(完整版)高中數(shù)學(xué)圓的方程(含圓系)典型題型歸納總結(jié)

1、高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系,不難得出二在以=為直徑的圓上。而丄 剛1類型一：巧用圓系求圓的過(guò)程在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系所具有的共同形式的 方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：以宀為圓心的同心圓系方程:1- _ -過(guò)直線T 與圓!1的交點(diǎn)的圓系方程x2矽+ + 兄（出 +旳+U）三 0過(guò)兩圓一、_1一 J 八 和圓-I的交點(diǎn)的圓系方程IL I +此圓系方程中不包含圓 ：，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗(yàn)圓【是否滿足題意, 謹(jǐn)防漏解。當(dāng)=時(shí)，得到兩圓公共弦所在直線方程（q（耳-芯砂+（耳用）=0例1:已知圓一:與直線丁1相交于L兩

2、點(diǎn)，匚為 坐標(biāo)原點(diǎn)，若1-，求實(shí)數(shù)叫的值。好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。解：過(guò)直線 I與圓/!1-的交點(diǎn)的圓系方程為:b 亠工一6戸+空+ 乂 （戈+2丁 一3） = 0即又 n 滿足方程，則叱一口二：|故亡=：例2:求過(guò)兩圓h ? _和）II_ 1：的交點(diǎn)且面積最小的圓的方 程。解：圓一 一和I 一的公共弦方程為 疋+b - 2弘0-1尸 +0 1尸-16二0即2z+2-ll=0依題意,匚在以-為直徑的圓上，則圓心（顯然在直線?+/ - 25+l(2x+2y-11) = 0分析：此題最易想到設(shè)出，由一-得到-，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)

3、關(guān)系得出關(guān)于的方程，最后驗(yàn)證得解高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系,不難得出二在以=為直徑的圓上。而丄 剛2過(guò)直線L與圓 的交點(diǎn)的圓系方程為3依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心 i必在公共弦所在直線-； -上。即- 二+二八，則例3:求證：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m1)x+(2m1)y=m5恒過(guò)一定點(diǎn)P，并 求P點(diǎn)坐標(biāo)。分析：不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因此，這個(gè)定點(diǎn)就一定是直線系中任意 兩直線的交點(diǎn)。解：由原方程得m(x+2y1)(x+y5)=0，2y 1 0解得xy 5 0y直線過(guò)定點(diǎn)P(9，4)注：方程可看作經(jīng)過(guò)兩直

4、線交點(diǎn)的直線系。例4已知圓C: (x1)2+(y2)2=25,直線I: (2m+1)x+(m+1)y7m4=0(mR).(1) 證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線I與圓恒交于兩點(diǎn)；(2) 求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程.剖析：直線過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得(1)證明：I 的方程(x+y 4) +m (2x+y 7) =0.“2x+y 7=0，fx=3， m R，得彳x+y 4=0，&1，即 I 恒過(guò)定點(diǎn) A (3，1).圓心 C （ 1，2），| AC | =J5 v5 （半徑），點(diǎn) A 在圓 C 內(nèi)，從而直線 I 恒與圓 C 相交于兩點(diǎn).1(2)解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，I 丄 AC

5、，由 kAC=一 ，2I 的方程為 2x y 5=0.評(píng)述：若定點(diǎn) A 在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢?思考討論H-代回圓系方程得所求圓方程4類型二：直線與圓的位置關(guān)系例 5、若直線y x m與曲線y . 4 X2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：曲線y 4 x2表示半圓x2y24(y 0)，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)m的取值范圍是2 m 2或m 2、2.變式練習(xí)：1.若直線 y=x+k 與曲線 x1 y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則 k 的取值范圍是 _.解析：利用數(shù)形結(jié)合.答案：1vkw1 或 k=22 2例 6 圓(x 3) (y 3)9上到直線3x 4y 11 0的距離為 1

