中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)目的：1、理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函 數(shù)最大值和最小值的求法及其簡單應(yīng)用。3、會用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求函數(shù)圖形的拐點以及水平、鉛直和斜漸 近線，會描繪函數(shù)的圖形。4、掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。教學(xué)重點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理；2、函數(shù)的極值，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法；3、函數(shù)圖形的凹凸性；4、洛必達法則。教學(xué)難點：1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用；2、極值的判斷方法；3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪；

2、4、洛必達法則的靈活運用。§3 , 1 中值定理一、羅爾定理費馬引理設(shè)函數(shù)f(x)在點xo的某鄰域U(Xo)內(nèi)有定義.并且在xo處可導(dǎo).如果對任意x U(xo).有 f(X)if(Xo)(或 f(X)-f(Xo).那么 f(Xo) ,羅爾定理 如果函數(shù)yf(x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù).在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo).且有f(a)彳(b).那 么在(a, b)內(nèi)至少在一點.使得f ( )=0 .簡要證明：如果f(X)是常函數(shù)則f儀)司定理的結(jié)論顯然成立“(2)如果f(x)不是常函數(shù).則f(x)在(a . b)內(nèi)至少有一個最大值點或最小值點.不妨設(shè)有一最大值點匚三(a .b)，于是f ()屮

3、)巳im_f(纖()一0.f約=嗎+弋丁)切.所以 f (x)=0.羅爾定理的幾何意義：、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a.b上連續(xù).在開區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo).那么在(a b)內(nèi)至少有一點(a< <b).使得等式f(b)-f(a)甘清(bv) 成立拉格朗日中值定理的幾何意義：f ()_f(b)-f(a)b -a定理的證明：引進輔函數(shù)令(x)孑(x)-f(a)f(b)-f(a) (xv),b a容易驗證函數(shù)f(x)適合羅爾定理的條件：(a)= (b)=0(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)在開區(qū)間(a b)內(nèi) 可導(dǎo).且:(x)f (x)根據(jù)羅爾定理.可知在開區(qū)間(a

4、b)內(nèi)至少有一點.使()=0.即由此得f(b)f二f ().b a即f(b)_f(a)=f ( )(b七).定理證畢，f(b) -f(a)寸()(b -a)叫做拉格朗日中值公式.這個公式對于b<a也成立拉格朗日中值公式的其它形式：設(shè)x為區(qū)間a b內(nèi)一點.x匸x為這區(qū)間內(nèi)的另一點(=x>0或lx<0).則在x.xx ( =x>0)或xx C x<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式.得f(x ： =x) f(x) f(X J ：x)x (0< *1).如果記f(x)為y .則上式又可寫為-y f (x 二：x) _x (0< <1).試與微分d y f (x)

5、Lx比較：d y # (x) Lx是函數(shù)增量-y的近似表達式.而f (x x) x是函數(shù)增量利的精確表達式作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用.我們證明如下定理：定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的導(dǎo)數(shù)恒為零.那么f(x)在區(qū)間I上是一個常數(shù)證 在區(qū)間I上任取兩點X1 x2(Xl<X2).應(yīng)用拉格朗日中值定理.就得f(X2)h(Xl)=f (勺(X2 xi) (xi < -< X2)由假定 f ( >0 .所以 f(X2) -f(xi) =0 .即f(X2) =f(Xl).因為Xi X2是I上任意兩點所以上面的等式表明:f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的這就是說f(x)在區(qū)間I上是一個

6、常數(shù).例 2 .證明當(dāng) x 0 時.x ：|n(l x) ：x .1 +x證 設(shè)f(x)=ln(1 x).顯然f(x)在區(qū)間0 x上滿足拉格朗日中值定理的條件.根據(jù)定理.就有f(x)-f(O)甘"(9(x-0) . 0<*x。由于f(0) 0 f (x).因此上式即為1 +xln(1 x)又由0：x .有xVx：:ln(1 x) ：x .、柯西中值定理設(shè)曲線弧C由參數(shù)方程X =F(x) y =f(x)(a：a<b)表示.其中x為參數(shù).如果曲線C上除端點外處處具有不垂直于橫軸的切線 .那么在曲線C上必 有一點x J .使曲線上該點的切線平行于連結(jié)曲線端點的弦 AB .曲線C

