2020年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練習(xí)：專題三第2講空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

1、第 2 講 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系匚做高考真題明命題趨向做真題1. （2019 高考全國卷n）設(shè)a,B為兩個平面，則allB的充要條件是（）A .a內(nèi)有無數(shù)條直線與3平行B .a內(nèi)有兩條相交直線與3平行C.a, 3平行于同一條直線D .a, 3垂直于同一平面解析：選 B.對于 A,a內(nèi)有無數(shù)條直線與3平行，當(dāng)這無數(shù)條直線互相平行時，a與3可能相交，所以 A 不正確；對于 B ,根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B 正確；對于 C,平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以 C 不正確；對于 D,垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，但它們

2、是相交的，所以 D 不正確.綜上可知選B.2 . （2019 高考全國卷 川）如圖，點(diǎn) N 為正方形 ABCD 的中心， ECD 為正三角形，平面ECD 丄平面 ABCD , M 是線段 ED 的中點(diǎn)，貝 U （）A. BM = EN, 且直線BM , EN 是相交直線B. BM 工 EN,且直線BM, EN 是相交直線C. BM = EN, 且直線BM, EN 是異面直線D. BM 工 EN,且直線BM , EN 是異面直線解析：選 B.取 CD 的中點(diǎn) O,連接 ON, EO,因?yàn)?ECD 為正三角形，所以 E0 丄 CD,又平面 ECD 丄平面 ABCD ,平面 ECDn平面 ABCD

3、= CD ,所以 E0 丄平面 ABCD 設(shè)正方形 ABCD 的邊長為 2,貝 U E0 = 3, ON = 1,所以 EN2= E02+ 0N2= 4,得 EN = 2過 M 作 CD 的垂線， 垂足為 P,連接 BP,則 MP =23, CP= 所以 BM2= MP2+ BP2= （23）2+（2）2+ 22= 7 得 BM=.7,所以 BM豐EN.連接 BD , BE,因?yàn)樗倪呅?ABCD 為正方形，所以 N 為 BD 的中點(diǎn)，即EN, MB 均在平面 BDE 內(nèi)，所以直線 BM, EN 是相交直線，選 B.3. （2018 高考全國卷n）在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB =

4、 BC= 1 , AAj= .3，則異面直線 ADi與 DBi所成角的余弦值為（）如圖，連接 BDi,交 DBi于 0,取 AB 的中點(diǎn) M ,連接 DM , OM ,易知 0 為 BDi的中點(diǎn)，所以 ADi/0M，則/MOD 為異面直線 ADi與 DBi所成角.因?yàn)樵陂L方體 ABCD-AiBiCiDi中,AB= BC = i, AAi= , 3, ADi= - AD? + DDi= 2, DM =DBi=AB1 2+ AD2+ DD?= ,5,所以 OM = *ADi= i, OD = DBi25,于是在 DMO 中,12+由余弦定理，得 cos/MOD = 廠2 x ixyC.解析：選 C

5、.B .中M B2+處處=h，為護(hù)故選 C.54. （20i9 高考全國卷I）如圖，直四棱柱 ABCD AiBiCiDi的底面是菱形，AAi= 4, AB =2,/ BAD = 60, E, M , N 分別是 BC, BBi, AiD 的中點(diǎn).（i）證明：MN /平面 CiDE ;求二面角 A-MAi- N 的正弦值.解：證明：連接 BiC, ME.因?yàn)?M, E 分別為 BBi, BC 的中點(diǎn)，所以 ME / BiC,且 ME中，即異面直線ADi與DBi所成角的余弦值ti線 ADi與 DBi所成角的余弦值為（）于是 cos m,m nV15|m|n|=2X,55=lBiC.1 又因?yàn)?N

6、為 AiD 的中點(diǎn)，所以 ND = qAiD.由題設(shè)知 AiBi綊 DC,可得 BiC 綊 AiD,故 ME 綊 ND ,因此四邊形 MNDE 為平行四邊形，MN /ED.又 MN?平面 EDCi,所以 MN /平面 CiDE.(2)由已知可得 DE 丄 DA.以 D 為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA 的方向?yàn)?x 軸正方向直角坐標(biāo)系 D-xyz,則,建立如圖所示的空間A(2, 0, 0), Ai(2, 0, 4), M(i , .3, 2), N(i , 0, 2), AiA= (0, A?M = (i, .3, 2), A= ( i, 0, 2), MN = (0, 3, 0). 設(shè) m = (x, y,