6、的點(diǎn)有幾個(gè)？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線11、|2的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答.解法一：圓(x 3)2(y 3)29的圓心為。1(3,3)，半徑r 3.3 3 4 3 11設(shè)圓心。1到直線3x 4y 110的距離為d，則d- 23.J3242如圖，在圓心。1同側(cè)，與直線3x 4y 110平行且距離為 1 的直線I1與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意.又rd 3 2 1.與直線3x 4y 110平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意.符合題意的點(diǎn)共有 3 個(gè).解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x 4y 11 0,且與之距離為 1 的直線和圓的交點(diǎn). 設(shè)5所求直線為Imii|3x4y

7、 m 0,則d_!i,I2m ii5, 即m6,或mi6, 也即h：3x4y6 0，或l2：3x 4y i60.設(shè)圓Oi:(x3)2(y 3)29的圓心到直線li、J 的距離為di、d2，則的最大、最小值.分析：(i)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決.解：(i)(法 i)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x 3)2(y 4)2x 3 cos ,可設(shè)圓的參數(shù)方程為(是參數(shù)).y 4 sin ,di32423,d23 3 4 3 163242二li與Oi相切，與圓 O 有一個(gè)公共點(diǎn)；12與圓Oi相交，與圓Oi有兩個(gè)公共點(diǎn).即符合題意的點(diǎn)共 3 個(gè).說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易

8、發(fā)生以下誤解：3 3 4 3 ii設(shè)圓心Oi到直線3x 4y ii 0的距離為d，則d -=- 2 3.V3242圓Oi到3x 4y ii 0距離為 i 的點(diǎn)有兩個(gè).顯然，上述誤解中的d是圓心到直線3x 4y ii 0的距離，d r，只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為i.類型三：圓中的最值問(wèn)題例 7:圓x2y24x 4y i0 0上的點(diǎn)到直線x y i4 0的最大距離與最小距離的差是 解：圓(x 2)2(y 2)2i8的圓心為 (2 , 2)，半徑r 3應(yīng)，圓心到直線 的距離di05、一2 r，直線與圓相離，圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是V2(d r)

9、 (d r) 2r 6 22 2 2 2例 8 (i)已知圓O：x 3) (y 4) i,P(x , y)為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，求d x y的最大、最 小值.(2)已知圓O2：(x 2)2y2i,P(x , y)為圓上任一點(diǎn).求 丄二 的最大、最小值，求x 2yx i則d2xy296 cos2cosi68 si n 2sin266 cos8si n26i0 cos()(其中tan4-)3所以dmax26 i036,dmin26 i0i6.(法 2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值di等于圓心到原點(diǎn)的距離di加上半徑 1,圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值d2等于圓心到原點(diǎn)的距離di減去半徑 i.所以di. 3242i

10、 6.d2. 3242i 4.所以dmax36.dmini6.22x 2 cos ,(2)(法 i)由(x 2) y i得圓的參數(shù)方程：是參數(shù).y sin ,則口列2.令型2t,x i cos 3 cos 3得sin tcos 2 3t,i t2sin()2 3t所以tmaxsin(tmin即上上的最大值為亠空，最小值為x i446此時(shí)x 2y 2 cos2sin2 5cos( ).所以x 2y的最大值為25，最小值為2 .5.(法 2)設(shè)匚2k，則kx y k 20.由于P(x, y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如x 1圖所示，只須m不小于(1 cossin )的最大值.設(shè)u (sin cos ) 1. 2 sin( ) 14Umax21即m 21.說(shuō)明：在這種解法中，運(yùn)用了圓上的點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法一般地，把圓(x a)2(y b)2設(shè)為(a r cos , b rsin )(0,2 ).采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另-以靈活地運(yùn)用三角公式從代數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換.兩條切線的斜率分別是最大、最小值.所以匚2的最大值為衛(wèi)，最小值為33.x 144令x 2y t,同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值.,2 m廠由d_一1，得m 2帖.5所以x 2y的最大值為2,5，最小值為25