7、上點x J處的切線的斜 率為dY _ f ()dX _ F ()'弦AB的斜率為f(b)-f(a) F (b) F 于是f(b)-f(a) _f ()F(b)-F(a)F ()柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及 F(x )在閉區(qū)間a.b上連續(xù).在開區(qū)間(a.b)內(nèi)可導(dǎo).且F (x)在(a b)內(nèi)的每一點處均不為零.那么在(a b)內(nèi)至少有一點'.使等式f(b)-f(a) _ f ()F(b)-F(a)F ()'成立顯然.如果取F(x)改.那么F(b)_F(a) =b-a F (x1 .因而柯西中值公式就可以寫成f(b)-f(a)有()(b-a) (a< <b).

8、這樣就變成了拉格朗日中值公式了§3, 2洛比達法則0或二未定型（基本），不能用商的極限運算法則0另外1:=，:0，00，: 0,都是未定型，可以轉(zhuǎn)換為基本未定型0洛必達法則：設(shè)（1）當(dāng)X > a時，函數(shù)f（x）及F（x）都趨于零（2） 在點a的某去心鄰域內(nèi)，f （x）及F（x）都存在且F（x） = 0叫耳存在（或為無窮大）那么.f (x)f (x)limTimx a F(x) x)a F (x)證明：利用柯西中值定理證明（略）例1:xsin x求 l =limT 1 - cosx解一:X2l =lim2xT 12x2解二:x22xl = limlim2T1cosx xTsi n

9、x例2：ln x ,c、求（八°）解：1i.In x廣x1門limlim$ - lim0X J 二 XX X -X x 'x 、:時，ln x比0）-；"速度慢Tx OTA、 * E-(xsix:L+ L + x u- TH E- H7 X CTLI x + x u-x TE- HX u-x X+ x u一 I X U_(LX) T E-H E-L x U- l x u- X L xX U_(LX) T jx叵丘匡(XU_+L)L Jx x H E- Hw 盤J UX(LU)U E-5址 IX(LA1UA3<rE_x2“l(fā)im-。航t 刃t（、,1 t -1）

10、32= lim1t_p1t t2洛必達法則不是對所有未定型都適用sin x例 7: lim+sin x不存在（振蕩）1 -cosx lim x：1 cosx洛必達法則失效/ sin x1 -l = lim x1xsinx1xX I A例 8： lim e eX 4 x -Xe ex _x 解：！im匕x-xe e.x=lim xx_：.： e ex-x還原.e +e=lim xxx八氓一e洛必達法則失效2x1 +ecosx例 9： |im 2先驗證是否為未定型亠.-sin x=limx 0 2x2、其它未定型100，珀000? ? ?例 10: lim x- In x (芒，0)解：原式=li

11、m = limx01 =0例 11: lim( xtan x - secx)JtX # cosxxsin x 解：原式=lim-sin x+xcosx =limxsin x2vy =u=evlnu,limuv =elimvlnu例12:lim xxx )0 lim xln x lim 興lim 解：原式=8 ° 二ex 0x1 二ex 0 e =1§3 ,3函數(shù)單調(diào)性一、函數(shù)單調(diào)性的判定法如果函數(shù)y-f(x)在a .b上單調(diào)增加(單調(diào)減少).那么它的圖形是一條沿 x軸正向上升(下 降)的曲線.這時曲線的各點處的切線斜率是非負的(是非正的).即y甘(x)_0(y f (x)_

12、0).由此可見.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號有著密切的關(guān)系反過來.能否用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法)設(shè)函數(shù)yh(x)在a b上連續(xù).在(a b)內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在(a b)內(nèi)f (x)0 .那么函數(shù)y斗(x)在a b上單調(diào)增加(2) 如果在(a b)內(nèi)f (x)：0 .那么函數(shù)y-f(x)在a b上單調(diào)減少證明 只證(1)，在a b上任取兩點X1 .X2(X1：X2).應(yīng)用拉格朗日中值定理.得到f(x2 )-f(X1 )=f ( )(X2-X1)(X1 ： ： ：X2 ),由于在上式中.X2-X1 0 .因此.如果在(a. b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f (x)保持正號.即f (x

