2 4x 9 ； y3x2提高班學(xué)案 2拓 1】設(shè)函數(shù) f x 2x3 ax2 x ， f 1 9 ，則 a 解析】 12 f x 6x2 2ax 1且 f 1 9 ， 6 2a 1 9，解得 a 1尖子班學(xué)案 2拓 2】已知 f x ln x ，若 f a 0 ，則 lna x解析】 1ln x1 ln x ，由 fa 0得 1 l2na 0，a2lna 1x2x例 3 引入】 導(dǎo)數(shù)實(shí)際也是一個(gè)函數(shù)，和原函數(shù)密切相關(guān)，關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等等我們會(huì) 在春季課上重點(diǎn)介紹在預(yù)習(xí)課里我們先介紹一個(gè)函數(shù)

30、的基本性質(zhì)在函數(shù)中我們有這樣的結(jié)論： y f x 是一個(gè)函數(shù)，是可以 “動(dòng) ”的，而 y f 1 就是一個(gè) 數(shù)，因?yàn)樽宰兞恳呀?jīng)取定了，他就不能“動(dòng) ”了所以在函數(shù)考察中曾經(jīng)有過(guò)這樣的問(wèn)題：f x 1 2xf 1 ，求 f x ”，我們的做法很簡(jiǎn)單，就是把 x 1代入，求出 f 1 的值即可解這類題的關(guān)鍵就在于理解 f 1 其實(shí)是一個(gè)固定的數(shù)例 3 就是這類題在導(dǎo)數(shù)中的 考察比如例 3（ 1）中的 f 1 表示的就是 f x 這個(gè)函數(shù)在 x 1處的導(dǎo)數(shù)，這是一個(gè) 固定的數(shù)這類題解法的基本過(guò)程是：通過(guò)求導(dǎo)把原式轉(zhuǎn)化為一個(gè)導(dǎo)函數(shù)的等式，然后 代入需要求的值 強(qiáng)調(diào)這個(gè)概念的目的是防止學(xué)生在計(jì)算 f 1

31、 x 導(dǎo)數(shù)的時(shí)候把它當(dāng)做兩 個(gè)函數(shù)相乘求導(dǎo)例 3】f a 實(shí)際是一個(gè)數(shù)已知 f x 3x3 2f 1 x 5，則 f 2 已知函數(shù) f x f cosx sin x ，則 f 的值為44 已知函數(shù) f xsinx2xf 3，則 f3與f3的大小關(guān)系是（ ）A f fB ffCff D 不能確定333333 30求導(dǎo)得 f x9x22f 1 ，所以 f192f1， f 1 3解析】所以 fx 9x26所以 f 2301fxfsin xcosx ， ff sin cos， 解得 f 2 1444 4 44f22121422B因?yàn)?f x cosx 2f ，fcos2f，所以 f 1333332則

32、f x sinx x ，所以 f3 ，f3 ，323323經(jīng)比較可知 f1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義知識(shí)點(diǎn)睛設(shè) 函 數(shù) y f(x)的圖B(x0 x, f(x0x) 的y f (x0 x)f (x0)圖所示 AB為過(guò)點(diǎn) A(x0, f(x0)與條割線由此割線的斜率是，可知曲線割線的斜率就是函數(shù)的平均變化xx率當(dāng)點(diǎn) B沿曲線趨近于點(diǎn) A時(shí)，割線 AB繞點(diǎn) A 轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位 置為直線 AD，這條直線AD叫做此曲線在點(diǎn) A的切線，即 f(x0 x) f (x0)limx 0 x切線 AD 的斜率，簡(jiǎn)單地說(shuō)， 曲線上某一點(diǎn)處x切線的斜率就反映了曲線在這點(diǎn)處的變化率，所以說(shuō)切線的斜率就是導(dǎo)數(shù)教師備案】切線

33、的定義：直線l與曲線C有一個(gè)交點(diǎn) ”，是“直線l是曲線 C的切線”的條件解析】 既不充分也不必要 一方面：只有一個(gè)交點(diǎn)不見(jiàn)得是切線，如圖1；另一方面：切線不見(jiàn)得只有一個(gè)2；更加強(qiáng)，切線與函數(shù)圖象可能會(huì)有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，如圖2yOx圖3對(duì)于程度很好的學(xué)生可以進(jìn)一步解釋：相切只是局部概念，不是整體概念，比方說(shuō)知識(shí)點(diǎn)睛中的圖只是在 A 點(diǎn)附近割線逼近的情況，至于這個(gè)范圍以外的部分和切線無(wú)關(guān)什么是切線的的斜率，舉個(gè)例子：函數(shù) f (x) 的圖象在 x 3處與 x 軸相切，在 x 1 與 x 為 AB，CD ，其中 A ，B ，C ，D 的坐標(biāo)分別為 0，3 ， 6，3 ，如圖，則 lixm0 f(1 x)

