(完整word版)復(fù)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納(2),推薦文檔

1、1復(fù) 數(shù)【知識(shí)梳理】一、復(fù)數(shù)的基本概念1 虛數(shù)單位的性質(zhì)i叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：i可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算；i21；這樣方程x21就有解了,解為x i或x i2、復(fù)數(shù)的概念(1)_ 定義： 形如a bi(a, b R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，a 叫做_, b 叫做_全體復(fù)數(shù)所成的集合C叫做復(fù)數(shù)集。復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z a bi(a, b R)對(duì)于復(fù)數(shù)的定義要注意以下幾點(diǎn)：1z a bi(a, b R)被稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中bi表示b與虛數(shù)單位i相乘2復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，否則不是代數(shù)形式(2) 分類：滿足條件(a, b 為實(shí)數(shù))復(fù)數(shù)的分類a + bi 為實(shí)數(shù)？b= 0a +

2、 bi 為虛數(shù)？0a+ bi 為純虛數(shù)？a = 0 且 b豐0例題：當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)(m 5m 6) (m23m)i是實(shí)數(shù)？虛數(shù)？純虛數(shù)?、復(fù)數(shù)相等a bi c di a c,b d(a,b,c,d R)也就是說(shuō)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，充要條件是他們的實(shí)部和虛部分別相等注意：只有兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，才可以比較大小，否則無(wú)法比較大小例題：已知(x y 3) (x 4)i0求x, y的值三、共軛復(fù)數(shù)2都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。a bi與c di共軛a c,b d(a,b,c, dza bi的共軛復(fù)數(shù)記作z a bi，且z zR)2 2a bx軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。顯然，實(shí)軸上

3、的點(diǎn)32、復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z a bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)及平面向量OZ (a,b)(a,b R)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系(復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，有序?qū)崝?shù)對(duì)既可以表示一個(gè)點(diǎn)，也可以表示一個(gè)平面向量)相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù) 例題：(1)當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z (m28m 15) (m25m 14)i的點(diǎn)位于第三象限；位于直線y x上(2)復(fù)平面內(nèi)AB (2,6)，已知CD/ AB，求CD對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)3、復(fù)數(shù)的模：向量0Z的模叫做復(fù)數(shù)z a bi的模，記作z或a bi，表示點(diǎn)(a,b)到原點(diǎn)的距離，即za biva2b2，z z若 wa bi , Z2c di，則乙z?表示(a,b)

4、到(c, d)的距離，即乙zJ(a c)2(b d)2例題：已知z 2 i，求z 1 i的值五、復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1) 運(yùn)算法則：設(shè) Z1= a+ bi, Z2= c+ di, a, b, c, d R1z-iz2abi cdi (a c) (b d)i2召z2(abi)(c di) (ac bd) (bc3互(a bi)z2(c di) (c di) (c di)(2) 幾何意義：復(fù)數(shù)加減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進(jìn)行的平行四邊形 OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，即OZ2, Zz= OZ2 OZ1.六、常用結(jié)論1,(! )3(a bi)(c di) (ac bd) (be

5、 ad)ic2d2(1)i, i21,i3i,i41求in，只需將n除以 4 看余數(shù)是幾就是i的幾次例題: 675i(2)(1i)22i2(1 i) 2i(3)如圖給出OZ=OZ1+42 25【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“V”或“X”)(1)方程 x2+ X+ 1 = 0 沒(méi)有解.()復(fù)數(shù) z= a + bi(a, b R)中，虛部為 bi.()(3) 復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念，因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4) 原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的?！究键c(diǎn)自測(cè)】.( )1.(2015 安徽)設(shè) i 是虛數(shù)單

6、位,則復(fù)數(shù)(1 i)(1 + 2i)等于(A.3 + 3iB. 1+ 3iC.3 + iD. 1 + i2.(2015 課標(biāo)全國(guó)I)已知復(fù)數(shù)z 滿足(z 1)i = 1 + i，貝 U z 等于(A. 2 iB. 2+ iC.2 iD.2 + i3.在復(fù)平面內(nèi), 復(fù)數(shù)6 + 5i, 2+ 3i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為 A, B.若 C 為線段 AB 的中點(diǎn)，則點(diǎn)C 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是(A.4 +8iB.8+ 2iC.2 + 4iD.4 + i4.已知 a,bR, i 是虛數(shù)單位 若 a+ i = 2 bi，則(a + bi)2等于(A.3 4iB.3 + 4i C.4 3iD.4 + 3i5.已知(1 +