13、) Q .那么也有f ()0.于是f(X2 ) -f(X1 ) f ( )(X2 -X1 ) 0f(X1 ) ：f(X2 ).這函數(shù)y=f（x）在a b上單調(diào)增加,注：判定法中的閉區(qū)間可換成其他各種區(qū)間例1判定函數(shù)y=x-sin x在0 . 2n上的單調(diào)性“解因為在（0. 2n）內(nèi) y =1 -cos x 0 .所以由判定法可知函數(shù)y=x_cos x在0 .2二上的單調(diào)增加，例2討論函數(shù)ywx_x_1的單調(diào)性.（沒指明在什么區(qū)間怎么辦？）解y-1.函數(shù)y=ex _x_i的定義域為（二:仁），因為在（一：.0）內(nèi)y ：0 .所以函數(shù)ywx-x-1在（-：.0上單調(diào) 減少因為在（0 .；）內(nèi)y 0

14、 .所以函數(shù)y wx _x_i在0 . ：）上單調(diào)增加，例3 .討論函數(shù)y=：3x2的單調(diào)性.解：函數(shù)的定義域為（-：.；）,當(dāng)時.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y = 2 （x=0）.函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)33 x當(dāng)x=0時.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在，因為x：0時y ：0 .所以函數(shù)在（-：,0上單調(diào)減少因為x 0時V 0 .所以函數(shù)在0,：）上單調(diào)增加.如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù) .除去有限個導(dǎo)數(shù)不存在的點外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù).那么只要用方程f （x） =0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分函數(shù)f（x）的定義區(qū)間.就能保證f （x）在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號.因而函數(shù)f（x）在每個部分區(qū)間上單調(diào).例4 .確定函數(shù)f（x） x3

15、-9x2，12x-3的單調(diào)區(qū)間，解這個函數(shù)的定義域為：（；.；），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：f （x）=6x2 -18x 12二6（x-1）（x2）.導(dǎo)數(shù)為零的點有兩個：X1 =1、沁=2列表分析：(7 11 . 22gf (x)+f(x)/函數(shù)f（x）在區(qū)間（嚴1和2、七c）內(nèi)單調(diào)增加.在區(qū)間1 . 2上單調(diào)減少例5 .討論函數(shù)y狀3的單調(diào)性.解函數(shù)的定義域為.（互.七勺，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：y'£x2 除當(dāng)x=0時yp夕卜.在其余各點處均有 y 0 .因此函數(shù)y次3在區(qū)間（二.0及0 .；）內(nèi)都是單調(diào)增加的.從而在整個定義域：（；.-：）內(nèi)是單調(diào)增加的 在x=0處曲線有一水平切線，一般地.

16、如果f （x）在某區(qū)間內(nèi)的有限個點處為零.在其余各點處均為正 （或負）時.那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的例6 .證明：當(dāng)x 1時.2 x七-1 .x證明：令 f (x)=2、x -(3-).則xf(x)=A4(xd), vx x2x2因為當(dāng)x 1時f (x) 0 .因此f(x)在1,：)上f(x)單調(diào)增加.從而當(dāng)x 1時,f(x) f(1), 由于 f(1)=0 .故 f(x) f(1)=0.即2 x 一(3丄)0 .x也就是 2 . x 3-1 (x 1),x§3 4函數(shù)的極值與最大值最小值一、函數(shù)的極值及其求法極值的定義：定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b

17、)內(nèi)有定義.xo三(a, b)，如果在xo的某一去心鄰域內(nèi)有 f(x) ： f(x°). 則稱f(Xo)是函數(shù)f(x)的一個極大值如果在xo的某一去心鄰域內(nèi)有f(x) .f(xo).則稱f(xo)是函數(shù)f(x) 的一個極小值.設(shè)函數(shù)f(x)在點xo的某鄰域U(xo)內(nèi)有定義.如果在去心鄰域U(xo)內(nèi)有f(x)：:f(xo)(或f(x) f(xo). 則稱f(Xo)是函數(shù)f(x)的一個極大值(或極小值).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值.使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的.如果f(xo)是函數(shù)f(x)的一個極大值.那只是就xo附近的一個局部范圍來說f