7、z)為平面 AiMA 的法向量，貝 Um AdM=0,m AiA= 0.x + V3y 2x= 0,所以4z= 0.可取 m= ( 3, i, 0).0, 4),設(shè) n = (p, q, r)為平面 AiMN 的法向量，則n AiN = 0.3q= 0,所以可取 n= (2, 0, i).p 2r = 0.MIN = 0,所以二面角 A-MA 仁 N 的正弦值為一105山東省學(xué)習(xí)指導(dǎo)意見仁點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系借助長方體模型，在直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理（四個公理、一個定理）2 空間位置的判定與說明以立體

8、幾何的上述定義，公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定（四個判定定理、四個性質(zhì)定理）能運(yùn)用定理證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.研考點(diǎn)考向破重點(diǎn)睢點(diǎn)空間線面位置關(guān)系的判定考法全練1 （多選）下列命題正確的是（）A .梯形一定是平面圖形B .若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行C.兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面D .若兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合解析：選 AC.對于 A ,由于兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可以確定一個平面，故A 正確；對于 B,兩條直線和第三條直線所成的角相等 ，則這兩條直線平行或異面

9、或相交 ，故 B 錯誤；對于 C,兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面 ，故 C 正確；對于 D,若兩個平 面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面相交或重合，故 D 錯誤.2. （2019 江西七校第一次聯(lián)考）設(shè) m, n 是空間中兩條不同的直線，a, B是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（）A .若 m / n,n?a,貝Vm /aB .若 m?a,n?3,allB,貝Um /nC. 若al3 ,m 丄a ,貝Um 丄3D. 若 m?a,n?3,ml 3,n/a ,貝Uall3解析：選 C.若 m/ n , n?a,則 ml a或 m?a,所以選項(xiàng) A 不正確；若 m?a, n?3, a/3,貝

10、U m / n 或 m 與 n 異面，所以選項(xiàng) B 不正確；由面面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)及判 定知選項(xiàng) C 是正確的；若 m?a,n?3,m/3,n/a,貝U a/ 3或a與3相交，所以選項(xiàng) D 不A. 0B. i正確.故選 C.3.（2019 武漢市調(diào)研測試）已知兩個平面相互垂直，下列命題中，1一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線；2一個平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線；3一個平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個平面；4過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面.其中正確的命題是（）A .B .C.D .解析：選 C.構(gòu)造正方體 ABCD-AI

11、BICIDI,如圖，在正方體 ABCD-AIBICIDI中，平面ADDiAi丄平面 ABCD , AID?平面 ADD1A1, BD?平面 ABCD，但 AID 與 BD 不垂直，故錯;2，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，平面 ADDiAi丄平面意一條直線，I 與平面 ABCD 內(nèi)同 AB 平行的所有直線垂直，故正確;3，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，平面 ADDiAi丄平面AID 與平面 ABCD 不垂直，故錯；4，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，平面 ADDiAi丄平面 ABCD，且平面 ADDiAi門平面 ABCD=AD,過交線AD上的點(diǎn)作交線的垂線 I,則 I

12、 可能與另一平面垂直，也可能與另一平面不垂 直，故錯故選 C.4.（20i9 福建省質(zhì)量檢查）如圖，AB 是圓錐 SO 的底面圓 0 的直徑， D是圓 0 上異于 A, B 的任意一點(diǎn)，以 A0 為直徑的圓與 AD 的另一個交 點(diǎn)為 C, P為 SD 的中點(diǎn).現(xiàn)給出以下結(jié)論：1厶 SAC 為直角三角形；2平面 SAD 丄平面 SBD；3平面 PAB 必與圓錐 SO 的某條母線平行.ABCD , l 是平面 ADDiAi內(nèi)的任ABCD, AID?平面 ADDiAi,但C. 2D. 3其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）解析：選 C.如圖,連接 OC,因?yàn)?AO 為圓的直徑，所以 AC 丄 OC,因?yàn)?SO