7、2i) z = 4+ 3i，貝 U z=【題型分題型一復(fù)數(shù)的概念10例 1(1)設(shè) i 是虛數(shù)單位.若復(fù)數(shù) z= a(a R)是純虛數(shù)，則3 ia 的值為(A. 3B. 1C.1D.3(2)已知 a R，復(fù)數(shù) Z1= 2+ ai,z1Z2=12i，若 z2為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)即勺虛部為A.1B.i2C.2D.0(3)若 Z1= (m2+ m + 1) + (m2+ m 4)i(m R), Z2= 3 2i,則“ m= 1 ”是“ Z1= Z2”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件引申探究1.對(duì)本例(1)中的復(fù)數(shù)乙若|z|= ,10,求 a 的值.2.在本例

8、中，若z1為實(shí)數(shù)，則 a=.6思維升華解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)（1）復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程（不等式）組即可解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a + bi（a, b R）的形式，以確定實(shí)部和虛部 .踉:出滾 1（1）若復(fù)數(shù) z= （x2 1） + （x 1）i 為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) x 的值為（）A. 1B.0C.1D. 1 或 1（2）（2014 浙江）已知 i 是虛數(shù)單位，a, b R，則“ a= b= 1 ”是“（a+ bi）2= 2i” 的（A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也

9、不必要條件題型二復(fù)數(shù)的運(yùn)算 命題點(diǎn) 1 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例 2 （1）（2015 湖北）i 為虛數(shù)單位，i607的共軛復(fù)數(shù)為（）A.iB. iC.1D. 1(2)(2015 北京)復(fù)數(shù) i(2 i)等于( )A.1 + 2iB.1 2i C. 1 + 2i D. 1 2i命題點(diǎn) 2 復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算命題點(diǎn) 3 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合問(wèn)題例 4（1）（2015 天津）i 是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1 2i）（ a+ i）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的值為（2014 江蘇）已知復(fù)數(shù) z= （5 + 2i）2（i 為虛數(shù)單位），則 z 的實(shí)部為 _.命題點(diǎn) 4 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算z例 5（1）（2014 安徽）設(shè)

10、i 是虛數(shù)單位，z 表示復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù) 若 z= 1 + i,則 j + iA. 2B. 2i C.2D.2i若復(fù)數(shù) z 滿足（3 4i）z= |4+ 3i|,則 z 的虛部為（）44A. 4 B. 5C.4D.5思維升華復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1) 復(fù)數(shù)的乘法復(fù)數(shù)的乘法類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位 i 的看作一類同類項(xiàng)，不含i 的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可（1）（2015 湖南）已知1-i2= 1 + i(i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 等于（A.1 + iB.1 iC. 1 + iD. 1 i(2)忙)6+迄+腑_3 .2 廠只需把復(fù)數(shù)化z 等于（）7(

11、2) 復(fù)數(shù)的除法除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，解題中要注意把 i 的幕寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式.(3) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題， 先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為 a + bi(a ,b R)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答(4) 復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，一般化為 a + bi(a, b R)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.(5) 復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算分別運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則進(jìn)行運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，要先算乘除，后算加減，有括號(hào)要先算括號(hào)里面的z嘏吏I迦(1)(2015 山東)若復(fù)數(shù) z 滿足 =i，其中 i 為虛數(shù)單位，則 z 等于()1 iA.1 iB

12、.1 + iC. 1 iD. 1+ i1 i - .-2護(hù)護(hù)+i+亞亞2 016(3)-1 + 2 3i 十 1 i .題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例 6 (1)(2014 重慶)實(shí)部為2，虛部為 1 的復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的()A.第一象限B.第二象限C第三象限D(zhuǎn).第四象限 ABC 的三個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為Z1, Z2, Z3,若復(fù)數(shù) z 滿足|z Z1| |z Z2| |z Z3|,貝 y z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 ABC 的()A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.外心思維升華因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-對(duì)應(yīng)的，要求某個(gè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)時(shí),只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量相等直接給出結(jié)論即

13、可踉寒測(cè)帝(1)如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A 表示復(fù)數(shù)乙則圖中表示 z 的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.AB.BC.C D.Dy觸科C已知 z 是復(fù)數(shù)，z+ 2i、J 均為實(shí)數(shù)(i 為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z+ ai)2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一2 i象限，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍.8【思想與方法】解決復(fù)數(shù)問(wèn)題的實(shí)數(shù)化思想典例 已知 x, y 為共軛復(fù)數(shù)，且(x+ y)2 3xyi = 4- 6i，求 x, y.思維點(diǎn)撥(1)x, y 為共軛復(fù)數(shù)，可用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)；(2)利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題溫馨提醒(1)復(fù)數(shù)問(wèn)題要把握一點(diǎn)，即復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化，這是解決復(fù)數(shù)問(wèn)題最基本的思想方法(2) 本題

