培優(yōu)專題15三角形總復(fù)習(xí)含答案

1、15、三角形總復(fù)習(xí)【知識(shí)精讀】 1. 三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角和定理； 2. 三角形中三邊之間的關(guān)系定理及其推論； 3. 全等三角形的性質(zhì)與判定； 4. 特殊三角形的性質(zhì)與判定（如等腰三角形）； 5. 直角三角形的性質(zhì)與判定。 三角形一章在平面幾何中占有十分重要的地位。從知識(shí)上來看，許多內(nèi)容應(yīng)用十分廣泛，可以解決一些簡單的實(shí)際問題；從證題方法來看，全等三角形的知識(shí)，為我們提供了一個(gè)及為方便的工具，通過證明全等，解決證明兩條線段相等，兩個(gè)角相等，從而解決平行、垂直等問題。因此，它揭示了研究封閉圖形的一般方法，為以后的學(xué)習(xí)提供了研究的工具。因此，在學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該多總結(jié)，多歸納，使知識(shí)更加系

2、統(tǒng)化，解題方法更加規(guī)范，從而提高我們的解題能力?！痉诸惤馕觥?1. 三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用 例1. 如圖1，已知中，于D，E是AD上一點(diǎn)。 求證： 證明：由ADBC于D，可得CADABC 又 則 可證 即 說明：在角度不定的情況下比較兩角大小，如果能運(yùn)用三角形內(nèi)角和都等于180°間接求得。 2. 三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用 例2. 已知：如圖2，在中，AM是BC邊的中線。 求證： 證明：延長AM到D，使MDAM，連接BD 在和中， 在中，而 說明：在分析此問題時(shí)，首先將求證式變形，得，然后通過倍長中線的方法，相當(dāng)于將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°構(gòu)成旋轉(zhuǎn)型的全等三角形，把AC、AB、2AM轉(zhuǎn)化

3、到同一三角形中，利用三角形三邊不等關(guān)系，達(dá)到解決問題的目的。很自然有。請(qǐng)同學(xué)們自己試著證明。 3. 角平分線定理的應(yīng)用 例3. 如圖3，BC90°，M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC。 求證：AM平分DAB。 證明：過M作MGAD于G，DM平分ADC，MCDC，MGAD MCMG（在角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等） MCMB，MGMB 而MGAD，MBAB M在ADC的平分線上（到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上） DM平分ADC 說明：本題的證明過程中先使用角平分線的定理是為判定定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件MGMB。同時(shí)要注意不必證明三角形全等，否則就是重復(fù)判定定理的證明過程。

4、 4. 全等三角形的應(yīng)用 （1）構(gòu)造全等三角形解決問題 例4. 已知如圖4，ABC是邊長為1的等邊三角形，BDC是頂角（BDC）為120°的等腰三角形，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)60°的角，它的兩邊分別交AB于M，交AC于N，連結(jié)MN。求證：的周長等于2。 分析：欲證的周長等于2，需證明它等于等邊的兩邊的長，只需證。采用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等的方法來解決。 證明：以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，點(diǎn)B落在點(diǎn)C的位置，點(diǎn)M落在M'點(diǎn)的位置。 得：MBDNCD90° NCD與DCM'構(gòu)成平角，且BMCM'，DMDM'，NDM'NDC

5、CDM'NDCBDM120°60°60° 在和中， 的周長 說明：通過旋轉(zhuǎn)，使已知圖形中的角、線段充分得到利用，促進(jìn)了問題的解決。 （2）“全等三角形”在綜合題中的應(yīng)用 例5. 如圖5，已知：點(diǎn)C是FAE的平分線AC上一點(diǎn)，CEAE，CFAF，E、F為垂足。點(diǎn)B在AE的延長線上，點(diǎn)D在AF上。若AB21，AD9，BCDC10。求AC的長。 分析：要求AC的長，需在直角三角形ACE中知AE、CE的長，而AE、CE均不是已知長度的線段，這時(shí)需要通過證全等三角形，利用其性質(zhì)，創(chuàng)設(shè)條件證出線段相等，進(jìn)而求出AE、CE的長，使問題得以解決。 解：AC平分FAE，CF