13、垂直于底面圓 O, AC?底面圓O,所以AC丄SO,因?yàn)镾OnOC = O,所以AC丄平面SOC又SC?平面SOC,所以AC丄SC, 所以 SAC為直角三角形，故正確.由于點(diǎn) D 是圓 O 上的動點(diǎn)，所以平面 SAD 不能總垂直 于平面 SBD,故錯誤，連接 DO 并延長交圓 O 于 E,連接 SE, PO,因?yàn)?P 為 SD 的中點(diǎn)，O 為 DE 的中點(diǎn)，所以 OP / SE.又 OP?平面 PAB, SE?平面 PAB,所以 SE/平面 FAB,故正確，故選 C.5. (2019 河北省九校第二次聯(lián)考)已知兩條不同的直線m, n,兩個不重合的平面a, 3,給出下面五個命題：1m/n,m 丄

14、a? n 丄a;2a/ 3m?a,n?3? m/n；3m/n,m/a? n/ a;4ml a,m/ 3?a丄3；5a/ 3m/n,m 丄a? n 丄3其中正確命題的序號是 _.解析：命題，顯然正確；命題 ，m , n 可能異面，故為假命題；命題 ，可能 n?a,故為假命題；命題 ，由線面垂直、線面平行的性質(zhì)以及面面垂直的判定知為真命題;命題，由 m/ n, ml a,得 n 丄a,又a/ 3,所以 n 丄3,故為真命題.綜上，正確的命題為.答案：規(guī)律方規(guī)律方i去去C. 2D. 3判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題真假的3 種方法(1)借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

15、進(jìn)行判斷.(2)借助于反證法，當(dāng)從正面入手較難時，可利用反證法，推出與題設(shè)或公認(rèn)的結(jié)論相矛 盾的命題，進(jìn)而作出判斷.(3)借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合 有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定.空間中平行、垂直關(guān)系的證明典型例題例 IU 由四棱柱 ABCD-AiBiCiDi截去三棱錐 Ci-BiCDi后得到的幾何體如圖所示.四邊形 ABCD 為正方形，0 為 AC 與 BD的交點(diǎn)，E 為 AD 的中點(diǎn)，AIE 丄平面 ABCD.(i)證明： AiO /平面 BiCDi；設(shè) M 是 0D 的中點(diǎn)，證明：平面 AiEM 丄平面 BiCDi.【證明】(1)取 BiDi的

16、中點(diǎn) Oi,連接 COi, A1O1,由于 ABCD-AiBiCiDi為四棱柱,所以 AiOi/OC,AiOi= OC,因此四邊形 AiOCOi為平行四邊形，所以 AiO/OiC.又 OiC?平面 BiCDi, AiO?平面 BiCDi,所以 AiO /平面 BiCDi.因?yàn)?AC 丄 BD, E, M 分別為 AD 和 OD 的中點(diǎn)，所以 EM 丄 BD.又 AiE 丄平面 ABCD , BD?平面 ABCD ,所以 AiE 丄 BD.因?yàn)?B1D1/BD,所以 EM 丄 BiDi, AiE 丄 BiDi.又 AiE, EM?平面 AiEM , AiE HEM = E,所以 BiDi丄平面

17、AiEM.又 BiDi?平面 BiCDi,所以平面 AiEM 丄平面 BiCDi.規(guī)律方法規(guī)律方法平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過判定、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.面面平行的判癥線線半行線面平行的判定線面平行的性質(zhì)面面平行面面平行的性質(zhì)血血垂血的判定而面垂的性質(zhì)對點(diǎn)訓(xùn)練i.如圖，在四棱錐 P-ABCD 中，平面 FAB 丄平面 ABCD , AD / BC,iFA 丄 AB , CD 丄 AD , BC = CD = 2AD , E 為 AD 的中點(diǎn).(i)求證：FA 丄 CD.求證：平面 PBD 丄平面 FAB.證明： 因?yàn)槠?/p>