34、 f (1) ； fx 0 xf 5 y解析】32，0，limx0f(1 x) f (1) 可以看出是在求函數(shù)在 xx 1 處的瞬時(shí)變化率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知， 在lixm0 f(1x0x) f (1) x2 ，同理 f 3 0 ， f 5 kCD 2【教師備案】例 4 主要講導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間的關(guān)系，讓學(xué)生從圖象上充分了解導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間 的關(guān)系， 老師在講完導(dǎo)數(shù)的幾何意義后可以讓學(xué)生做例4；在學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)與切線斜率之間的關(guān)系后講切線方程，例 5主要是求切線方程，例 5 后邊有一個(gè)【挑戰(zhàn)十分鐘】 ，老師 可以以例 5 為例講切線方程，以【挑戰(zhàn)十分鐘】為練習(xí)讓學(xué)生熟練的求切線方程；例 6 主

35、要講切點(diǎn)的核心作用，讓學(xué)生靈活的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與切線之間的關(guān)系，對(duì)于目標(biāo)班的學(xué)生， 因?yàn)槌潭群芎?，可以讓學(xué)生做做目標(biāo)班學(xué)案3經(jīng)典精講考點(diǎn) 3：【例 4】導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)等于切線斜率如圖，直線 l是曲線 y f(x)在x 4處的切線，則 f (4)解析】如圖，是y曲線 y f(x)在點(diǎn) M (2 ，f (2) 處的切線方程2x 3， f(2) f (2) 函數(shù) yA11，fsinx 的圖象上一點(diǎn)B 32是偶函數(shù)若曲線1 處的切線的斜率為C22在點(diǎn)1，f1233 處的切線的斜率為12 處的切線的斜率為 2 ，則該曲線在點(diǎn)D3x 2時(shí)， y 1 f 2 ， y2x 3的斜率為 2 ，故 f 2 2， f

36、(2) f (2) 3 D2由偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱知， 在對(duì)稱點(diǎn)處的切線也關(guān)于 y軸對(duì)稱，故所求切線的斜率為 2 也可由特殊函數(shù) y x2 得到此題答案例 5】切線方程已知曲線 y x 直線 l 的斜率為 k 5 3 1，所以 f (4)4 0 2上一點(diǎn) A 1，2 ，求曲線在點(diǎn) A 處的切線方程x( 2010豐臺(tái)一模文 12)函數(shù) f (x) ln x的圖象在點(diǎn) e, f (e) 處的切線方程是【追問(wèn)】求 y ex在 (x0，f(x0) 處的切線方程，并且計(jì)算切線和x 軸交點(diǎn)的坐標(biāo)由此找出指數(shù)函數(shù)切線的小性質(zhì) 切線和 x 軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)和切點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的差是一個(gè) 定值，這個(gè)定值只受指數(shù)

37、函數(shù)的底影響最后由此性質(zhì)類比可以得到對(duì)數(shù)函數(shù)的相 關(guān)性質(zhì)解析】 yx12xey1111，在點(diǎn) A處的切線方程為 y 2 1(x 1)，即 x 2y 5 022總結(jié)】即ylne切線方程：y0追問(wèn)】 y11 ， 所求的切線方程為 y f e ex e ，化簡(jiǎn)為 x ey 0 斜率 =導(dǎo)數(shù)x0 x x0 ，本質(zhì)就是點(diǎn)斜式點(diǎn)坐標(biāo)ex0x (1 x0)ex0 ，令 y 0得 x x0 1 ，故橫截距與切點(diǎn)橫坐標(biāo)之差為1.挑戰(zhàn)十分鐘】 學(xué)生在學(xué)完切線方程后，對(duì)切線方程可能還不是很熟悉，老師可以選擇以下十個(gè)小題 讓學(xué)生多練練求曲線求函數(shù)求曲線1 x2在點(diǎn) 2 ，1 處的切線方程；411 在點(diǎn) 1， 1 處的

38、切線方程；x3x求函數(shù)求曲線求曲線求曲線求曲線2x 1 在點(diǎn) 2，13 處的切線方程； 1 在點(diǎn) 2 ，5 處的切線方程；x2xln x 在點(diǎn) e ，e 處的切線方程； x2ex x 3 在點(diǎn) 0，3 處的切線方程；1 在點(diǎn) 2 ， 1 處的切線方程； 1xx 在點(diǎn) 1 ，1 處的切線方程；2x 1求曲線cosx 在點(diǎn)6， 23 處的切線方程；求函數(shù)sin x 在 x解析】 x y x y 6 3x 12y 6 x y 2 x y 3 3=0 處的切線方程60 ； 14x y0；x15 0； 3x 4y 4 0； 2x y e=0；2 0； 6x 12y 6 3 =0；例 6】切點(diǎn)的應(yīng)用2 x