18、(xo)是f(x)的一個最大值如果就f(x)的整個定義域來說 f(xo)不一定是最大值，關(guān)于極小值也類似，極值與水平切線的關(guān)系：在函數(shù)取得極值處.曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平切線的地方.函數(shù)不一定取得極值.定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點xo處可導(dǎo).且在xo處取得極值.那么這函數(shù)在xo處的導(dǎo) 數(shù)為零.即f (Xo) =o .證為確定起見.假定f(xo)是極大值(極小值的情形可類似地證明)根據(jù)極大值的定義.在xo的某個去心鄰域內(nèi).對于任何點x f(x) : f(xo)均成立于是當(dāng) x ：xo時f(x)-f(Xo) oX Xo因此f(xo)-lim f(x) f(xo) _ox3x(

19、)X-xo當(dāng)xxo時f(x) -f(xo) ox -Xo因此f(x0)=lim少型！叩.x)+X-X0從而得到f(X0)二0 ,簡要證明：假定f(xo)是極大值，根據(jù)極大值的定義.在X0的某個去心鄰域內(nèi)有f(x) :： f(Xo).于 是f(X3fixolim f(X)f(X0)_O.JX)x _X0同時 f (心)=f(x0) = lim 少 fX <0 .JX)十x_Xo從而得到f (Xo) = 0 .駐點：使導(dǎo)數(shù)為零的點(即方程f(x)二0的實根)叫函數(shù)f(x)的駐點，定理1就是說：可導(dǎo)函數(shù) f(x)的極值點必定是函數(shù)的駐點 ，但的過來.函數(shù)f(x)的駐點卻不一定是極值點，考察函數(shù)

20、f(x)h3在xd0處的情況，定理2 (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點X0的一個鄰域內(nèi)連續(xù).在Xo的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在Xo的某一左鄰域內(nèi)f (x) 0 .在Xo的某一右鄰域內(nèi)f (x)：0.那么函數(shù)f(x)在Xo處取得極大值(2) 如果在xo的某一左鄰域內(nèi)f (x)：0.在Xo的某一右鄰域內(nèi)f (x) o .那么函數(shù)f(x)在Xo處取得極小值如果在xo的某一鄰域內(nèi)f(X)不改變符號.那么函數(shù)f(x)在 xo處沒有極值.定理2 -(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含xo的區(qū)間(a, b)內(nèi)連續(xù).在(a, x。)及(xo, b)內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在(a,xo)內(nèi)f (x)o.在(xo

21、,b)內(nèi)f (x)<o .那么函數(shù)f(x)在xo處取得極大值-(2) 如果在(a,xo)內(nèi) f (x)：o.在(xo,b)內(nèi)f (x)o .那么函數(shù)f(x)在xo處取得極小值(3) 如果在(a, xo)及(xo, b)內(nèi)f (x)的符號相同.那么函數(shù)f(x)在 xo處沒有極值，定理2"(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在Xo連續(xù).且在Xo的某去心鄰域(Xo-二：Xo)(xoXoF)內(nèi)可導(dǎo)(1) 如果在(xo1.：xo)內(nèi)f (x)o.在(xo.xo 內(nèi)f (x)：o .那么函數(shù)f(x)在xo處取得極大值(2) 如果在(xo,.：xo)內(nèi)f (x)：o.在(xo.xo 內(nèi)f (x)

22、o .那么函數(shù)f(x)在xo處取得極小值(3) 如果在(Xo-；Xo)及(Xo.Xo*)內(nèi)f (x)的符號相同.那么函數(shù)f(x)在 Xo處沒有極值.定理2也可簡單地這樣說：當(dāng)x在xo的鄰近漸增地經(jīng)過 Xo時.如果 廠(x)的符號由負變正.那 么f(x)在Xo處取得極大值如果f(X)的符號由正變負.那么f(x)在Xo處取得極小值如果f(X)的 符號并不改變.那么f(X)在Xo處沒有極值(注：定理的敘述與教材有所不同)，確定極值點和極值的步驟：(1) 求出導(dǎo)數(shù)f(X)(2) 求出f(x)的全部駐點和不可導(dǎo)點(3) 列表判斷(考察f (x)的符號在每個駐點和不可導(dǎo)點的左右鄰近的情況以便確定該點是否2