18、面 FAB 丄平面 ABCD ,平面 FABH平面 ABCD = AB,又因?yàn)镻A 丄所以 FA 丄平面 ABCD ,所以 FA 丄 CD.AiDi如圖，取 Di為線段 AiCi的中點(diǎn)，此時 DYCi= i,連接 AiB 交 ABi于點(diǎn) 0,連接 ODi.由棱柱的性質(zhì)，知四邊形 AiABBi為平行四邊形，所以點(diǎn) O 為 AiB 的中點(diǎn).在厶 AiBCi中，點(diǎn) O, Di分別為 AiB, AiCi的中點(diǎn)，所以 ODi/BCi.由已知，BC/ED ,且 BC = ED ,所以四邊形 BCDE 是平行四邊形，又 CD 丄 AD , BC= CD,所以四邊形 BCDE 是正方形，連接 CE(圖略),所

19、以 BD 丄 CE ,又因?yàn)?BC/ AE, BC= AE,所以四邊形 ABCE 是平行四邊形，所以 CE/ AB,貝 U BD 丄 AB.由(1)知 PA 丄平面 ABCD ,所以 PA 丄 BD ,又因?yàn)?FAQ AB = A,則 BD 丄平面 PAB,且 BD?平面 PBD,所以平面 PBD 丄平面 PAB.2.如圖，已知斜三棱柱 ABC-AiBiCi中，點(diǎn) D , Di分別為 AC, A1C1上的點(diǎn).當(dāng) AS 等于何值時，迢平面 ABiDi?(2)若平面 BCiD /平面 ABiDi,求 DC 的值.解: (i)BB又 OEAOF = O, OE, OF?平面 OEF ,又因?yàn)?ODi

20、?平面 AB1D1, BCI?平面 ABIDI,所以 BCi/平面 ABiDi.AiDi所以當(dāng) i 時，BCi/平面 ABiDi.DiCi由已知，平面 BCiD /平面 ABiDi,且平面 AiBCiA平面 BDCi= BCi,平面 AiBCiA平面 ABiDi= DiO.因此 BCi /DiO,同理 ADi/DCi.AiDiAiO AiDiDC 因?yàn)镈1C1=OB，Doi= AD.AiODCAD又因?yàn)?OB =i，所以 AD =i,即 DC =i.求證：CD 丄平面 POF ;若 AD = 3, CD = 4, AB= 5，求三棱錐 E-CFO 的體積.【解】（i）證明：因?yàn)辄c(diǎn) P 在平面

21、ADC 上的正投影 O 恰好落在線段 AC 上,所以 PO 丄平面 ADC ,所以 PO 丄 AC.由題意知 O 是 AC 的中點(diǎn)，又點(diǎn) E 是 PC 的中點(diǎn)，所以 OE/ PA,又 OE?平面 PAD , PA?平面 PAD,所以 OE/平面 PAD.同理，OF /平面 FAD.所以平面 OEF /平面 PAD.平面圖形的折疊問題典型例題例 2 如圖，在直角梯形 ABCD中，AD/折起到 PAC 的位置，使得 P 點(diǎn)在平面ADC 上的正投影 O 恰好落在線段 AC 上，如圖所示,點(diǎn) E, F 分別為棱 PC, CD 的中點(diǎn).求證：平面 OEF /平面(2)證明：因?yàn)?OF/AD , AD 丄

22、 CD ,所以 OF 丄 CD.又 PO 丄平面 ADC, CD?平面 ADC ,所以 PO 丄 CD.又 OFnPO = O,所以 CD 丄平面 POF.因?yàn)? ADC = 90 AD = 3, CD = 4,1所以ICD=2x3X4= 6,而點(diǎn) O, F 分別是 AC, CD 的中點(diǎn)，13所以 S:FO= 4SZACD= 2 ,由題意可知 ACP 是邊長為 5 的等邊三角形，所以 OP= 2 3,即點(diǎn) P 到平面 ACD 的距離為 5 3,又 E 為 PC 的中點(diǎn)，所以 E 到平面 CFO 的距離為 5.3, 故 VE-CFO=gx2X43=53.現(xiàn)律方現(xiàn)律方平面圖形折疊問題的求解方法(1

