2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)人教A版必修5學(xué)案：1.2 第1課時(shí)　距離問(wèn)題 Word版含解析

1、12應(yīng)用舉例第1課時(shí)距離問(wèn)題目標(biāo) 1.能夠運(yùn)用正、余弦定理的知識(shí)和方法求解距離問(wèn)題；2.從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型(即畫(huà)出三角形)重點(diǎn) 在三角形中運(yùn)用正、余弦定理求解距離問(wèn)題難點(diǎn) 實(shí)際問(wèn)題的理解與建模知識(shí)點(diǎn)一距離問(wèn)題 填一填1測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)a到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)b之間的距離問(wèn)題如圖所示這實(shí)際上就是已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問(wèn)題，用正弦定理就可解決2測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)a，b之間的距離問(wèn)題如圖所示首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)a，b之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，然后把未知的bc和ac的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為測(cè)量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間距離的問(wèn)題答一答1如果知道一個(gè)三角形的三個(gè)

2、角，是否可以解出這個(gè)三角形？提示：不可以要解一個(gè)三角形，至少知道這個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)2解與三角形有關(guān)的應(yīng)用題的基本思路是什么？提示：知識(shí)點(diǎn)二基線 填一填在測(cè)量上，我們根據(jù)測(cè)量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線在測(cè)量過(guò)程中，要根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高答一答3測(cè)量是否一定要選取基線？提示：測(cè)量一定要選取基線，因?yàn)闊o(wú)論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時(shí)，至少應(yīng)已知一邊的長(zhǎng)度4如圖，在河岸ac測(cè)量河的寬度bc，測(cè)量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是(d)aa，c，bb，c，cc，a， db，類型一測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)，到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離例1為了

3、測(cè)量水田兩側(cè)a，b兩點(diǎn)間的距離(如圖所示)，某觀測(cè)者在a的同側(cè)選定一點(diǎn)c，測(cè)得ac8 m，bac30°，bca45°，求a，b兩點(diǎn)間的距離解根據(jù)正弦定理得，ab8(1) (m)即a，b間的距離為8(1) m.變式訓(xùn)練1如圖，為了測(cè)量河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)a，b望對(duì)岸的標(biāo)記物c，測(cè)得cab45°，cba75°，ab120米，求河的寬度解：在abc中，cab45°，cba75°，acb60°.由正弦定理可得ac.ac20(3)設(shè)c到ab的距離為cd，則cdacsincabac20(3)河的寬度為20(3)米類型二測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可

4、到達(dá)的點(diǎn)之間的距離例2在一次反恐作戰(zhàn)戰(zhàn)前準(zhǔn)備中，為了弄清基地組織兩個(gè)訓(xùn)練營(yíng)地a和b之間的距離，盟軍在兩個(gè)相距為a的觀測(cè)點(diǎn)c和d處，測(cè)得adb30°，bdc30°，dca60°，acb45°，如圖所示求基地組織的這兩個(gè)訓(xùn)練營(yíng)地之間的距離分析可將ab放在abc中來(lái)求，為此應(yīng)先求出ac和bc，再用余弦定理求ab.解adcadbcdb60°，又dca60°，dac60°.adcdaca.在bcd中，dbc45°，bca.在abc中，由余弦定理得ab2ac2bc22ac·bc·cos45°a2a

5、22×a×a×a2.aba.即兩個(gè)訓(xùn)練營(yíng)地之間的距離為a.測(cè)量?jī)蓚€(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問(wèn)題，一般是把求距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，首先是明確題意根據(jù)條件和圖形特點(diǎn)尋找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解，另外基線的選取要恰當(dāng).變式訓(xùn)練2如圖，隔河看兩目標(biāo)a，b，但不能到達(dá)，在岸邊選取相距 km的c，d兩點(diǎn)，并測(cè)得acb75°，bcd45°，adc30°，adb45°(a，b，c，d在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)a，b之間的距離解：在acd中，adc30°，acd120°，cad30°.

6、accd km.在bdc中，cbd180°(45°30°45°)60°.在bcd中，由正弦定理，得bc(km)則在abc中，由余弦定理，得ab2ac2bc22ac·bc·cosbca()2()22×cos75°5.ab km.兩目標(biāo)a，b之間的距離為 km.類型三與方向角有關(guān)的距離問(wèn)題例3某測(cè)量員做地面測(cè)量，如圖，目標(biāo)a與b相距3千米，從b處測(cè)得目標(biāo)c在b的北偏西60°的方向上，從a處測(cè)得目標(biāo)c在a的正北方向，他從a向c前進(jìn)2千米到達(dá)d處時(shí)，發(fā)現(xiàn)b，d兩處也相距2千米，試求a與c的距離分析先在a

7、bd中由余弦定理求cosa，再用內(nèi)角和定理和兩角和正弦公式求sinabc，最后在abc中用正弦定理求ac.解依題意得，ab3，ad2，bd2，acb60°.在abd中，由余弦定理得cosa.sina，sin(ac)sin(a60°)sinacos60°cosasin60°××.sinabcsin(ac)sin(ac).在abc中，由正弦定理得：，ac.答：a與c之間的距離為千米1.解答實(shí)際問(wèn)題要注意認(rèn)真審題，弄清題目條件.2.解三角形求邊長(zhǎng)時(shí)，只需求角的正弦值或余弦值即可，而無(wú)需求角的大小.因此，要注意將三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式及兩

8、角和(或差)的正弦、余弦公式結(jié)合起來(lái)求值.變式訓(xùn)練3如圖，a，b是海面上位于東西方向相距5(3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于a點(diǎn)北偏東45°，b點(diǎn)北偏西60°的d點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于b點(diǎn)南偏西60°且與b點(diǎn)相距20海里的c點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里每小時(shí)，該救援船到達(dá)d點(diǎn)至少需要1小時(shí)解析：由題意知ab5(3)，dba90°60°30°，dab45°，所以adb105°，所以sin105°sin45°cos60°sin60°cos45°

9、15;×.在abd中，由正弦定理得所以bd10.又dbc180°60°60°60°，bc20，在dbc中，由余弦定理得cd2bd2bc22×bd×bccos60°3001 2002×10×20×900，所以cd30(海里)，則至少需要的時(shí)間t1(小時(shí))1海上有a、b兩個(gè)小島相距10海里，從a島望c島和b島成60°的視角，從b島望c島和a島成75°視角，則b、c間的距離是(d)a10海里 b.海里c5海里 d5海里解析：如圖，c180°60°75&

10、#176;45°，ab10，由正弦定理得，bc5(海里)，故選d.2某人向正東方向走了x km后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了3 km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好為 km，那么x的值為(c)a. b2c2或 d3解析：由余弦定理可知x2326xcos30°()2即x23x60，解得x或2，經(jīng)檢驗(yàn)x及2都符合題意3a，b兩點(diǎn)間有一小山，先選定能直接到達(dá)點(diǎn)a，b的點(diǎn)c，并測(cè)得ac60 m，bc160 m，acb60°，則a，b兩點(diǎn)間的距離為140_m.解析：在abc中，由余弦定理得ab140(m)4某船上的人開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30°方向，后來(lái)船沿南偏東60°方向航行45海里后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的距離是15海里5如圖所示，若小河兩岸平行，為知道河對(duì)岸邊兩棵樹(shù)c，d(cd與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點(diǎn)a，b(ab與河岸平行)，測(cè)得數(shù)據(jù)：ab6 m，abd60°，dbc90°，dab75°.試求c，d間的距離解：abcabddbc60°90°150°，所以c180°150°30°，adb180°75°60