23、確定對應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值)-(4) 確定出函數(shù)的所有極值點和極值例1求函數(shù)f (x) =(x_4)3 (x 1)2的極值解(1)f(x)在 (呻"巧內(nèi)連續(xù).除x=_1外處處可導(dǎo).且f (x)二5(x -1)33 x 1令f (x)=0 .得駐點x=1 X"1為f(x)的不可導(dǎo)點(3) 列表判斷X(嚴X)(1. 1)1(1嚴)f'(x)+不可導(dǎo)O+f(x)/O-334/極大值為f( 一1) O 極小值為f (1) -334 .定理3 (第二種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點xo處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (xo)=of (xo)=O .那么(1) 當(dāng)f “(xo) ：:

24、0時.函數(shù)f(x)在xo處取得極大值(1) 當(dāng)f “(xo) 0時.函數(shù)f(x)在xo處取得極小值 證明 在情形(1).由于f “(xo)W按二階導(dǎo)數(shù)的定義有f (x)-f (xo)f (xo lim ：O .oX-XO根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性.當(dāng)x在xo的足夠小的去心鄰域內(nèi)時.f (x) -f (xo)乜x -Xo但f (xo)=O .所以上式即f (x) cO .x-xo從而知道.對于這去心鄰域內(nèi)的x來說f (x)與X-Xo符號相反，因此.當(dāng)x_xo：O即x：:xo時.f (x) O - 當(dāng)X% O即X xo時.f (x) ：:O ,根據(jù)定理2 .f(x)在點xo處取得極大值.類似地可以證

25、明情形(2).簡要證明：在情形(1).由于f “(xo) ：O. f (xoO按二階導(dǎo)數(shù)的定義有f(xo)jim 仙 過 “im3：O .XfX XoXf x Xo根據(jù)函數(shù)極限的局部保號性.在Xo的某一去心鄰域內(nèi)有3 <o .x-Xo從而在該鄰域內(nèi).當(dāng)x ：xo時.f (x) O 當(dāng)x xo時.f (x) ：:O .根據(jù)定理2 f(x)在點xo處取得極大值.定理3表明.如果函數(shù)f(x)在駐點xo處的二導(dǎo)數(shù)f “(xo) =O.那么該點xo 一定是極值點.并且 可以按二階導(dǎo)數(shù)f “(Xo)的符來判定f(xo)是極大值還是極小值但如果f ”(xo)=O .定理3就不能應(yīng)用，討論：函數(shù)f (x

26、)=4 .g(x)=x在點x=0是否有極值？32提示:f (x)Mxf (0)=0f (x)=12xf (0) Q 但當(dāng) x.0 時 f (x),0,當(dāng) x 0 時 f (x) 0 .所以 f(0)為極小值，2g (x)馬x . g (0) g (x) £x . g (0) 乂，但 g(0)不是極值.23例2求函數(shù)f(x)=(x -1)1的極值2 2解(1)f (x)£x(x -1).(2) 令 f (x) =0 .求得駐點 X1 - -1 x2 =0 .X3=12 2(3) f (x)=6(x -1)(5x -1).(4) 因f “(0) =6 0.所以f (x)在x=0

27、處取得極小值.極小值為f(0)=0(5) 因(_1)=f “(1)=0 .用定理3無法判別.因為在-1的左右鄰域內(nèi) (x)：O 所以f(x)在-1處 沒有極值同理f(x)在1處也沒有極值.二、最大值最小值問題在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中.常常會遇到這樣一類問題：在一定條件下.怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題.這類問題在數(shù)學(xué)上有時可歸結(jié)為 求某一函數(shù)(通常稱為目標(biāo)函數(shù))的最大值或最小值問題極值與最值的關(guān)系：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a.b上連續(xù).則函數(shù)的最大值和最小值一定存在函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點取得.如果最大值不在區(qū)間的端點取得.則必在開區(qū)間