23、) 解決與折疊有關(guān)的問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量和不變量，一般情況下，線段的長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化 ，抓住不變量是解決問題的突破口.(2) 在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，既要分析折疊后的圖形，也要分析折疊前的圖形.對點(diǎn)訓(xùn)練如圖 1,在直角梯形 ABCD 中，AD / BC,/ BAD =nAB= BC = *AD = a, E 是 AD 的中 點(diǎn)，O 是AC 與 BE 的交點(diǎn)，將厶 ABE 沿 BE 折起到圖 2 中厶BE 的位置，得到四棱錐A1-BCDE.HJ圖I圖2（1）證明：CD 丄平面 AiOC;當(dāng)平面 AiBE 丄平面 BCDE 時，四棱錐 Ai-BCD

24、E 的體積為 36 2，求 a 的值.1解：（1）證明：在題圖 1 中，因?yàn)?AB= BC = -AD = a, E 是 AD 的中點(diǎn)，,n/BAD = 2,所以 BE 丄 AC.即在題圖 2 中，BE 丄 A1O, BE 丄 OC ,從而 BE 丄平面 A1OC,又 CD / BE,所以 CD 丄平面 A1OC.由已知，平面 A1BE 丄平面 BCDE ,且平面 A1BEA平面 BCDE = BE,又由（1）知，AQ 丄 BE,所以 A1O 丄平面 BCDE ,即 A1O 是四棱錐 A1-BCDE 的高.V222由題圖 1 知，A1O=AB = -a,平行四邊形 BCDE 的面積 S= BE

25、 OC= a .從而四棱錐 A1- BCDE 的體積為V=SxA1O=3x玄冬曇二曇3,3326由嚴(yán) a= 36 育 2,得 a= 6.6練典型習(xí)題倉:提數(shù)學(xué)秦養(yǎng)一、選擇題1 . （2019 合肥市第一次質(zhì)量檢測）平面a外有兩條直線 a, b,它們在平面a內(nèi)的投影分別 是直線m, n,則下列命題正確的是（）A .若 a 丄 b,貝 U m nB. 若 mn,貝 U a 丄 bC. 若 m / n,貝 Ua IIbD .若 m 與 n 相交，則 a 與 b 相交或異面解析：選 D.對于選項(xiàng) A ,當(dāng)直線 a, b 相交，且所在平面與平面a垂直時，直線 m, n 重合，故 A 不正確；對于選項(xiàng) B

26、，不妨在正方體 ABCD-AiBiCiDi中考慮，取面對角線 ABi，ADi,其所在直線分別記為 a, b,其在平面 ABCD 上的投影分別為 AB, AD，記為 m, n,此時 mln, 但 a 與 b不垂直，故 B 不正確；對于選項(xiàng) C,不妨在正方體 ABCD-AiBiCiDi中考慮，取面對 角線 ABi, CDi,其所在直線分別記為 a, b,其在平面 ABCD 上的投影分別為 AB, CD，記為 m, n,此時 m / n,但 a 與 b 不平行，故 C 不正確；對于選項(xiàng) D,若 m 與 n 相交，則 a 與 b不可能平行，只能是相交或異面，故 D 正確，選 D.2 . （20i9 長

27、春市質(zhì)量監(jiān)測（一）在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，直線 AiCi與平面 ABCiDi所成角的正弦值為（)A. iB呂B. 2iD. 2解析：選 D.由題意畫出圖形如圖所示 ,取 ADi的中點(diǎn)為 0,連接 OCi, OAi,易知 OAi丄平面 ABCiDi,所以/ AiCiO 是直線 AiCi與平面 ABCiDi所成的角，在 Rt OAiCi中，AiCi=20Ai，所以sin/AiCi0=ACr?故選D.3.如圖，在三棱錐 D-ABC 中，若 AB= CB , AD = CD , E 是 AC 的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是（）A .平面 ABC 丄平面 ABDB .平面 ABD 丄平面

28、BCDC. 4D. 5C.平面 ABC 丄平面 BDE，且平面 ACD 丄平面 BDED .平面 ABC 丄平面 ACD，且平面 ACD 丄平面 BDE解析：選 C.因?yàn)?AB= CB,且 E 是 AC 的中點(diǎn)，所以 BE 丄 AC,同理，DE 丄 AC ,由于 DEnBE=E,于是 AC 丄平面 BDE.因?yàn)?AC?平面 ABC,所以平面 ABC 丄平面 BDE.又 AC?平面 ACD , 所以平面ACD 丄平面 BDE.故選 C.4.（2019 江西省五校協(xié)作體試題）如圖，圓錐的底面直徑 AB = 4,高 OC= 2 2, D 為底面2n圓周上的一點(diǎn)，且/ AOD =苧則直線 AD 與 B