14、求解的關(guān)鍵是先把 x、y 用復(fù)數(shù)的基本形式表示出來(lái)，再用待定系數(shù)法求解這是常用的數(shù)學(xué)方法(3) 本題易錯(cuò)原因?yàn)橄氩坏嚼么ㄏ禂?shù)法，或不能將復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)方程求解【方法與技巧】1復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運(yùn)算主要有加、減、乘、除及求低次方根除法實(shí)際上是分母實(shí)數(shù)化的過(guò)程2復(fù)數(shù) z= a+ bi(a, b R)是由它的實(shí)部和虛部唯一確定的，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn) 化為實(shí)數(shù)問(wèn)題的主要方法對(duì)于一個(gè)復(fù)數(shù) z= a+ bi(a, b R),既要從整體的角度去認(rèn)識(shí)它，把復(fù)數(shù) 看成一個(gè)整體，又要從實(shí)部、虛部的角度分解成兩部分去認(rèn)識(shí)3.在復(fù)數(shù)的幾何意義中，加法和減法對(duì)應(yīng)向量的三角形法則，其方向是應(yīng)注意的問(wèn)

15、題，平移往往和 加法、減法相結(jié)合【失誤與防范】1判定復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，僅注重虛部等于0 是不夠的，還需考慮它的實(shí)部是否有意義2兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小3注意復(fù)數(shù)的虛部是指在a + bi(a, b R)中的實(shí)數(shù) b,即虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)【鞏固練習(xí)】1.(2015 福建)若(1 + i) + (2 3i) = a+ bi(a, b R, i 是虛數(shù)單位)，貝 U a, b 的值分別等于()A.3 , 2B.3,2C3, 3D一 1,412設(shè) z= 1+7 + i，則 |z|等于()3.(2015 課標(biāo)全國(guó) n )若 a 為實(shí)數(shù)，且(2 + ai)(a 2i) = 4i，貝 U a 等于(D.29A. 1B.0C

16、.1D.24若 i 為虛數(shù)單位,圖中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，則表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)是(A.E B.FC.GD.H105.(2014 江西)z 是 z 的共軛復(fù)數(shù)，若 z+ z = 2, (z z )i = 2(i 為虛數(shù)單位)，則 z 等于()A.1 + iB. 1 i C. 1 + i D.1 i6._(2015江蘇)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2=3 + 4i(i 是虛數(shù)單位)，則 z 的模為_(kāi)7若3r = a + bi(a, b 為實(shí)數(shù)，i 為虛數(shù)單位)，則 a+ b=_ .1 i8復(fù)數(shù)(3 + i)m (2 + i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限內(nèi)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 _3210.復(fù)數(shù) 乙= :+ (10 a2)

17、i, z2= + (2a 5)i，若 z1+z是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù) a 的值.a + 51 a【能力提升】13. 已知復(fù)數(shù) z= x+ yi，且|z 2|=苗，則y的最大值為 _ .Xa 1 一 i14.設(shè) a R,若復(fù)數(shù) z= + 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)9計(jì)算:1+2+11+ 2i2+ 3 1 i11.復(fù)數(shù) Z1,值范圍是(z2滿足 Z1= m+ (4 m2)i, Z2= 2cos0+( + 3sin 圳(m,入R)，并且 Z1= Z2,貝 U 入的取A. 1,199B.196，1C.196,712設(shè) f(n) =1+ i1 in+ 1：n(n N*)，則集合f(n)中元素的個(gè)數(shù)為(A.1B.2C.3D.無(wú)

18、數(shù)個(gè)E1 + i 1 i11應(yīng)的點(diǎn)在直線x+ y= 0 上，則 a 的值為_(kāi)1 i 215._ 若 1 + 2i 是關(guān)于x 的實(shí)系數(shù)方程 x2+ bx+ c= 0 的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則 b =_ , c=_.12【鞏固練習(xí)參考答案】1A.2.B.3.B.4.D.5.D.6. 5.7.3.28.m39.解1+i 2+ii33 + i.=1 3i.i1 + 2i2+ 3 1 i 3+ 4i + 3 3i = _i(2)。丄 i=。丄 i= 2 + i 52 i 12=5+5i.1 i 1+ i 1 i 1+ i 1 + i 1 + i ,(3)7+P+TP=百+=2+=1.1 V3i麗+ i i = i = i翻-i =1 _並y3+ i2W + i444i.,3 + i210.解71+ Z2= 土 + (a2 10)i +7-+ (2a 5)i =皐+ 三 + (a2 10) +