28、(a.b)內(nèi)取得.在這種情況下.最大值一定是函數(shù)的極大值，因此.函數(shù)在閉區(qū)間a.b上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最大者.同理.函數(shù)在閉區(qū)間a.b上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值中最小者最大值和最小值的求法：設(shè)f(x)在(a b)內(nèi)的駐點和不可導(dǎo)點(它們是可能的極值點)為X1 .X2,.：，.:Xn .則比較f(a) f(x 1).f(xn) .f(b)的大小.其中最大的便是函數(shù)f(x)在a b上的最大值.最小的便是函數(shù)f(x)在a b上的最小值.2例3求函數(shù)f(x)=|x在弋.4上的最大值與最小值，f(x) =k2 -3x +2 ix2 七x

29、 2x -3,1 2, 4x (1,2)( 2x -3x (-3,1) 一(2,4)()l2x+3x壬(1, 2)x=1 和 x=2 .在(-3 .4)內(nèi)f(x)的駐點為x=3 ；不可導(dǎo)點為由于 f(£)=20.f(1)Of(2)=4 -f( 2)=0.f (4)=6.比較可得 f(x)在 xT 處取得它在3.4上的最 大值20 .在x=1和x=2處取它在弋.4上的最小值 0 ,例4 工廠鐵路線上 AB段的距離為100km ,工廠C距A處為20km . AC垂直于AB 為了運 輸需要.要在AB線上選定一點 D向工廠修筑一條公路已知鐵路每公里貨運的運費與公路上每公里貨運的運費之比 3:

30、 5 ,為了使貨物從供應(yīng)站 B運到工廠C的運費最省.問D點應(yīng)選在何處?解 設(shè) AD=x (km).貝 U DB=100.CD = 202 x2 二.400 x2 .設(shè)從B點到C點需要的總運費為 y .那么 y=5kCD 3k DB (k是某個正數(shù)).即y=5k、400 x2 3k(100-x) (0 ix 叨00),現(xiàn)在.問題就歸結(jié)為：x在0 . 100內(nèi)取何值時目標(biāo)函數(shù) y的值最小.先求y對x的導(dǎo)數(shù)y=k(5x、400 x2-3) . CD=.400 x2解方程yQ .得x=15(km).1由于 y|x：aN00k. y|x呂5f80k.y|x創(chuàng)°=500k.1 §2 .

31、其中以 y|xT5=380k 為最小.因此當(dāng)AD =x =15km時.總運費為最省，例2 工廠C與鐵路線的垂直距離 AC為20km, A點到火車站B的距離為100km.欲修一 條從工廠到鐵路的公路 CD.已知鐵路與公路每公里運費之比為 3:5.為了使火車站B與工廠C間 的運費最省，問D點應(yīng)選在何處？解 設(shè)AD (km) B與C間的運費為y .則y=5kCD 3k DB =5- 400 x2 3k(100-x)(0 仝叨00).其中k是某一正數(shù)，由 y W 40x x2 少0 得 x = 5由于 y|x£N00k. y|x#5=380k y|x#00=500k. 1 $ .其中以 y|

32、x5=380k 為最小.因此當(dāng)AD =15km時.總運費為最省，注意：f(x)在一個區(qū)間(有限或無限.開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個駐點X0 并且這個駐點X0是函數(shù)f(x)的極值點那么當(dāng)f(x0)是極大值時.f(X0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值-當(dāng)f(X0)是極小值時f(xo)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值f(x)確有最大值或最小值.而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得 ，這時如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個駐點X0.那么不必討論f(xo)是否是極值.就可以斷定f(x°)是最大值或最小值，例6把一根直徑為d的圓木鋸成截面為矩形的梁，問矩形截面的高h和寬b應(yīng)如何選擇才W=6(d2_3b2).解方