39、曲線 y在點(diǎn)P 處的切線的斜率為3，A 3，B 3 ，9C則點(diǎn) P 的坐標(biāo)為( 3， 2 若曲線1 與 y 1 x3 在 xx0 處的切線互相垂直，則x0 等于()A3 366B3 366C 2D 2 或 033a 相切，則 a 的值為（ ）A1B 2C 1D 2解析】 CA曲線 yx21在xx0 處的切線斜率為y (x0) 2x0 ；曲線 y 1率為 y(x0)3x02 ，由題意有： 2x0 （3x0 ) 1 ，解得 x0 3 6B設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0） ，則 y0 x0 1 ， y0ln x0 a ， 已知直線 yx 1 與曲線 y ln xx3 在 x3 36 6又曲線 y ln x a

40、 在 x x0處的切線斜率為1 y |x x0 x01x0 處的切線的斜 x0 1， y0 2 ， a 2 故選 B總結(jié)】切線的相關(guān)問(wèn)題絕大多數(shù)都是圍繞切點(diǎn)做的，這是由于切點(diǎn)是曲線和切線的結(jié)合點(diǎn)，它的坐 標(biāo)可以同時(shí)影響曲線和切線一般來(lái)說(shuō)，只要題目中出現(xiàn)了切點(diǎn)或切線，我們都需要設(shè)出切 點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用切點(diǎn)的三個(gè)性質(zhì)：切點(diǎn)在曲線上、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線 的斜率，列出三個(gè)方程解出切點(diǎn)坐標(biāo)后基本就 ok 了所以建議老師在課上強(qiáng)調(diào)切點(diǎn)的重要 性，至少讓學(xué)生見(jiàn)到類似問(wèn)題的時(shí)候可以想到 “切點(diǎn) ”這個(gè)核心要素例如：例 6 的（ 3），我們一開(kāi)始就要明白這個(gè)題的關(guān)鍵是解出切點(diǎn)坐標(biāo)，我們就可以列出

41、：y0 x0 1 切點(diǎn)在直線上y0 ln x0 a 切點(diǎn)在曲線上1y x0 1 =1 切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù) = 切線斜率 x0提高班學(xué)案 3拓 1】 曲線 y x2 上切線的傾斜角為 的點(diǎn)的坐標(biāo)為4 解析】 1 ，124 切線的傾斜角為 ， k = tan 1，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 x0，y0 ，曲線 y x2在x x0處的441 切線斜率為 y |x x0 2x0， 2x0 1，x0，021 1 1 y0 41 ，故切點(diǎn)坐標(biāo)為 2 ，4尖子班學(xué)案 3拓 2】曲線 y x3 3x 上切線平行于 x 軸的點(diǎn)的坐標(biāo) 解析】 1， 2 或 1，2切線平行于 x軸，切線的斜率為 0 ，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 x0，y0 ，曲線

42、y x3 3x在 x x0處 的切線斜率為y |x x03x023，3x0230，x01或x01，當(dāng)x01時(shí)，y02；當(dāng)x01時(shí)， y0 2 故切點(diǎn)坐標(biāo)為 1， 2 或 1，2目標(biāo)班學(xué)案 2拓 3】 設(shè)函數(shù) f(x)3x3ax b(a0) 若曲線 yf x 在點(diǎn) 2，f 2 處與直線 y 8 相切，求a ，b 的值已知直線 yax1 與曲線 yln x 1 相切，則a 的值為( )A1B2CeD 1 e解析】f x 3x23a 因?yàn)榍€ yfx在點(diǎn)2，f2 處與直線y8 相切，f20，34a0，所以即f28.86ab 8.解得 a 4，b 24 D設(shè)切點(diǎn) P(x0，y0)，則 y0 ax0 1

43、， y0 ln x0 1， 1又曲線 y lnx 1在x x0處的切線斜率為 y|x x0a0 x0 ax0 1， y0 2 ，1x0 e ， a 故選 D e若曲線x x3 x2 1 與 g xx2 1在 x x0處的切線互相平行，則x0解析】 43曲線 f x x3 x2 1在x x0處的切線斜率為 3x02 2x0 ；曲線 g x x2 1在x x0處的切線240時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的斜率為 2x0 ，由題意知 3x02 2x0 2x0，解得 x0 0 或者 x0，但是當(dāng) x03 切線重合，所以 x0 4 3實(shí)戰(zhàn)演練1時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率為(演練 1】 若函數(shù) f (x) 2 ，則當(dāng) xx已知函數(shù)f(x)x2 ，則 lixm0 f(1x0x)xf (1)等于(A2xB 1 xC 2 D定義法：f( 122xx) f ( 1) 1x( 2)x1A 1B 1C2解析】)D1lim0x) f ( 1)x2 lim x 0 x 12或者直接求導(dǎo)f (x)2，2，12演練 2】若 limx0f x0 2 x f x01 ，則 f x0等于)A2B 2C2D解析】 CA f (x) 1 xBf (x) xC f (x)是 f(x) 31x32x 1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值為 _設(shè) f (x)xln x ，若f (x0)2 ，則 x0()2AeB eln 2 C2Dln2解析】 C3f (x)