2020年高考文數(shù)(人教版)教學(xué)案第43講簡單的線性規(guī)劃問題

1、第 43 講 簡單的線性規(guī)劃問題 I鼻習(xí)目標(biāo).1了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組.2 會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決._知識梳理1.二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域二元一次不等式 Ax + By+ C0(或 V 0)表示直線 Ax+ By+ C= 0 某一側(cè)所有點 組 成的平面區(qū)域.(2)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集 ，即各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分(3)畫或判斷兀 次不等式表示的平面區(qū)域常采用直線定界，特殊點定“域”.2.線性規(guī)劃的有關(guān)概念(1)線性約束條件 由條件列出的二兀一次不等式組

2、；(2)線性目標(biāo)函數(shù) 由條件列出的一次函數(shù)表達(dá)式；(3)線性規(guī)劃一一 -求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，稱為線性規(guī)劃問題.(4)可行解、可行域、最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解(x, y)叫做可行解，由所有可行 解組成的集合叫做可行域，使線性目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的可行解叫做最優(yōu)解.3.利用線性規(guī)劃求最值的一般步驟：(1) 根據(jù)線性約束條件畫出可行域；(2) 設(shè) z= 0,畫出直線 lo；(3) 觀察、分析、平移直線 Io,從而找到最優(yōu)解；(4) 求出目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值.熱身練習(xí)1.下列各點中，不在x+ y K 0 表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是(C)A . (0,0) B

3、. ( 1,1)C . ( 1,3) D . (2, 1)將上述各點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則點在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，否則，不在.因為(0,0), (- 1,1), (2, - 1)都滿足不等式，所以這些點都在所表示的平面區(qū)域內(nèi)，而(-1,3)不滿足不等式，故選C.2 .如圖所示，不等式 2x- yv0 表示的平面區(qū)域是(B)2x y= 0 不經(jīng)過(2,1)點排除 D,2x y0，故(1,0)不在 2x-y 0,3.不等式組 x+ 3y 4,.3x+yw443% D.4不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集，作出不等式組表示的平面區(qū)域如右圖:144所以S陰=2X4-3x1

4、=34 .目標(biāo)函數(shù) z= x+ 2y,將其看成直線方程時， z 的意義是(C) A 該直線的截距 B 該直線的縱截距1直線定界，因為所表示的平面區(qū)域的面積等于(C)A.Bl解析AirDC 該直線縱截距的 2 倍 D 該直線縱截距的-5. (2015 北京卷)如圖， ABC 及其內(nèi)部的點組成的集合記為D, P(x, y)為 D 中任意一點，貝 U z= 2x+ 3y 的最大值為7 .、 2 1 2把 z= 2x+ 3y 變形為 y= x+ z,通過平移直線 y= 知，當(dāng)過點 A(2,1)時,z= 2x+ 3y 取得最大值且 Zmax= 2X2+ 3X1 = 7.將 z= x+ 2y 化為2 倍.

5、高頻考點由 z= 3x + 2y 得 y= |x+1.作直線 lo： y= |x,平移直線 lo，當(dāng)直線 y= |x+2過點(2,0)時，z 取最大值，zmax= 3X2 + 2X0= 6.EO 6(1)對線性目標(biāo)函數(shù) z= Ax+ By 中的 B 的符號一定要注意當(dāng)B0 時，當(dāng)直線過可行域且在 y 軸上截距最大時，z 值最大，在 y 軸上截距最小時，z 值最??；當(dāng) Bv0 時，當(dāng)直線過可行域且在 y 軸上截距最大時，z 值最小，在 y 軸上截距最小時，z 值最大.(2)由于最優(yōu)解是通過圖形來觀察的，故作圖要準(zhǔn)確，否則觀察結(jié)果就可能有誤.變式採究1. (2017 全國卷川)設(shè) x, y 滿足約

6、束條件求線性目標(biāo)函數(shù)的最值x 2y 2 0,出w0,則 z= 3x+ 2y 的最大值為作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示.3x+2y6W0,x 0,貝 U z= x y 的取值范圍是(B)y 0,A . 3,0 B . 3,2C. 0,2 D . 0,3畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由題意可知，當(dāng)直線 y = x Z 過點 A(2,0)時，z 取得最大值，即 zmax= 2 0= 2；當(dāng)直線 y = xZ 過點 B(0,3)時，Z 取得最小值，即 Zmin= 0 3= 3.所以 z= x y 的取值范圍是3,2.因為 x 表示過點(x, y)與原點(0,0)的直線的斜率