33、程W £得駐點b由于梁的最大抗彎截面模量一定存在而且在(0 . d)內(nèi)部取得現(xiàn)在.函數(shù)W 4b(d2 -b2)在6(0 .d)內(nèi)只有一個駐點所以當(dāng)b1d時.W的值最大“這時h2 =d2_b2 =d2 _d2 =fd2 .33即hp.d:h:b =3 21 .解：把W表示成b的函數(shù)W ibh2 b(db2) (0<b<d).6 6由 W = 1(d2-3b2) =0 得駐點 b=.3d ,6由于梁的最大抗彎截面模量一定存在 .而且在(0 d)內(nèi)部取得現(xiàn)在函數(shù) W在(0 d)內(nèi)只有一個駐點 匕=、3- . 所以當(dāng)b-3d時.抗彎截面模量 W最大.這時 2d .3.5曲線的凹凸

34、與拐點f (為)f(X2)2f(Xl)f(X2)f(xi)f(X2)X1X 2f(Xi)亠f(X2)2f X12X2凹凸性的概念：定義 設(shè)f(X)在區(qū)間I上連續(xù).如果對I上任意兩點X 1 X 2 .恒有f (X1 X2) . f (Xi) f(X2)I 2八2那么稱f(X)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧)如果恒有f (為 X2)f (為)f(X2)I 2丿 2那么稱f(X)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧).定義.設(shè)函數(shù)y二f(x)在區(qū)間I上連續(xù).如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的

35、.凹凸性的判定：定理 設(shè)f(X)在a b上連續(xù).在(a b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù).那么(1) 若在(a .b)內(nèi)f ”(x)>0 .則f(X)在a b上的圖形是凹的(2) 若在(a .b)內(nèi)f ”(x)<0 .則f(X)在a b上的圖形是凸的.簡要證明 只證(1)，設(shè)x1,X2X1.X2：=ab.且xi：X2.記 x=Xi 2X2.由拉格朗日中值公式.得f (X1)-f(X0)=f ( 1)(X1 -Xo)=f ( 1)X1-X2X1： 1 ：Xd.f(X2)_f(X0)= f ( 2)(X2 _X0)= f ( 2)X2 X1.Xo:： 2 ：X2 .X2 X|2兩式相加并應(yīng)用拉

36、格朗日中值公式得f (Xi) f (X2)-2 f (Xo) =f ( 2)-f ( 1)=f ( )(2_ i)號 0.12 .即(X2).f(m_產(chǎn)).所以f(x)在a b上的圖形是凹的拐點：連續(xù)曲線y甘(x)上凹弧與凸弧的分界點稱為這曲線的拐點 確定曲線yf(x)的凹凸區(qū)間和拐點的步驟 ：(1) 確定函數(shù)y=f(x)的定義域求出在二階導(dǎo)數(shù)廠(x)-(3) 求使二階導(dǎo)數(shù)為零的點和使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點判斷或列表判斷.確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點注：根據(jù)具體情況(1)( 3)步有時省略.例1 .判斷曲線y=ln x的凹凸性.解：y.yxx2因為在函數(shù)yWn x的定義域(0 .=)內(nèi).y <0

37、 .所以曲線yWn x是凸的 例2.判斷曲線y=x3的凹凸性.2解：y =3x .y:=6x .由 y =0 .得 x=0 .因為當(dāng)x<0時y <0 .所以曲線在(；.0內(nèi)為凸的因為當(dāng)x>0時y >0 .所以曲線在0.；)內(nèi)為凹的.32例3 .求曲線y=2x 3x -2x 14的拐點2解：y±x 6x-12 .y F2x 6=12(x令 yT.得 x 2,因為當(dāng)X ： 時.y ：0 當(dāng)X 時y 0 .所以點(. 20*)是曲線的拐點43例4 求曲線y=3x -4x 1的拐點及凹、凸的區(qū)間，解：函數(shù)y=3x 4Yx3+1的定義域為(乎范)；解方程廠=0得為=o沁2'3(4) 列表判斷：3. 0)0(0 . 2/3)2/3(2/3 F)f “(x)+00+f(x)31c11/27在區(qū)間(-：.0和2/3 .：)上曲線是凹的.在區(qū)間0.2/3上曲線是凸的.點(01)和(2/3.11/27) 是曲線的拐點.例5 問曲線y* 4是否有拐點？解 y Yx 3 y T2x 2.當(dāng)x -0時y、0 .在區(qū)間(-：.：)內(nèi)曲