29、C 所成的角為（沖一DnnA.6B.35nnC.D. 122解析：選 B.如圖，過點(diǎn) O 作 OE 丄 AB 交底面圓于E,分別以 OE, OB, OC 所在直線為 x,6125.如圖，在矩形 ABCD 中，AB= .3 , BC= 1 ,將厶 ACD 沿 AC 折起，使得 D 折起后的位置為 D1,且 D1在平面 ABC 上的射影恰好落在AB 上，在四面體 D1ABC 的四個面中，有 n 對平面相互垂直，貝 U n 等2nty, z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)? AOD =勺勺冗，所以/ BOD =-,貝 V D（3, 1 , 0）, A（0, 2, 0),B(0, 2, 0), C(0,

30、0 , 2.2), AD = ( ,3 , 3 , 0) , BC = (0 , 2 , 2 2),所以 cos AD , BC1,則直線 AD 與 BC 所成的角為n,故選 B.23C. 4D. 5如圖，設(shè) D1在平面 ABC 上的射影為 E,連接 DiE,則 DiE 丄平面 ABC,因?yàn)?DiE?平面 ABDi,所以平面 ABDi丄平面 ABC.因?yàn)?DiE 丄平面 ABC, BC?平面 ABC,所以 DiE 丄 BC,又 AB 丄 BC, DiEAAB = E,所以 BC 丄平面 ABDi,又 BC?平面 BCDi,所以平面 BCDi丄平面 ABDi,因?yàn)?BC 丄平面 ABDi, AD

31、i?平面 ABDi,所以 BC 丄 ADi,又 CDi丄 ADi, BCACDi= C, 所以 ADi丄平面 BCDi,又 ADi?平面 ACDi,所以平面 ACDi丄平面 BCDi.所以共有 3 對平面互相垂直.故選B.6.（多選）如圖，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn) P 在線段 BCi上運(yùn)動，則下列判斷中正 確的是（）A .平面 PBiD 丄平面 ACDiB . AiP /平面 ACDiD .三棱錐 Di-APC 的體積不變解析：選 B.0AE BC.異面直線 AiP 與 ADi所成角的范圍是C解析：選 ABD.對于 A ,根據(jù)正方體的性質(zhì),有 DBi丄平面 ACDi,又DBi

32、?平面 PBiD,則平面 PBiD 丄平面 ACDi,故 A 正確；對于 B,連接 AiB, A1C1,易證明 平面 BAiCi/平面ACDi,又 AiP?平面 BAiCi,所以 AiP /平面 ACDi,故 B 正確；對于 C,當(dāng)nP 與線段 BCi的兩端點(diǎn)重合時，AiP 與 ADi所成角取最小值-，當(dāng) P 與線段 BCi的中點(diǎn)重合時，AiP 與 ADi所成角取最大值n，故 AiP 與 ADi所成角的范圍是n，n,故C錯誤；對于 D, V三棱錐 Di-APC = V 三棱錐 C-ADiP,因?yàn)辄c(diǎn) C 到平面 ADiP 的距離不變，且厶 ADiP 的面積不變，所以三棱錐 C-ADiP 的體積不

33、變，故 D 正確故選 ABD.二、填空題7 （20i9 沈陽市質(zhì)量監(jiān)測（一）如圖，在正方體 ABCD-AiBiCiDi中，下面結(jié)論中正確的是（寫出所有正確結(jié)論的序號）1BD /平面 CBiDi；2AC平面 CBiDi；3異面直線 AC 與 AiB 成 60角；4ACi與底面 ABCD 所成角的正切值是，2.解析：對于，BD 伯iDi, BD?平面 CBiDi, BiDi?平面 CBiDi,所以 BD /平面 CBiDi, 正確；對于，因?yàn)?AAi丄平面 AiBiCiDi,所以 AAi丄 BiDi,連接 AiCi,又 AQi丄 BiDi, 所以 BiDi丄平面 AAiCi,所以 BiDi丄 AC