7、,所以在點A處時，y 最大.求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值X10,血若 x, y 滿足約束條件Jx yw0,以+ y4w0,則：的最大值為-畫出可行域如圖陰影所示,7 +X=1,x=1,由得所以 A(1,3).|x+ y 4= 0,|y= 3.所以 X 的最大值為 3.ED 3瞰愆求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是從目標(biāo)函數(shù)聯(lián)想到相對應(yīng)的幾何意義，常見的是兩點連線的斜率和兩點間的距離，在此基礎(chǔ)上再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法進(jìn)行求解.x2+ y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到原點距離的平方,. 2 2 2 2 2由圖易得(x + y )max= |OA| = 3 + ( 1) = 10故選 C.老囚線性規(guī)劃在實際問題

8、中的應(yīng)用料及每天原料的可用限額如表所示如果生產(chǎn)1 噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3 萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為x+yw2,2.(2016 山東卷)若變量 x, y 滿足 2x 3y 0,則 x2+ y2的最大值是（C）A. 4 B. 9C. 10 D. 12堪 3 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.x+ y=2, 由2x 3y= 9得 A(3, 1),某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A, B 兩種原料，已知生產(chǎn)1 噸每種產(chǎn)品所需原變式採究甲乙原料限額A（噸）3P 212B（噸）1P 28A . 12 萬元 B . 16 萬元C. 17 萬元 D . 18 萬元設(shè)出甲、乙

9、兩種產(chǎn)品的數(shù)量，列出關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，畫出可行域求3x+2yw12,x+2y0,y0,作出可行域如圖陰影部分所示,由圖可知，當(dāng)直線 z= 3x + 4y 經(jīng)過點 A（2,3）時，z 取最大值，最大值為3X2+ 4X3= 18.建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟:設(shè)出所求未知數(shù)；列出約束條件（即不等式組）；建立目標(biāo)函數(shù)；作出可行域；運用圖象法求出最優(yōu)解.3.（2016 全國卷I理）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A 和產(chǎn)品 B 需要甲、乙兩種新型材料，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg,用 5 個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 需要甲材 料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，

10、用 3 個工時.生產(chǎn)一件產(chǎn)品 A 的利潤為 2 100 元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品 B 的利潤為 900 元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg，則在不超過 600 個工時的條 件下，生產(chǎn)產(chǎn)品 A、產(chǎn)品 B 的利潤之和的最大值為216 000 元.慟設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品 Ax 件，產(chǎn)品 By 件，則解.設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品分別為x 噸、y 噸，每天所獲利潤為z 萬元，則有1.5x+0.5yW150,x+0.3yW90,5x+3yw600,x 0, x N ,*y0, y N.畫出可行域，如圖:目標(biāo)函數(shù) z= 2 100 x+ 900y.(包括邊界)內(nèi)的整數(shù)點，圖中陰影四邊形的頂點坐標(biāo)分別為(60,

11、100), (0,200), (0,0), (90,0).當(dāng)直線 z= 2 100 x+ 900y 經(jīng)過點(60,100)時，z 取得最大值，zmax= 2 100X60 + 900X100=216 000(元). I課B刎 _ ,1 .畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域常采用直線定界，特殊點定域”；不等式組表 示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集，是它們平面區(qū)域的公共部分.2.對線性目標(biāo)函數(shù) z= Ax + By 中的 B 的符號一定要注意.當(dāng) B 0 時，當(dāng)直線過可行 域且在y 軸上截距最大時，z 值最大，在 y 軸上截距最小時，z 值最??；當(dāng) Bv0 時，當(dāng)直線 過可行域且在 y軸上截距最大時，z 值最小，在 y 軸上截距最小時，z 值最大.3.常見目標(biāo)函數(shù)有截距型(ax + by = z)，距離型(z= p(x- X0 f + (y- yf)，斜率型(z =作出可行域為圖中的陰影部分y y0 x )幾種.4.最優(yōu)解一般在可行域的頂點處或邊界取得，要注意邊界的虛實.此外解選擇、填空 題常?？上惹罂尚杏虻捻旤c，再代入目標(biāo)函數(shù)驗算.5.建立線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型的一般步驟:(1)明確問題中的有待確定的未知量，并用數(shù)學(xué)符