6、AF，CEAE CFCE BEDF 設(shè)，則 在中， 在中， 答：AC的長為17。5、中考點(diǎn)撥 例1. 如圖，在中，已知B和C的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DEBC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BDCE9，則線段DE的長為（ ） A. 9B. 8C. 7D. 6 分析：初看此題，看到DEDFFE后，就想把DF和FE的長逐個(gè)求出后再相加得DE，但由于DF與FE的長都無法求出，于是就不知怎么辦了？其實(shí)，若能注意到已知條件中的“BDCE9”，就應(yīng)想一想，DFFE是否與BDCE相關(guān)？是否可以整體求出？若能想到這一點(diǎn)，就不難整體求出DFFE也就是DE的長了。 解：BF是B的平分線 DBFCBF 又DEBC

7、 DFBCBF BDFDFB DFBD 同理，F(xiàn)ECE DFFEBDCE9 即DE9 故選A6、題型展示 例1. 已知：如圖6，中，ABAC，ACB90°，D是AC上一點(diǎn)，AE垂直BD的延長線于E，。 求證：BD平分ABC 分析：要證ABDCBD，可通過三角形全等來證明，但圖中不存在可證全等的三角形，需設(shè)法進(jìn)行構(gòu)造。注意到已知條件的特點(diǎn)，采用補(bǔ)形構(gòu)造全等的方法來解決。 簡證：延長AE交BC的延長線于F 易證（ASA或AAS） 于是又不難證得 BD平分BAC 說明：通過補(bǔ)形構(gòu)造全等，溝通了已知和未知，打開了解決問題的通道。 例2. 某小區(qū)結(jié)合實(shí)際情況建了一個(gè)平面圖形為正三角形的花壇。如

8、圖7，在正三角形ABC花壇外有滿足條件PBAB的一棵樹P，現(xiàn)要在花壇內(nèi)裝一噴水管D，點(diǎn)D的位置必須滿足條件ADBD，DBPDBC，才能使花壇內(nèi)全部位置及樹P均能得到水管D的噴水，問BPD為多少度時(shí)，才能達(dá)到上述要求？ 分析：此題是一個(gè)實(shí)際問題，應(yīng)先將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化后的數(shù)學(xué)問題是：如圖7，D為正內(nèi)一點(diǎn)，P為正外一點(diǎn)，PBAB，ADBD，DBPDBC，求BPD？在解此數(shù)學(xué)問題時(shí)，要用到全等三角形的知識(shí)。 解：連CD 又 ，即時(shí)，才能達(dá)到要求。【實(shí)戰(zhàn)模擬】 1. 填空：等腰三角形一腰上的中線把這個(gè)三角形的周長分成12cm和21cm，則這個(gè)等腰三角形底邊的長為_。 2. 在銳角中，高AD

9、和BE交于H點(diǎn)，且BHAC，則ABC_。 3. 如圖所示，D是的ACB的外角平分線與BA的延長線的交點(diǎn)。試比較BAC與B的大小關(guān)系。 4. 如圖所示，ABAC，BAC90°，M是AC中點(diǎn)，AEBM。 求證：AMBCMD 5. 設(shè)三個(gè)正數(shù)a、b、c滿足，求證：a、b、c一定是某個(gè)三角形三邊的長。【試題答案】 1. 5cm 2. 45° 3. 分析：如圖所示，BAC是的外角，所以 因?yàn)?2，所以BAC2 又因?yàn)?是的外角，所以2B，問題得證。 答：BACB CD平分ACE，12 BAC1，BAC2 2B，BACB 4. 證明一：過點(diǎn)C作CFAC交AD的延長線于F 又BACACF90° ACAB 又AMMC，MCCF 又3445°，CDCD 證明二