34、i,同理 BiC 丄 ACi,所以 ACi丄平面 CBiDi,正確;對于，易知 AC/ AiCi,異面直線 AC 與 AiB 所成角為/ BAiCi,連接 BCi,又厶 AiCiB 為等邊三角形，所以/ BAiCi= 60,異面直線 AC 與 AiB 成 60角正確；對于，ACi與底面答案：8 （20i9 武漢市調(diào)研測試）在棱長為 i 的正方體 ABCD-AiBiCiDi中，點(diǎn) A 關(guān)于平面 BDCi的對稱點(diǎn)為 M，貝UM 到平面 AiBiCiDi的距離為 _解析：法一：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，正方體的棱長為 i ,在正方體ABCD 所成角的正切值是，故不正確故正確的結(jié)論為ABCD-Ai

35、BiCiDi下面補(bǔ)一個棱長為 1 的正方體 ABCD-A2B2C2D2,連接 A2C2, B2D2,AC,設(shè)1 2 2BDCi的對稱點(diǎn)）,易得 M 3，3，勺，所以點(diǎn) M 到平面 AiB1C1D1的距離為 1 3 =55答案：339.在長方體 ABCD-A1B1C1D1中，AB= AD = 4, AA1= 2.過點(diǎn) A1作平面a與 AB, AD 分別 交于 M , N兩點(diǎn)，若 AA1與平面a所成的角為 45,則截面 “MN 面積的最小值是 _ ,此時 AM =_.B2D2A2C2= E,連接 CE 交 AC2于 M（艮卩 A 關(guān)于平面法二：依題意，點(diǎn) M 在平面 ACC1A1上，建立如圖所示的

36、平面直角坐標(biāo)系，由已知得A 孑，0，C12，1，直線OC1的方程為 y= 2x,其斜率為.2,因?yàn)辄c(diǎn)所以所以點(diǎn)所以點(diǎn)rGACsA 關(guān)于直線 OC1的對稱點(diǎn)為 M ,設(shè)b 0 仝2b+ 0=2a並.a6 ，解得，a-子b = 3 2M 到直線 A1C1的距離為 1 -3=3,A 關(guān)于平面 BDC1的對稱點(diǎn) M 到平面 A1B1C1D1的距離為53.M(a, b).ii.如圖所示,已知 AB 丄平面 ACD , DE 丄平面 ACD,解析：如圖，過點(diǎn) A 作 AE 丄 MN ,連接 AIE,因?yàn)?AiA 丄 平面 ABCD ,所以 AiA 丄 MN ,所以 MN 丄平面 AiAE,所以 AiE 丄

37、 MN ,平面 AiAE丄平面 AiMN ,所以/ AAiE 為 AAi與平面AiMN 所成的角，所以/ AAiE = 45 在 RtKiAE 中，因?yàn)?AAi= 2,所以 AE = 2 , AiE = 2,2 ,2 _ _在 RtMAN 中，由射影定理得 ME EN = AE = 4,由基本不等式得 MN = ME + EN2, ME EN =i4,當(dāng)且僅當(dāng) ME = EN,即 E 為 MN 的中點(diǎn)時等號成立，所以截面 AiMN 面積的最小值為三X4X2 2 = 4 2.因?yàn)?AM2+ AN2= MN2,所以 AM = 2 2.答案：4 22 2三、解答題iO如圖，在三棱錐 A-BCD 中，

38、AB 丄 AD, BC 丄 BD，平面 ABD 丄 平面 BCD ,點(diǎn) E、F（E 與 A、D 不重合）分別在棱 AD、BD 上,且 EF 丄 AD.求證：（i）EF /平面 ABC;(2)AD 丄 AC.證明： 在平面 ABD 內(nèi)，因?yàn)?AB 丄 AD , EF 丄 AD,所以 EF / AB.又因?yàn)?EF?平面 ABC, AB?平面 ABC, 所以 EF /平面 ABC.因?yàn)槠矫?ABD 丄平面 BCD ,平面 ABDn平面 BCD = BD ,BC?平面 BCD 且 BC 丄 BD,所以 BC 丄平面 ABD.因?yàn)?AD?平面 ABD ,所以 BC 丄 AD.又因?yàn)?AB 丄 AD , BCnAB